專題04一次方程（組）（時間：60分鐘，滿分100分）一、選擇題（每題3分，共30分）1．（2022·四川資陽·七年級期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根據方程的定義即可一一判定．【詳解】解：含有未知數的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知數，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故選：C．2．（2022·河北滄州·七年級期末）若關于的方程的解是，則的值是（

）A．1 B．5 C．-1 D．-5【答案】C【分析】把代入方程，得到關于a的方程，求解即可．【詳解】解：把代入方程，得a+3=2，解得：a=-1，故C正確．故選：C．3．（2022·河北保定·七年級期末）已知是有理數（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】根據等式的性質，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.如果，那么，故該選項不正確，不符合題意；

B.如果，那么，故該選項正確，符合題意；C.如果，當時，那么，故該選項不正確，不符合題意；

D.如果，當時，那么，故該選項不正確，不符合題意；故選B4．（2022·河南·南陽市第三中學七年級階段練習）已知，滿足方程組，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據兩個方程中未知數系數的特點，把兩個方程相加即可求得結果的值．【詳解】方程組中的兩個方程相加得：3a+3b=12即3(a+b)=12∴a+b=4故選：D5．（2022·廣東·汕頭市金平區金園實驗中學七年級期末）某商店以120元一件購進一批上衣，提價25%后出售，以8折售出，則在這次買賣中每件上衣（

）A．賺了5元 B．賺了13元 C．賠了9元 D．不賠不賺【答案】D【分析】根據公式計算出打折后的售價，與進價進行比較，即可判斷．【詳解】售價：（元）利潤：120-120=0（元）所以不賠不賺，故選D．6．（2021·貴州六盤水·八年級階段練習）《九章算術》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50．問：甲，乙兩人各帶了多少錢？設甲，乙兩人持錢的數量分別為x，y，則可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設甲持錢x，乙持錢y，根據題意可得，甲的錢+乙的錢的一半=50，乙的錢+甲所有錢的=50，據此列方程組可得．【詳解】解：設甲持錢x，乙持錢y，根據題意，得：，故選：B．7．（2021·廣東·佛山市城北中學八年級期中）小明解方程組的解為，由于不小滴下了兩滴墨水，剛好把兩個數■和★遮住了，則這兩個數和■和★的值為（

）A．■=8和★=3 B．■=8和★=5 C．■=5和★=3 D．■=3和★=8【答案】A【解析】【分析】把代入求出；再把代入求出數■即可．【詳解】解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；故選A8．（2021·廣東江門·九年級期中）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，得到的解為，乙看錯了方程組中的b，得到的解為．則原方程組的解（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把甲得到的解帶入第二個方程，把乙得到的解帶入第一個方程，然后求解得a，b，再對求解即可.【詳解】把甲得到的解帶入第二個方程，得；把乙得到的解帶入第一個方程，得；則得到方程，解得，故選擇B.9．（2021·河南商丘·七年級期末）關于x，y的方程組與的解相同，則m+n的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據同解方程組，把和聯立解之求出、，再代入其他兩個方程即可得到關于、的方程組，解方程組即可求解．【詳解】解：由題意，聯立方程組，解得：，將代入含，的兩個方程，可得，①②，得：，，故選：C．10.（2022·黑龍江）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】設設購買毛筆x支，圍棋y副，根據總價=單價×數量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數即可得出購買方案的數量．【詳解】解：設購買毛筆x支，圍棋y副，根據題意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-x．又∵x，y均為正整數，∴或或或或，∴班長有5種購買方案．故選：A．二、填空題（每題5分，共15分）11．（2022·貴州貴陽）“方程”二字最早見于我國《九章算術》這部經典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數，的系數與相應的常數項，即可表示方程，則表示的方程是_______．【答案】【分析】根據橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示的系數與等式后面的數字，即可求解．【詳解】解：表示的方程是故答案為：12．（2022·四川眉山）一個多邊形外角和是內角和的，則這個多邊形的邊數為________．【答案】11【分析】多邊形的內角和定理為，多邊形的外角和為360°，據題意列出方程求出n的值．【詳解】解：根據題意可得：，解得：，故答案為：11．13．（2022·四川雅安）已知是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣5的值為_____．【答案】1【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整體代入求值即可．【詳解】解：把代入ax+by＝3可得：，2a+4b﹣5．故答案為：114．（2022·浙江紹興）元朝朱世杰的《算學啟蒙》一書記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．”其題意為：“良馬每天行里，劣馬每天行里，劣馬先行天，良馬要幾天追上劣馬？”答：良馬追上劣馬需要的天數是______．【答案】20【分析】設良馬x天追上劣馬，根據良馬追上劣馬所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良馬20天追上劣馬．【詳解】解：設良馬x天追上劣馬，根據題意得：240x＝150（x＋12），解得x＝20，答：良馬20天追上劣馬；故答案為：20．15．（2022·湖北隨州）已知二元一次方程組，則的值為______．【答案】1【分析】直接由②-①即可得出答案．【詳解】原方程組為，由②-①得．故答案為：1．三、簡答題（共55分）16．（6分）（2022·廣西桂林）解二元一次方程組：．【答案】【分析】利用加減消元法可解答．【詳解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，∴原方程組的解為：．17．（6分）（2022·河南信陽·七年級期末）解方程：【答案】【分析】運用解一元一次方程的一般方法解答，解一元一次方程的一般方法步驟包括：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，原方程式的解為．【詳解】解：去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為1，得：，所以原方程式的解為．18．（6分）（2022·江蘇連云港）我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數和物品價格．【答案】有7人，物品價格是53錢【分析】設人數為人，根據“物品價格=8×人數-多余錢數=7×人數+缺少的錢數”可得方程，求解方程即可．【詳解】解：設人數為人，由題意得，解得．所以物品價格是．答：有7人，物品價格是53錢．19．（8分）（2022·山東濰坊·七年級期末）甲車和乙車分別從A，B兩地同時出發相向而行，分別去往B地和A地，兩車勻速行駛2小時相遇，相遇時甲車比乙車少走了20千米．相遇后，乙車按原速繼續行駛1.8小時到達A地．（1）乙車的行駛速度是多少千米/時？（2）相遇后，甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續行駛，剛好能和乙車同時到達目的地，試求相遇后，甲車以100千米/時的速度行駛的路程和以120千米/時的速度行駛的路程各是多少千米？【答案】(1)100千米/小時(2)甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米【解析】【分析】（1）設乙車速度為x千米/時，根據題意列方程求解即可；（2）設甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，根據“甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續行駛，剛好能和乙車同時到達目的地，”列方程求解即可．（1）解：設乙車速度為x千米/時，依題意得：1.8x＝2x－20，解得，答：乙車速度為100千米/小時．（2）設甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，則依題意得：解得∴（千米）答：甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米．20．（8分）（2022·河南·鄭州外國語中學九年級期末）為紀念一二·九運動86周年，我校組織八年級學生遠赴新密參觀豫西抗日紀念館，學校負責人前去聯系車輛，目前有甲、乙兩種類型的客車供學校租用，據了解：3輛甲型客車與4輛乙型客車的總載客量為276人，2輛甲型客車與3輛乙型客車的總載客量為199人．（1）請幫算一算：1輛甲型客車與1輛乙型客車的載客量分別是多少人？（2）我校八年級學生共850人，擬租用甲、乙兩型客車共20輛，一次將全部師生送到指定地點．若每輛甲型客車的租金為800元，每輛乙型客車的租金為1000元，請給出最節省費用的租車方案，并求出最低費用．【答案】(1)1輛甲型客車與1輛乙型客車的載客量分別是32,45人(2)最節省費用的租車方案為甲型車3輛，乙型車17輛，最低費用為19400元【解析】【分析】（1）設1輛甲型客車與1輛乙型客車的載客量分別是人，由題意知計算求解即可．（2）設租用甲型客車輛，乙型客車輛，由題意知，解得：，費用，可知時費用最低，進而得出結果．【詳解】(1)解：設1輛甲型客車與1輛乙型客車的載客量分別是人由題意知解得∴1輛甲型客車與1輛乙型客車的載客量分別是人．(2)解：設租用甲型客車輛，乙型客車輛由題意知解得：費用費用最低時，輛元∴最節省費用的租車方案為甲型車3輛，乙型車17輛，最低費用為19400元．21．（8分）（2022·四川雅安）某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品和5件B商品費用相同，購進3件A商品和1件B商品總費用為360元．（1）求A，B兩種商品每件進價各為多少元？（列方程或方程組求解）（2）若該商場計劃購進A，B兩種商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，求銷售完A，B兩種商品后獲得總利潤w（元）與m（件）的函數關系式．【答案】(1)A，B兩種商品每件進價分別為每件100元，每件60元．(2)利潤w（元）與m（件）的函數關系式為：【分析】（1）設A，B兩種商品每件進價分別為每件x元，每件y元，則根據購進3件A商品和5件B商品費用相同，購進3件A商品和1件B商品總費用為360元，列方程組，再解方程組即可；（2）由總利潤等于銷售A，B兩種商品的利潤之和列函數關系式即可．【詳解】(1)解：設A，B兩種商品每件進價分別為每件x元，每件y元，則解得：，答：A，B兩種商品每件進價分別為每件100元，每件60元．(2)解：由題意可得：即總利潤w（元）與m（件）的函數關系式為：22．（13分）對任意一個三位正整數m，如果各個數位上的數字之和為18，則稱這個三位正整數m為“美好數”．（1）最小的三位“美好數”是，最大的三位“美好數”是．（2）求證：任意一個三位“美好數”都能被9整除．（3）若一個三位“英好數”前兩位數字組成的兩位數與這個“美好數”個位數字的4倍的和為111，求滿足條件的三位“美好數”．【答案】（1）189，990；（2）見解析；（3）【分析】（1）要使“美好數”最小，則百位須為1，然后根據各個數位上的數字之和為18，即可得；要使“美好數”最大，則百位須為9，然后根據各個數位上的數字之和為18，即可得；（2）設百位數為a，十位數為b，個位數為c，將這個數表示出來，進行等量代換，然后提取公因式即可證明；（3）由（2）及題意，列出方程組化簡可得，