高職高考數學復習§8.4直線與圓、圓與圓的位置關系【復習目標】1.理解并掌握圓與直線的位置關系,會判斷直線與圓的位置關系.2.掌握圓與圓的位置關系,會判斷圓與圓的位置關系.3.能運用圓與直線、圓與圓的位置關系的知識,求解相關問題.【知識回顧】1.直線與圓的位置關系直線l:Ax+By+C=0與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系,有兩種判別方法.(1)幾何法.設圓心到直線的距離為d,半徑為r.①d>r?直線與圓相離?圓與直線沒有公共點.②d=r?直線與圓相切?圓與直線有一個公共點.③d<r?直線與圓相交?圓與直線有兩個公共點.

【說明】若從計算的繁簡來考慮常使用幾何法,而判別式法是解析幾何中研究兩曲線交點問題的通法,具有一般性.當直線與圓相離時,圓上的點到直線的最大距離=d+r,最小距離=d-r,其中d為圓心到直線的距離.2.圓的切線(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

特別地,過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x·x0+y·y0=r2.(2)過圓外一點的圓的切線一定有兩條,求切線方程,一般先設直線的斜率,再利用直線與圓相切,即d=r來求出斜率,注意這種解法需討論斜率k存在和不存在兩種情況.

【說明】幾何法只適用于直線與圓,而代數法是解析幾何中直線被曲線截得的弦長的求解通法,具有一般性.另外也可以直接求直線與曲線的兩個交點坐標,再運用兩點間距離公式得到弦長,但此方法計算比較繁瑣.4.圓與圓的位置關系圓C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2,圓C2:(x-a2)2+(y-b2)2=R2,d=|C1C2|.(1)外離?d>R+r; (2)外切?d=R+r;(3)相交?R-r<d<R+r(R>r); (4)內切?d=R-r;(5)內含?d<R-r.【說明】判斷圓與圓的位置關系可如下圖所示:【例1】已知圓(x-1)2+(y+2)2=6和直線2x+y-5=0.(1)求圓心到直線2x+y-5=0的距離d;(2)判斷圓與直線的位置關系.

【點評】解題關鍵是求出半徑r和圓心到直線的距離d,根據直線與圓相切d=r、相交d<r、相離d>r的定義來判斷.通常利用幾何法更簡便.【對點練習1】已知圓(x-2)2+(y+3)2=10和直線3x-y+11=0.(1)求圓心到直線3x-y+11=0的距離d;(2)判斷圓與直線的位置關系.

【例2】求圓心在點C(1,3),且與直線3x-4y-6=0相切的圓的方程.

【點評】此題已知圓心,欲求圓的方程,只要求出圓的半徑即可,關鍵點是要抓住相切.

【例3】已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當b為何值時,圓與直線.(1)有兩個公共點;(2)有一個公共點;(3)沒有公共點.

【點評】交點個數也可以理解為直線與圓的位置關系,沒有交點表示直線與圓相離,有一個交點表示直線與圓相切,有兩個交點表示直線與圓相交.本題可采用幾何法或判別式法來進行判斷,但幾何法的計算量相對少一點.【對點練習3】已知直線x+5y+C=0與圓x2+y2=25,當C為何值時,圓與直線:(1)有兩個公共點;(2)有一個公共點;(3)沒有公共點.

【對點練習3】已知直線x+5y+C=0與圓x2+y2=25,當C為何值時,圓與直線:(1)有兩個公共點;(2)有一個公共點;(3)沒有公共點.

【對點練習3】已知直線x+5y+C=0與圓x2+y2=25,當C為何值時,圓與直線:(1)有兩個公共點;(2)有一個公共點;(3)沒有公共點.

【對點練習3】已知直線x+5y+C=0與圓x2+y2=25,當C為何值時,圓與直線:(1)有兩個公共點;(2)有一個公共點;(3)沒有公共點.【例4】已知圓(x-1)2+(y+1)2=25上一點P(5,2),求過點P的圓的切線方程.

【點評】圓的切線垂直于過切點的半徑是求圓的切線的切入點.兩條直線垂直可通過斜率反映;也可從兩個向量內積為零體現垂直的性質.利用向量知識也可以解決過直線上一點求圓的切線問題.

【例5】求直線x-y=0被圓(x-3)2+(y-1)2=9所截得的弦長.

【對點練習5】求直線3x-4y+5=0被圓x2+y2=4所截得的弦長.

【仿真訓練】一、選擇題1.直線x+2y-8=0與圓x2+y2=25的位置關系是 (

) A.相離 B.相切 C.相交且過圓心 D.相交但不過圓心【答案】 D2.直線3x+4y-21=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4的位置關系是 (

) A.相離 B.相切 C.相交且過圓心 D.相交但不過圓心【答案】B3.直線2x-y-5=0與圓x2+y2-4x+2y+2=0的位置關系是 (

) A.相離 B.相切 C.相交但不過圓心 D.相交且過圓心【答案】D4.已知直線x+y+m=0經過圓x2+y2-2x+6y=0的圓心,則m= (

) A.2 B.-2 C.0 D.3【答案】A

6.圓心在(-1,2),且與直線3x-4y-4=0相切的圓的方程為 (

) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x+1)2+(y-2)2=16 C.(x-1)2+(y+2)2=9 D.(x-1)2+(y+2)2=16【答案】A7.直線x=1與圓x2+y2=9的交點個數是 (

) A.0 B.1 C.2 D.3

8.若直線x-2y+3=0與圓(x-3)2+(y+2)2=a相切,則a= (

) A.5 B.10 C.15 D.20

9.兩圓x2+y2=9與(x-3)2+(y+4)2=16的位置關系是 (

) A.外離 B.外切 C.相交 D.內切

【答案】B二、填空題11.直線x+y=0與圓(x-2)2+y2=4的位置關系是

.【答案】相交12.兩個圓x2+y2=4和(x-5)2+y2=9的位置關系為

.

13.圓心在點C(-1,2),且和直線3x-4y+1=0相切的圓的方程為

.

14.若直線x-y-2=0與圓x2+y2=r2相切,則r=

.

15.已知圓x2+(y+1)2=25上一點A(-4,2),則過點A的圓的切線方程為

.

三、解答題16.已知點A(-2,3)和B(8,5),求以線段AB的中點為圓心,且與直線x+y-1=0相切的圓的標準方程.

17.已知圓的方程x2+y2-4x+8y+19=0,求:(1)圓的圓心、半徑和面積;(2)與已知圓有相同圓心,且與直線x-2y-5=0相切的圓的方程.

【提高訓練】一、選擇題1.直線y=3x-5與圓(x+3)2+(y-1)2=8的位置關系是 (

) A.相離 B.相切 C.相交且過圓心 D.相交但不過圓心【答案】A2.直線4x-3y+10=0與圓x2+y2+2x-4y+3=0的位置關系是 (

) A.相離 B.相切 C.相交且過圓心 D.相交但不過圓心【答案】C

【答案】B4.若直線3x+4y+k=0與圓x2+y2=4相切,則k的值為 (

) A.-1或19 B.1或-19 C.1 D.±10【答案】D5.與圓C1:(x-3)2+(y+1)2=5有相同圓心,且面積是圓C1面積4倍的圓的方程是 (

) A.(x-3)2+(y+1)2=10 B.(x+1)2+(y-3)2=20 C.(x+1)2+(y-3)2=10 D.(x-3)2+(y+1)2=20【答案】D6.若直線3x+4y+k=0與圓x2+y2-6x+5=0相切,則k= (

) A.1或-19 B.10或-10 C.-1或-19 D.-1或19【答案】A7.若圓x2+y2-2x+4y=3-2k-k2與直線2x+y+5=0相切,則k= (

) A.3或-1 B.-3或1 C.2或-1 D.-2或1【答案】B

【答案】D

【答案】D

【答案】C二、填空題11.圓x2+y2=13與直線x-y-1=0的位置關系為

.【答案】相交

【答案】113.圓心在點C(2,1),且與直線5x+12y+4=0相切的圓的方程為

.【答案】(x-2)2+(y