廣東省大灣區2022-2023學年高二上學期數學期末聯考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．直線x+3A．π3 B．5π6 C．?32．已知a＝(1，－2，1)，a?b＝(－1，2，－1)，則A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)3．某學習小組研究一種衛星接收天線（如圖①所示），發現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m4．圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規律放下去，第8個疊放的圖形中小正方體木塊的總數是（）A．66 B．91 C．107 D．1205．已知直線l1：3x?4y+7=0與直線l2：A．1 B．2 C．3 D．46．已知等差數列{an}中，a3+A．1010 B．1011 C．2021 D．20227．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足AP=A．34 B．45 C．568．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：F1、F2是雙曲線的左、右焦點，從F2發出的光線m射在雙曲線右支上一點P，經點P反射后，反射光線的反向延長線過F1；當P異于雙曲線頂點時，雙曲線在點P處的切線平分∠F1PA．射線n所在直線的斜率為k，則k∈(?B．當m⊥n時，|PC．當n過點Q(7，5)時，光由F2到P再到D．若T(1，0)，直線PT與C二、多選題9．若橢圓的焦點為F1(?c，0)，F2(c，A．(x+c)2+yC．(x?c)2+y10．從高一某班抽三名學生(抽到男女同學的可能性相同)參加數學競賽，記事件A為“三名學生都是女生”，事件B為“三名學生都是男生”，事件C為“三名學生至少有一名是男生”，事件D為“三名學生不都是女生”，則以下正確的是（）A．P(A)=18C．P(C)≠P(D) D．事件A與事件C對立11．為了養成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周內每天的運動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數據的第80百分位數與第60百分位數的差為3，則x的值可能為（）A．58 B．59 C．62 D．6412．圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因為它可以從圓錐中截取獲得.我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角θ不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與θ和圓錐軸截面半頂角α有如下關系(θ，α∈(0，π2))；當現有一定線段AB與平面β夾角φ（如上右圖），B為斜足，β上一動點P滿足∠BAP=γ，設P點在β的運動軌跡是Γ，則（）A．當φ=π4，γ=πB．當φ=π3，γ=πC．當φ=π4，γ=πD．當φ=π3，γ=π三、填空題13．設數列{an}的前n項和為Sn，且滿足兩個條件：①{an}是單調遞減數列；②14．如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為120°，測得從D，C到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為DA=80m，BC=60m，若AB=40m，則甲，乙兩人相距15．已知點A(2，3)，B(5，?1)，l為平面上的動直線，點A，B到直線l的距離分別為1，3，則這樣的直線16．舒騰尺是荷蘭數學家舒騰設計的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動．當點D在滑槽AB內做往復移動時，帶動點N繞O轉動，點M也隨之而運動．記點N的運動軌跡為C1，點M的運動軌跡為C2．若ON=DN=1，MN=3，過C2上的點P向C四、解答題17．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，（1）求證：BC⊥AB（2）求平面AB1E18．已知數列{an}的前n（1）求證：數列{a（2）若不等式2n2?n?3<(5?λ)an19．某校為加強黨史教育，進行了一次黨史知識競賽，隨機抽取的100名學生的筆試成績均在75分以上（滿分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五組后，得到的頻率分布表如下所示：組號分組頻數頻率第1組[75，80）①第2組[80，85）0.300第3組[85，90）30②第4組[90，95）200.200第5組[95，100]100.100合計1001.00（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為能更好了解學生的知識掌握情況，學校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面答，最終從6位學生中隨機抽取2位參加市安全知識答題決賽，求抽到的2位學生不同組的概率.20．已知圓C過點A(4，2)，B(1，3)，它與x軸的交點為（1）求圓C的標準方程；（2）若A(?3，21．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：i，j，k分別為“斜60°坐標系”下三條數軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量n=xi+y（1）若a=[1，2，（2）在平行六面體ABCD?ABC1D1中，AB=AD=2，AA1=3，①若BE=EB1，求向量ED②若AM=[2，t，0]22．已知橢圓C：x2（1）求點T的坐標；（2）過線段ET的中點G作直線l交橢圓C于A，B兩點，直線EA與橢圓C的另一個交點為M，直線EB與橢圓C的另一個交點為N，求證：MN//（3）請結合（2）的問題解決，運用類比推理，猜想寫出拋物線中與之對應的一個相關結論(無需證明).

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因為直線方程為x+3y?2=0，化為斜截式為：所以直線的斜率為：?3故答案為：D.

【分析】將直線的一般式轉化為斜截式，從而得出直線的斜率。2．【答案】A【解析】【解答】b=故答案為：A

【分析】利用已知條件結合向量的坐標運算得出向量b的坐標。3．【答案】A【解析】【解答】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上．設拋物線的標準方程為y2由已知條件可得，點A(0.所以1.2p=1.因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故答案為：A.

【分析】根據題意由拋物線的簡單性質結合拋物線的定義，把數值代入計算出P的取值，結合已知條件即可得出答案。4．【答案】D【解析】【解答】因為圖1有1個小正方體，圖2有1+5=6個小正方體，圖3有1+5+9=15個小正方體，歸納可得：第n個疊放圖形中共有n層，構成以1為首項，以4為公比的等差數列，所以第n個疊放的圖形中小正方體木塊的總數是Sn第8個疊放的圖形中小正方體木塊的總數是S8故答案為：D

【分析】利用已知條件結合等差數列的定義和等差數列前n項和公式得出第8個疊放的圖形中小正方體木塊的總數。5．【答案】B【解析】【解答】∵直線l1與l2平行，∴36∵l2的方程為3x?4y?3=0，∴它們之間的距離d=故答案為：B.

【分析】兩直線斜率存在時，平行則斜率相等，求出m的值，再根據兩平行線間的距離公式，即可計算出答案。6．【答案】D【解析】【解答】根據等差數列的性質可知，a3+a設等差數列的首項為a1，公差為d則a1+3d=7a1+9d=19設數列{an?cosnπ}的前n則S2022=(=1011d=2022.故答案為：D

【分析】利用已知條件結合等差數列的性質和等差數列的通項公式，進而得出數列{an?cosnπ}的通項公式，再結合并項求和的方法得出數列{7．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，分別以AB→，AD→，AE→所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，AB→，AD→，AE→可作為x，y，z軸方向上的單位向量，

∵AP=【分析】根據空間向量的坐標運算，結合向量法直接求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】在雙曲線x29?y216=1中，a=3，b=4設|PF1|=u對于A選項，因為雙曲線x29?當點P在第一象限內運動時，隨著x0的增大，射線n慢慢接近于直線y=43同理可知當點P在第四象限內運動時，?4當點P為雙曲線的右頂點時，k=0，綜上所述，k的取值范圍是(?4對于B選項，當m⊥n時，u?v=2a=6，u2+v對于C選項，|F故n過點Q(7，5)時，光由F2到P|PF對于D選項，若T(1，0)，由角平分線定理可得即6+|PF2|故答案為：C.

【分析】在雙曲線x29?y216=1中得出a，b的值，再結合雙曲線中a，bc三者的關系式得出c的值，進而得出焦點坐標，設|PF1|=u，|PF2|=v，利用雙曲線x29?y216=1的漸近線方程為y=±43x9．【答案】A,C,D【解析】【解答】由橢圓定義可知，A符合題意；由橢圓第二定義可知C符合題意；B中顯然x≠±a，即橢圓上的長軸端點不滿足B中方程，B不符合題意；由(x?c)2+y2=a?ca故答案為：ACD

【分析】利用已知條件結合橢圓的定義和橢圓的第二定義，再結合橢圓的性質和兩點距離公式，進而得出正確的選項。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】由所抽學生為女生的概率均為12，則PA，C事件包含：三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生、三名學生都是男生，其對立事件為A，D符合題意；D事件包含：三名學生都是男生、三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生，與C事件含義相同，故P(故答案為：ABD

【分析】利用已知條件結合獨立事件乘法求概率公式、互斥事件的定義、對立事件的定義，進而找出正確的選項。11．【答案】A,D【解析】【解答】將已知的6個數從小到大排序為45，49，53，57，61，79．若x≤57，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若x≥79，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若57<x<79，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為x和61（或61和x），則|x?61|=3，解得x=58或x=64故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結合百分位數的求解方法，進而得出x的值。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】∵AB為定線段，∠BAP=γ為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運動，其中圓錐的軸截面半頂角為γ，β與圓錐軸AB的夾角為φ對于A，φ>γ，∴平面β截圓錐得橢圓，A符合題意；對于B，φ>γ，Γ是橢圓，B不符合題意.對于C，φ=γ，Γ是拋物線，C符合題意.對于D，φ>γ，Γ是橢圓，D符合題意.故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結合橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義，進而找出正確的選項。13．【答案】1n【解析】【解答】根據題意，數列{an}滿足：①{a故只需{a故{an}故答案為：1n

【分析】利用已知條件結合數列的單調性，進而得出滿足要求的數列的通項公式。14．【答案】20【解析】【解答】作BE//AD，且BE=AD，連結DE，EC，∵BE⊥AB，BC⊥AB，∴AB⊥平面EBC且∠CBE=120四邊形ADEB時平行四邊形，∴DE//AB，∴DE⊥平面EBC，EC?平面CEB，∴DE⊥EC△CEB中，EC=60△CDE中，DC=D故答案為：20

【分析】作BE//AD，且BE=AD，連結DE，EC，證得DE⊥平面EBC，得到DE⊥EC，分別在△CEB和△CDE中，利用余弦定理，即可求解.15．【答案】4【解析】【解答】到點A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；到點B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；由于|AB|=5>3+1，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數為4條，即點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線有4條，故答案為：4.

【分析】利用已知條件結合直線與圓相切位置關系判斷方法得出到點A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切，到點B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切，由于|AB|=5>3+1結合兩圓位置關系判斷方法判斷出兩圓相離，進而得出公切線的條數，從而得出點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線有4條。16．【答案】15【解析】【解答】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示．因為|ON|=1，所以點N的運動軌跡C1其方程為x2設點D(t，0)(|t|≤2)，N(x依題意，MD=2DN，且所以(t?x，?y)=2(x即t?x=2x0?2t由于t不恒等于0，于是t=2x0，故x0代入x02+故曲線C2的方程為x216+y則|OP|2則切線長為|OP|2?1故答案為：15

【分析】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，再利用|ON|=1結合圓的定義，所以點N的運動軌跡C1是以O為圓心，半徑為1的圓，從而得出圓的標準方程，設點D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依題意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=117．【答案】（1）證明：在長方體ABCD?A1B1又BA∩BB1=B，BA?平面BAA1所以BC⊥平面BAA又AB1?平面BA（2）解：以A為坐標原點，AB，AD，則由AB=AD=1，AA1=2又E是棱DD1的中點，所以E(0，1，設平面AB1E則有n?AE=0取z=1，得n=(?2易知平面ABCD的一個法向量為m=(0設平面AB1E與平面ABCD則cosθ=所以平面AB1E與平面ABCD【解析】【分析】(1)在長方體ABCD?A1B1C1D1中，BC⊥BA，BC⊥BB1，再利用線線垂直證出線面垂直，所以BC⊥平面BAA1B1，再結合線面垂直的定義證出線線垂直，從而證出BC⊥AB1。

（2）以A為坐標原點，AB，AD，A18．【答案】（1）證明：當n=1時，S1=2a當n≥2時，an所以an=2a即an又a1故數列{a（2）解：由（1）知，an2n所以2n2?n?3=(n+1)(2n?3)<(5?λ)(n+1)即5?λ>2n?32n記bn=2n?3所以n≥2時，bn+1bn=2n?1n≥3時，bn+1bn<1，即隨著所以bn的最大值為b所以5?λ>38，即【解析】【分析】(1)當n≥2時，an=Sn?Sn?1=2an?2an?1?2n，可得19．【答案】（1）解：第2組的頻數為100×0.300=30人，所以①處應填的數為10人，②處應填的數為0.300，頻率分布直方圖如圖所示，（2）解：因為第3、4、5組共有60名選手，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進入第二輪面試，每組抽取的人數分別為：第3組：3060×6=3人，第4組：2060所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面答.設第3組的3位學生為A1，A2，則從這6位學生中抽取2位學生有：(A1(A抽到的2位學生不同組的有：((A所以抽到的2位學生不同組的概率為1115【解析】【分析】（1）利用已知條件結合頻率分布表和頻率分布直方圖各小組的頻率等于各小組的矩形的面積，進而畫出頻率分布直方圖。

（2）利用已知條件結合分層抽樣的方法得出第3、4、5組分別抽取的人數，再結合古典概型求概率公式得出抽到的2位學生不同組的概率。20．【答案】（1）解：設圓C的一般式方程為：x2令y=0，得x2+Dx+F=0，所以令x=0，得y2+Ey+F=0，所以所以有x1所以D+E=?6，①又圓C過點A(4，2)，B(1由①②③得D=?4，E=?2，F=0，所以圓C的一般式方程為x2+y（2）解：設A(?3，?9)所以有y1+9x1+