計算機控制技術重點

第1章計算機控制導論

學習重點

1本章學習要求與重點

本章是全書的導論。本章是在講述連續控制系統的自動控制原理課程的基礎上

講述計算機控制系統的組成、工作原理及特點和發展概況。同時，本章還要針對

計算機控制系統課程學習中的一些問題做些說明，以幫助學習者后續的學習。學

習本章主要應注意掌握下述重點內容：

1）計算機控制系統與連續（模擬式）控制系統的根本差別是數字計算機作為系

統控制器參與對被控市象的控制，用計算機系統取代了模擬控制器。由于數字計

算機T作的特點，使計算機控制系統與連續控制系統有許多不同的特點和優點c

同時由于計算機參與控制，計算機控制系統的控制過程可以歸結為：實時數

據采集；實時決策及實時控制。注意了解和掌握“實時”的概念，這與通常計算

用計算機或在線數據處理用計算機是不同的。

2）依據對計算機工作原理的了解，應清楚地掌握計算機控制系統的基本組成

（如圖1-4所示），要初步了解計算機參與控制時，計算機系統的最小配置及各

種配置的基本功用。

3）由于計算機參與控制，計算機控制系統有如下兩個重要特點：

.系統是一種混合信號系統。要清楚地了解，系統中存在有五種信號形式，

其中采樣、量化和信號恢復三種變換對系統特性有影響，是最重要的。同時，由

于是混合信號系統，給系統分析和設計帶來一些新的問題，這種影響將會在后續

課程中看到。在后續課程的學習過程中，讀者應時刻想到這個問題，并注意應采

取怎樣的措施加以解決。

.系統可以實現分時串行或并行控制。即一臺計算機可以通過分時串行或并

行方式同時控制多個被控對象或被控量，在復雜系統控制時可以極大地降低成

本。

4）從概念上初步了解，和連續模擬式控制系統相比，計算機控制具有無可比

擬的優點，從而幫助我們理解，為什么計算機控制系統今天獲得了如此廣泛的應

fflo

5）應對計算機控制系統的發展與應用有關內容有一般地了解。

6）要了解目前常用的計算機控制系統分類狀況，特別是要清楚地了解“直接

數字控制（DDC）”的概念，本書主要討論DDC系統的分析與設計問題。

7）本書在1.5節中討論的計算機控制系統的理論與設計問題，初步說明了讀者

在掌握了連續控制系統理論與設計問題后，學習計算機控制系統的理論與設計問

題的必要性，以增強讀者學習本門課程的主動性，并指出了后續學習應注意和關

心的問題。本節中所列出的幾個問題將在后續內容中逐步加以說明。

8）本書在本章中專門就本學科中經常用到的“計算機控制系統”、“采樣系統”

及“離散系統”概念加以說明和區分，其目的是希望讀者在學習本課之前就對后

續課程中常用的這些名詞術語有清楚的了解，知道它們之間的區別與關系。

2重點與難點問題說明

1）計算機控制系統是目前及未來最廣泛應用的系統。就目前最常用的計算機

控制系統來說，與過去常用的連續模擬系統相比，主要的差別就是前者用計算機

系統取代了常規的模擬式控制器，即計算機系統作為系統控制器參與系統工作，

由此應特別注意控制用計算機與通常計算或管理用等計算機的差別。控制用計算

機除了系統所必需的不同類型信息的輸入/輸出通道（如A/D、D/A及數字I/O等）

外，最重要的是計算機必須處于“實時”工作狀態。在工程中常采用“熨時”、“在

線”工作等名詞概念。

如教材中所述，“實時”是指信號的采集、處理及指令輸出整個運行過程必須

在一定的時間內完成，如超過一定的時間就失去了控制時機,控制就失去了意義。

所需時間將依具體系統特性確定。如不要求必須在一定時間內完成，通常稱為“非

實時

“在線”工作僅指被控過程和計算機直接連接并受沖算機控制的工作方式，又

稱聯機方式。如果計算機不直接和被控過程相連，其工作不直接受計算機控制，

而是通過中間記錄介質，由操作者進行聯系與操作，則稱離線或脫機工作方式。

顯然，一個在線系統不一定是實時系統，但一個實時系統必定是在線系統。

2）本章給出了計算機控制系統的最小配置組成，這部分內容只要有初步的概念

即可，詳細的內容將在第7章說明。

3)本章說明了計算機控制系統優于常規模擬系統的一個重要特點是一臺計算機

可以實現分時串行或并行控制。盡管一臺計算機比一臺控制器價格要貴，但由于

實現分時串行或并行控制，可以同時控制多套系統，因此，從經濟上來說也是有

利的。所謂分時串行、并行控制可用圖1-1說明。

*

輸入運算輸出輸入運算輸出

.

r(k-l)Si-k珞

(a)串行控制

(k-1)路輸入運算輸出

k路輸入運算輸出

(k+l)路輸入運算輸出

—?△l

(b)并行控制

圖分時控制

4)容易理解計算機控制系統所具有的獨特優點。但對教材中所提到的抗干擾能

力較低的說法可能難以理解。這種說法的本意是說，由于數字計算機是依二進制

數字編碼工作的，且信號電平較低，所以各種噪聲干擾容易破壞計算機工作，與

依據連續模擬信號工作的系統比較起來，可靠性偏低。因此，在構建現代數字飛

行控制系統時，人們常常還采用連續模擬式備份系統，以便在余度數字飛行控制

系統失效后仍能安全控制飛機飛行。但由于計算機具有的強大的計算和邏輯判斷

能力，容易采取提高兀靠性措施，因此計算機控制系統的可靠性是有保證的。

5)本章在最后一節集中說明了計算機控制系統、采樣系統和離散系統概念，當

不考慮計算機系統字長的影響，認為計算機控制系統中僅有采樣和信號恢復信號

變換形式，則系統中某些點信號是時間離散形式，.而另外一點上信號是時間連續

的，這種系統稱為采樣系統。實際上，采樣模型是一種自然描述。許多系統本身

就是固有采樣系統。例如：

?雷達天線轉動起來，天線每轉一周才獲得有關方位信息，所以采樣模型自

然是描述雷達系統的自然方法。

.經濟系統中的信息常常是跟日期緊密相連的，而日期是按一定時間，例如每

日或每月進行獲取的。

.內燃機是一個采樣系統,它的點火裝置可以看作是使內燃機同步運行的時鐘。

每一次點火將產生一個轉矩脈沖。

類似系統還很多，所以有關采樣系統的分析早于計算機控制系統的出現，并

且有關采樣系統理論也比較成熟。

由于采樣系統中既有時間離散信號又有連續信號，通常被控過程的狀態是連

續變化的，分析起來較為困難，所以，工程上常常人為地將被控過程的狀態離散,

從而使系統在輸入及輸出之間均為時間離散系統，這樣分析起來就較為方便了。

請注意，后續課程均采用這種方法，即將計算機控制系統看為純離散系統C

第2章計算機控制系統的數學描述

學習重點

1本章學習要求與重點

本章是學習計算機控制系統課程的基礎。本章將首先分析計算機控制系統中重

要的“采樣變換”與*信號恢復-零階保持器”的數學描寫方法及其特性；在此

基礎上，將計算機控制系統簡化為離散時間系統，介紹離散時間系統的差分方程、

脈沖傳遞函數及系統動態結構圖、離散系統頻率特性和狀態空間四種描述方法及

其特性，最后將以第一章介紹過的雷達天線指向跟蹤系統為例，建立上述幾種數

學描述模型。

注意，上述四種數學描述方法均要利用z變換的數學工具，考慮到Z變換己

在前修課“自動控制原理”中學習過，故教材中不再專門論述，但在光盤學習輔

導資料中對Z變換做了簡短介紹，讀者可自行復習，在紙質教材的附錄中給出了

常用函數的Z變換表格。學習本章應注意掌握下述重點內容：

I)要深入了解和掌握采樣過程的各種數學描述方法及其特性。

(1)要清楚地了解和掌握下述名詞述語的基本概念

理想采樣；采樣周期7;采樣頻率/;采樣角頻率例；均勻采樣；單采樣

速率與多采樣速率；奈奎斯特頻率口小頻譜混疊；頻率折疊；隱匿振蕩等,

(2)要記住理想采樣開關及理想采樣信號的數學描述方法及其特性

.理想采樣開關數學描寫名=之小一6

.理想采樣信號的時域數學描述rs=￡f(kT”a—kT)

*=0

其中貿表示脈沖發生時刻，式攵7)表示采樣信號序列。

.理想采樣信號的拉氏變換數學描述

有兩種表示方法—F*(s)=L[f\t)]=dr=￡/伏年-切

°A=0

1?

—尸(s)=^Z”(s+j〃g)

要求清楚了解F*⑸的特性，即尸小)是周期函數，其周期值為，瑟以及若

尸(S)在5=51處有一極點，那么嚴W必然在S=S|協3處具有極點。

.理相采樣信號的頻譜數學描述

18

F'(jco)=-^F(jM+jna)s)

*M=-X?

要注意了解理想采樣信號/*⑺的頻譜與連續函數/⑺頻譜印。)的關

系，能熟練地依連續函數/⑺頻譜&j①)畫出理想采樣信號/*")的頻譜尸F口的

形狀，并對結果進行分析。

(2)要牢記和理解采樣定理的含義及應用

.要記住采樣定理，并清楚采樣定理只是說明了采樣信號不失真的條件；

.要了解如果不滿足采樣定理，采樣信號會產生失真現象，通常，信號的高

頻分量會折疊為低頻分量；在某些情況下會產生隱匿振蕩現象等。

.了解前置濾波器(又稱為抗混疊濾波器)的概念及作用。

2)掌握采樣信號的恢復裝置-零階保持器的數學描述及特性

(1)了解采樣信號理想恢復條件及物理不可實現原因；

(2)熟記零階保持器的數學描述：

.時域方程為一￡?)=/(b),kT<t<(k+\)T

.脈沖過渡函數一4?)=/(，)—%(，一丁)

1_-s/

.傳遞函數一&($)=---e---

.頻率特性…Gh(jMJy""二空5.(3兀/4)?-。。依加

jfycoscon!cos

sin(07/2)2兀sin(697r/&)

幅頻特性為心(網=7

corn0s。兀/a)、

相頻特性為4(M=--=-—

g2

(3)深刻了解零階保持器時域及頻率特性的特點，特別應牢記，它是個低通

濾波器，將會產生相位滯后，它的時間響應呈階梯特性且有T/2的時間滯后。

(4)了解后置濾波器的概念及作用。

3)離散系統最基本的描述方法是差分方程。了解向前及向后差分的定義及相應

的線性差分方程的表示方法。會使用z變換方法及迭代法求解線性差分方程。

4)離散系統z域描述-脈沖傳遞函數是離散系統最基本的描述方法，要注意了

解和掌握以下幾方面問題:

(1)脈沖傳遞函數的定義，要記住，只有一個環節輸入輸出均為采樣信號(即

均有采樣開關)時，才能寫出脈沖傳遞函數。

(2)要熟悉求取脈沖傳遞函數的方法以及常用的表示方式，特別要熟悉使用

/多項式之比的脈沖傳遞函數表示方法。

(3)要了解脈沖傳遞函數零極點的一些特性：G(z)的極點可按z=e"的關系

從G(s)極點映射得到，且當了足夠小時G(z)的極點都將密集地映射在z=l附近。

但零點沒有相互映射關系，且采樣會增加額外的零點，當采樣周期較小時，G(z)

常會出現不穩定的零點。

(4)掌握脈沖傳遞函數與差分方程相互轉換方法。

4)離散系統用方塊圖描述是最常采用的數學描述方法.但在采樣系統中，既有

連續環節，乂有離散環節，而且采樣開關的位置也不完全相同，因此，方塊圖等

效變換的具體作法與連續系統稍有差別，應特別予以注意。

(1)等效變換的基礎是環節的變換.應注意：

一采樣系統中連續部分的結構形式不同，有的結構將不能寫出脈沖傳遞函數；

一在求取串聯環節的脈沖傳遞函數時要注意環節之間是否有采樣開關.如果環

節之間沒有采樣開關，只要把環節串聯起來后即可進行z變換，這種環節稱為獨

立環節；

一閉環負反饋系統的等效變換時要注意采樣開關的位置，可記住下式：

=前向通道所有獨立環節，變換的乘枳

1+閉環回路中所有獨立環節Z變換的乘積

注意輸入信號R(S)也作為一個連續環節看待。如要R(z)存在，則可以依

上式寫出閉環系統脈沖傳遞函數，否則將無法得到脈沖傳遞函數,只能寫出輸出

量的z變換。

(2)在求取計算機控制系統不同輸入與輸出之間閉環傳遞函數時要注意將冬

階保持器傳遞函數與連續部分的傳遞函數組合起來進行z變換求得G(z):

1

G(z)=黑=Z[^^GO(5)]=(1-Z-)Z[-GO(5)]

u(z)ss

5)離散系統頻域描述-頻率特性是另一種數學描述方法,雖然定義方法與連續

系統頻率特性類似,但其有許多特點值得注意.

(1)離散系統頻率特性按式G(ek")=G(z)L二一B.jJ計算，相當于考察脈沖傳遞

函數G(z)當Z沿單位圓變化時(z=e。的特性。

(2)離散系統頻率特性常常用指數形式表示G(eM)=|G(eM)|NG?")其

中，|G(ej")|稱為幅頻特性，NG(e“j稱為相頻特性。幅相頻率特性也常用對數

頻率特性表示。可以采用數值方法及作圖法進行計算，當前用MATLAB程序計

算最為方便.

(3)應特別注意與連續系統不同，離散系統頻率特性G(e〃")是。的周期函數，

其周期為牡，即G(e>7)=G(ej(^)r)。

(4)在使用離散系統頻率特性時，應注意如下問題：

―離散環節頻率特性G(e)")不是⑴的有理分式函數，不能像連續系統那樣使用

漸近對數頻率特性。

一離散環節頻率特性形狀與連續系統有較大差別，當采樣周期較大以及頻率較

高時，由于混疊，使頻率特性形狀有較大變化。

6)離散系統狀態空間描述-狀態方程是用現代控制理論設計時采用的基本數學

描述方法。本書在第六章討論計算機控制系統現代控制設計，本節可以在學習第

六章時進行學習。在學習狀態空間描述時應注意掌握如下問題：

(1)注意掌握離散系統狀空間描述的具體形式以及各變量、矩陣的含義和維

度關系。

(2)了解各種建立狀態空間模型方法以及求解方法。

(3)本節最為重要的是掌握計算機控制系統狀態空間模型的建立方法,其中包

括：

---含有ZOH時連續被控過程離散狀態方程的形式：

—+1)T]=F(T)x(kT)+G(T)w(AT)

y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)

F(T)=e",G(T)=可：Vd

—F(T),G(T)求解方法。

7)本章應通過最后實例進一步鞏固對幾種數學模型的認識及應用。

2重點與難點問題說明

1)實際采樣信號頻譜形狀與理想采樣信號頻譜是有所不同的。由于實際采樣時均

有一個采樣時間P，因此實際采樣信號不能用脈沖序列心⑺描述，而應采用有限寬

度脈沖序列表示，如圖2/所示。

p(t)=￡"“一什)一(，一％7-〃)](2-1)

Jt=-X>

-T-T+P0PTT+P2T2T+P1

圖2-1有限寬度脈沖序列

采樣過程仍可看作脈沖調制過程,因此實際采樣信號為

4(t)=X/(^T)ks(r-kT)-us(t-kT-p)]

k=0

參看本教材參考文獻[1]可知，當采樣時間P較小時可分別得到：

拉氏變換一C(s)=pF\s)

時域表示一￡?)=pf\t)

這表明實際采樣信號匕近似看作理想采樣信號乘一個衰減系數。類似地，可以得

到實際采樣信號傅里葉變換：

耳(/。)=SQF(jG+j〃&s)

W=-00

其中傅里葉系數C；為脈沖序列p(f)的頻譜：

C二”sin(〃@〃/2)c_j，3W2

n

~Tncosp/2

一個連續信號在滿足采樣定理時，實際采樣信號頻譜如圖2-2所示。

-6叫-4。2叫一叫O3$244%6CV5

(a)膿沖序列雙，)的幅頻譜

IFO)|

也叫^“3

2-a>rco.-2

(b)連續輸入信號/⑺的幅頻講

1個』劉「胖工"八,工一?

?4o>；如,一/?竹t”.2a43，6山s「

2.0?A*

(C)采樣器輸出信號方⑺的幅頻譜(g>23)

圖2-2實際采樣信號頻譜

2)關于采樣定理的說明

有一些教材在談到采樣定理時，說為使采樣信號不失真，要求例>2端以，這

是不準確的。采樣定理明確要求采樣頻率要大于信號中最高頻率兩倍，而不是大

于或等于最高頻率兩倍。下面的例子可以說明這個問題。

例2-1考慮正弦信號x(f)=sin(卬)，其采樣信號為x(S=sin(4"),若取采樣

頻率例=2例),即采樣周期7=2兀/%=兀/程),則采樣信號為x(kT)=sin(E)=0,即

恒為零，如圖2?3所示。表明采樣信號已失真。

圖2-34=2g時采樣信號恒為零

3)本書在推導采樣信號的頻譜時是直接利用采樣信號的拉氏變換導出的，即

尸燈⑼=尸(s)Ls=J為尸(s+18

尸燈。+.儂)

有同學會問這樣做,對嗎？實際上，在很多教材中都是這樣做的。在相關“信號與

系統”教材中，在談到雙邊拉氏變換時曾說，如令S=/G,則此時拉氏變換即為傅

里葉變換，即

x(jM=Ms4_j&=Jx(/)e-J'7J/=Jx(t)e~iMdt

l$=j@

控制原理中拉氏變換用的是單邊拉氏變換，實際上，任何在/<0時都為零的信號,

其雙邊和單邊拉氏變換相等。

4)關于尸*(5+初0)=尸*(5)特性的證明

已知

F*(s+刖程)=￡/(仃)"b"皿=￡/(b圮-入即不

k=0k=0

因為已-所叫=eT班心"=已一步的=],所以有

F*(s+j〃3)=力/何狀JF”(s)

A=0

5)關丁工(/)=ACUS(4)/)的傅氏變換

PR,8Q-j為'—4'A,8

x(o)=「AcosQQe-j"=----------e-^dt=&

4

=耳[2兀53—g)+2兀33+供))]=4兀5(◎—g)+4兀53+秋))

式中JeJ'"9"=j[cos(<y-ty0)t]dt-jj[sin(<y-co0)t]dt=j[cos(3-fy())“山

令，=2型,市=2兀0/,8一豌=乙，所以

J[cos(2itfti)x2jtdf]=2nJ(cos2nft})df

依脈沖函數性質「cos(2型)d,=5(/),有

J-O0

2兀j(cos27t/zl)d/'=27t^>(/1)=2兀5(。一g)

類似也可得到正弦信號x(f)=Asinc^t的傅氏變換式:

x(<y)=A用5(3-g)-演①+豌)]

6)關于ZOH相角的一點說明

ZOH相角為4(。)=-型+/皿初^"),其中相角/.歷/%)決定于

sin(mr/?)，由此可見，它決定于的整數倍數，若取整后其倍數為偶數(0,2,4….),則相角

為零，其倍數為奇數(135…相角為-砥因此,相頻特性形狀可用圖2-4表示。考慮到相角的

周期為2兀因此可將該圖轉換為教材中的圖2-18。

圖2-4ZOH相角

7)關于脈沖傳遞函數零點的補充說明

n階連續系統若有m個零點，通常〃>〃2,其差介止〃?,可認為其位于無窮處.離散

系統通常有?-1個零點，因此連續系統離散后會產生額外零點.但相互之間找不到

簡單的映射公式.

但是在采樣周期較小時,離散時間系統零點將近似為馬^爐’,式中號為連續系

統零點。而隨著采樣周期趨于零時，離散時間系統的(d?l)個零點將趨于下表中多

項式的零點。

d=2d=3d=4

z+1Z2+4Z+1z3+4z2+4z+l

8)關于閉環脈沖傳遞函數的推導

在推導閉環傳遞函數時要注意在何處有采樣開關，并且一個傳遞函數不能有兩

種不同的輸入端，即不能認為它即有連續信號輸入端又有采樣信號輸入端。例如

圖2-5(a)所示結構是不對的。此外,在綜合點也只能是相同信號的綜合，不能連續

信號與離散信號綜合，如圖2-5(b)所示。如果必須綜合，就必須將連續信號進行采

樣或將采樣信號經過保持器變為連續信號.

用s)

U⑸Ris)

G(s)

T\員s)

----b(x)(a)T(b)

圖2?5不正確的結構

9）關于離散系統頻率特性計算

Qz)

r(O=sin(wr)c(A)=i4sin(a)kT+>p't

r(k)=sm(wkT)

c(，)=/sin(a)t+tp)

圖2-6離散系統的頻率特性

如圖所示，輸入采樣信號的拉氏變換式為

zsincoT

R(z)=Z[r(k)]=

(z-e>r)(z-e->r)

系統輸出為

C（2）=G（*（z）=G（z）（”e忌安7

azbz

+［G（z）極點產生的展開項］

(zU仁…")

式中系數分別為

八G(z)smS-jsin〃G(e“j

(

仁-丁)—%~-2j

b=G⑶、由畫(z32sin(f)TG(e-J

=G(eT")->r_>r

(z-ew」)(z-e-wr)ee2j

若采用極坐標表示則有

G(e>r)=Ml,G(eTM)=

代入輸出式中，得

/V/ze/」0,ze‘°

c.罰⑶極點產生的展開項］

反變換，得

式外二一愴刈出心/依g勺+[G(z)極點產生的瞬變項的z反變換]

2j

設系統穩定，當時間足夠長以后，瞬態消失，系統穩態輸出為

c(k)=—~推"+6>]=Msin(kcoT+0)

2j

所以，輸出信號與輸入信號的幅值比為M=|G(e+?

輸出信號與輸入信號的相角差為0=NG(e?‘).

10)關于脈沖傳遞函數的一點說明

如前所述，若已知連續傳遞函數，脈沖傳遞函數可以通過z變換求得。現在

若問如采樣周期T趨于零時，脈沖傳遞函數是否趨于原連續傳遞函數？分析表

明，當7趨于零時脈沖傳遞函數并趨于原連續傳遞函數。這是因為脈沖傳遞函數

G(z)的推導是依據采樣信號的基礎，采樣周期7二0,采樣系統已無意義，所以

G(s)工盤G(Z)LJ,

但當連續被控對象傳遞函數與零階保持器串聯后進行z變換，所得脈沖傳遞

函數在T趨于零時將恢復為原連續被控對象傳遞函數。

例如已知連續傳遞函數為G(s)=‘，其脈沖傳遞函數為

s+a

z'T

G(z)=Z[G(s)]=a----斤=a—-e---3

z—ee—e

當7很小時?c,r?\+sT,eaT^\-aT?所以

G(Z)=Z[G($T1+sT1+"

eh\+sT-\+aTr(s+。)

顯然當T趨于零時，G(z)并不趨于原G(s)。

但當連續被控對象傳遞函數與零階保持器串聯后進行z變換，所得脈沖傳遞

函數在7趨于零時將恢夏為原連續被控對象傳遞函數。如上述環節

1_e-Ts1_e-wT]-\+aT_aT_a

G⑶"[丁G")]=R

\+sT-\+aT~T(s+a)-(s+a)

第3章計算機控制系統分析

學習置點說明

1本章學習要求與重點

本章重點介紹計算機控制系統的分析方法。依據自動控制原理，對一個動態

系統特性的分析方法包括系統的穩定性、動態特性和穩態精度等方面的分析，其

中動態特性分析又包括時間響應、頻率特性和系統零極點分析，而穩態精度分析

一般使用穩態誤差分析方法。對于一個計算機控制系統，其穩態特性與動態特性

分析是衡量和評估計算機控制系統性能的有效工具，所有上述分析方法都將轉換

為離散控制系統分析方法加以應用。因此，學習、理解和應用這些分析方法，是

掌握對計算機控制系統分析技術的重要內容。學習本章應注意掌握下述重點內

容。

1）復數域分析

復數域分析重點掌握S平面與Z平面的映射關系，這種映射關系分析方法在

很多復數域描述的系統分析中是很重要有效的一方法，如直角坐標與極坐標分

析、第四章的各種離散化方法、第五章的被’域分析等方法中均得到了應用，因

此掌握這種分析方法對于后面的學習和在未來工作學習中的進一步應用研究都

是很有益處的。

復數域分析的基本概念是依據Z變換公式2=/。點的映射、各種線的映射

和角度的映射等，應通過詳細閱讀相關內容、自行完成書中公式推導。其中：

（1）一個特殊點是S平面的簡單直線或圓，映射到Z平面后幾乎都是曲線

或更為復雜的曲線，這是由于Z變換公式較為復雜造成的。

（2）另一個特殊點如教材圖3-3?圖3-6所示，S平面的主帶與旁帶的映射,

即z變換將s左平面以帶的形式重復地映射到z平面單位圓內，這是由于z變換

cossin

的多值性，寫成幅值和相角的形式后，z=e^=e^V^%s平面上具有相差

2兀相角的點映射到z平面的一點上了。

（3）要清楚地了解s平面上特殊的等阻尼線、等頻率線及等衰減率線在z平

面上映射的曲線形狀。

2）穩定性分析

⑴要牢記離散系統穩定性的判據，離散系統是否穩定決定于它的極點是否

在Z平面單位圓內。這可以從第二章差分方程解的收斂性得到證明，只有極點在

Z平面單位圓內，即離散系統的極點模值小于1,差分方程的解才會收斂，可以

說，不論離散系統是從連續系統變換過來的(如2變換)還是純離散系統(只能

用差分方程或離散傳遞函數描述)，其穩定性唯一反映為特征值位于單位圓內。

(2)另外一點是要掌握離散系統的代數判據，即通過特征多項式的系數判斷

系統的穩定性。與連續系統不同，離散系統的代數判據是利用特征多項式的系數

判斷特征根是否位于單位圓內.最常用的是朱利判據。在使用代數判據時應分兩

步進行，首先應利用必要條件判斷穩定性，如果不滿足必要條件，則沒有必要利用

朱利判據進行判斷。要記住穩定性必要條件是

A(l)>0;(-l),rA(-l)>0

在滿足必要條件后需進一步構造朱利表進行穩定性判斷。

為了后續的學習，要牢記二階系統的穩定性允要條件：

|A(0)|<l;A(l)>0;A(-l)>0

當前由于MATLAB軟件的流行，其控制工具箱可以很方便地求解離散系統

特征值，因此可以直接通過求解特征根判定系統穩定性。但這樣做不易判斷系統

參數對穩定性的影響。

(3)要清楚地了解，由連續系統變換得到的離散系統的穩定性，比原連續系統

的穩定性要差，如果采樣周期丁過大，甚至會變得不穩定，因此，對于這種系統

要研究變換后的穩定性及參數的穩定范圍，其中采樣周期T是一個重要的因素。

3)穩態誤差分析

(1)要了解離散系統穩態誤差定義及其計算方法與連續系統相同.要記住離

散系統穩態誤差的基本計算方法是利用2變換中終值定理。

(2)與連續系統類似，離散系統穩態誤差主要是依據系統前向通道中的積分

環節的個數，將系統分為0型、I型、II型，…，與連續系統的結論也相同。要

記住系統穩態誤差系數的定義及求取方法。

(3)系統的穩態誤差與輸入信號的形式有關，對于一個帶有指令輸入和干擾

輸入的系統，由于該系統是線性系統，其穩態誤差分析可以針對指令輸入和干擾

輸入分別進行，再將結果相加得出系統總的穩態誤差。也可以對系統專門作干擾

誤差分析，即設指令輸入為零就行了。

（4）最后，采樣周期是否會影響系統的穩態誤差？要記住對于具有零階保持

器的系統來說，系統穩態誤差與采樣周期無關。

（5）要記住在求取穩態誤差時必須要保證系統是穩定的，如尚不知系統是否

穩定時，就必須先判定系統是否穩定，如若系統不穩定就無必要研究系統的穩態誤

差。此外，要記住穩態誤差為無窮大，并不表明系統不穩定，僅表明系統不能跟琮輸

入信號。

（6）要了解本節所討論的穩態誤差是系統的原理誤差。實際工程系統中還存

在許多由系統部件所引入的工藝誤差。

4）時間響應分析

系統的時間特性分析是通過時間響應分析完成的。與連續系統相同，離散系

統的時間響應也反映了系統的穩定性、動態特性和穩態特性，因此是一種很有力

的分析T具.

（1）極點位置與時間響應

了解極點位置與時間響應的關系可以幫助我們簡潔、直觀地通過系統的極點

位置了解系統的特性，這一點對于掌握線性系統的分析技術是很有用處的。

離散系統極點位置與時間響應的關系直接來自于z變換，重點參考教材圖

3-17（a）、（b）o其中，圖（a）中的z右半平面的①②③點（正實極點）對應單

調過渡過程，其他點和圖（b）中的各點都對應振蕩過程；依據點在圓內、圓上

和圓外又對應為收斂（穩定）、臨界振蕩（臨界穩定）和發散（不穩定）過程。

這一點與連續系統不同，連續系統極點在s平面實軸上（實極點）為單調過程，

到了離散系統就只有正實軸上的極點對應單調過程了。

要記住不同極點位置對時間響應形狀、振蕩頻率及收斂速度的影響，如教材圖

3-17（c）所示。特別應記住極點位于z平面原點時,它對應的時間響應將是最短

的，即個采樣周期即達到穩態。

（2）時間響應的計算

離散系統時間響應的計算可以用z反變換或長除法（傳遞函數描述）、解差

分方程法（差分方程描述）；也可以利用MATLAB命令求解或構建Simulink方

塊圖完成仿真運算求解。

5）頻率響應分析

頻率特性從另一個角度描述了系統的特性，與連續系統類似,利用系統頻率

特性特別是開環頻率特性可以分析和評價系統的相關特性。重點應注意掌握：

（1）要求掌握利用開環頻率特性判定閉環系統穩定性的奈奎斯特判別方法；

（2）特別應掌握相對穩定性的檢驗方法，即利用相位裕度及幅值裕度判斷系

統的相對穩定性。

（3）與連續系統類似，開環頻率特性形狀及三頻段概念均可用于離散系統動

靜特性分析。

2重點與難點問題說明

1）注意s平面向z平面的映射是唯一的映射，反過來,z平面上的點向s平面上

映射不是唯一的，而是呈現多值周期特性。實際上應注意

勺7一V-_V（5±j@）r-_<7//-j（^r±2^）-_1R\乙/iaZy

由于段=所以,cr,="ln&;而Q=<y/T±2E,所以,今±2E）,

號=加6+*（4±2也）,攵=0,1,2...

顯然，當z平面一個點確定后，用及〃,一定，則s平面則為無窮多個實部相同虛

部呈周期變化的點。

2）通常系統是高階系統，非主導極及零點對系統響應亦有影響,但與時間響應

的性能指標影響比較復雜。近似分析表明，如果非主導極點位于單位圓的正實軸

上及零點位于負實軸上將會減少超調量，但將會增大峰值時間。

3）在利用朱利判據進行穩定性判定時，如果朱利表中有某行全為零時則無法繼

續計算下去,此時應將特征方程各項系數預先加一微小偏移量，再重新列朱利表進

行計算。

4）采樣周期對系統暫態的影響

采樣周期對系統暫態有較大影響。研究表明，如果是欠阻尼狀態，在系統欠阻尼

正弦振蕩的一個周期內應采樣8?10次，在過阻尼系統中，在階躍響應的上升時間

應采樣8?1（）次。應當指出，只有采樣頻率足夠高二階系統阻尼比才是單位階躍響

應最大超調量標志;如果采樣頻率不夠高，單位階躍響應最大超調量將比由阻尼

比預示的大得多。例如，一個閉環系統的脈沖傳遞函數為

”2-----------"H—-

R(z)(z-l)(z-er)+kz(\-e))

如取；2,采樣周期分別取為7M).5s、Is、2s時，可以計算求得閉環極點阻尼比分

別為？=0.24,0.32,0.37,單位階躍響應曲線分別如圖3-1所示。由圖可見，當T=0.5s

時，一個振蕩周期內采樣點數大于6次,系統階躍響應的超調量與閉環極點阻尼比

所預示的超調量一致。如采樣周期增大，盡管阻尼比增大，但超調量亦增大。

圖31k:2,不同采樣周期時單位階躍響應曲線

5)在用MATLAB求解頻率特性時如沒有顯示出離散系統頻率特性的周期變

化，那可能是因為選用的指令較為簡單，沒有給出計算的頻帶范圍，MATLAB

軟件僅計算了一個周期就自行停止了,只要增大計算的頻率范圍就可顯示出頻率

特性的周期性。

6)由于離散系統頻率特性的周期性，因此所繪制的頻率特性曲線在頻率高于

%的頻率范圍內仍有可能出現幅值等于1及相位等于-兀的頻率點，因此，仍可

計算求得相位及幅值裕度，如圖3-2所示，但應用時仍采用主帶內的結果。

圖3-2頻率將性

7）判斷離散系統穩定性的另一種方法是通過一種變換方法將系統傳遞函數變

換到一種類似s平面的新平面上，然后利用連續系統穩定性判別方法進行系統穩

定性判斷。常用的一種變換是卬'變換。關于卬'變換將在第5章討論。

8）在計算機控制系統時間響應分析時，除了利用仿真方法求取采樣間隔間的

信息外，從數學分析角度來說還可以采用擴展z變換方法進行計算，本教材對此

沒有討論，有興趣的讀者可參考有關教材⑴。

第4章計算機控制系統的連埃域-離散化設計

學習重點說明

1本章學習要求與重點

本章重點介紹了離散系統的一種設計方法：連續域-離散化設計。該方法的

前提是首先已經在連續域進行了設計，得到的控制律達到了設計要求并滿足了各

種性能指標，本章僅涉及將控制律離散化的過程C這種方法也叫做“數字化”過

程。在目前的航空航天飛行器控制領域得到了廣泛的應用。一方面，大多數工程

師都習慣于連續域設計，目前的MATLAB軟件又提供了很好的設計分析軟件工具,

使得連續域設計更為簡單，所以先在連續域設計再進行離散化已成為目前復雜飛

行器控制領域設計的首選方法；另一方面，由于我國有大量的舊型號飛行器需要

由模擬控制改造為數字控制，其控制律早已存在，僅需要在改造過程中將模擬控

制器改為數字控制器，因此本質上也是一個離散化的過程。這樣，使得連續域-

離散化設計方法成為目前計算機控制系統控制律設計的較為簡單實用的方法，具

有較重要的工程應用價值。學習本章應注意掌握如下問題。

1）連續控制律離散化的條件

本章第一節就討論給出了連續控制律離散化的條件：系統為低通(頻帶有

限)、采樣頻率足夠高。對于多數控制系統其頻帶一般不高，可以滿足第一個條

件，而采樣頻率是選擇的，依據設計要求可以提高，代價是需要計算速度快的計

算機或處理器，在現在計算機條件下，這種要求也容易滿足。

2)離散化方法

在學習各種離散化方法時需要掌握的要點是：

(1)要記牢各種變爽方法離散化公式以及各種變換方法的特性，應注意掌握

如下幾方面特性：

..每種變換方法的映射特性；

-每種變換方法的穩定性，即變換前后環節穩定性的變化，如果變換不能保

證環節穩定性不變，通營不采用這種方法,如一階向前差分法；

-每種變換方法的穩態增益特性，如果穩態增益有變化，要了解如何加以補

償以保證變換前后環節穩態增益不變；

--每種變換方法的脈沖響應或階躍響應及頻率特性；

-每種變換方法零點、極點的數目；

--每種變換方法的應用特點。

(2)要注意，各種變換方法特性不同，各有優缺點.但不管哪種方法，變換后所

得等效環節與連續環節特性相比均有畸變，畸變程度與采樣周期、環節本身特性

有關彳艮難說哪種是最好的。但Tustin變換方法與其他幾種方法相比，由于其具有

較好特性，應用較多，一階向后差分和匹配z變換方法也有較多應用。

(3)各種變換公式本質上都是z變換的特殊簡化形式，變換后特性優于z變

換。MATLAB軟件提供了變換的算法和指令。

3)PID離散方法

PID控制器作為單輸入/單輸出系統的種有效的控制方法己經沿用了很多

年，目前仍然被廣泛應用著，由于它同時可以兼顧系統的動態、靜態特性而受到

廣大控制工程師的青睞。對于計算機控制系統來說，主要工作是如何將連續域的

PID控制律離散化以及如何對其進行改進。主要應注意掌如下幾方面問題：

(1)要牢記位置式及增量式兩種基本PID離散公式以及各自的優缺點。一般

來說采用增量式算法較為有效，較為簡單,但需要增加計算機外的積分過程，應

用中，比例控制器(P控制)較容易調節；一般很難直接采用微分(D)控制器,

積分(I)控制也需要調節。

(2)要注意利用計算機功能改進數字PID算法幾種方法，其中特別注意：

-產生積分飽和的機理及抗積分飽和各種方法,其中要熟悉積分分離的具體

算法;

-為克服PID算法中微分控制作用的缺點，常采用改進微分算法；

--工程應用時所采用的其他措施.

(3)要注意工業中采用PID算法時，主要參數并不是通過理論計算所得，而是

在對被控過程特性測試的條件下，依經驗進行現場調試所得，所以應對幾種常用的

PID參數整定方法有所了解。

2重點與難點問題說明

(1)由于將連續控制系統轉換為計算機控制系統時在系統中需加入零階保持

器，而零階保持器是一相位滯后環節，因此會使系統特性變壞，為此在連續域設計

時要檢查加入零階保持器后系統特性，如果影響較大則應加入適當的補償,或者減

小采樣周期，如果最初就將采樣周期取得較小，則可以不必進行這種檢查。

(2)選取變換方法時常常只能保證某一種或幾種特性與連續環節相近,很難保

證各種特性的一致性，特別是難以獲得頻率特性的逼真性。因此設計者必須確定

哪種特性是該設計中最重要的。

(3)若傳遞函數的分子階數m高于分母階數〃時，應認為分母在無限遠處有

〃二〃2-〃個極點，因此在零極點匹配法變換時應在分母上補上〃個相應的Z=-l極點,

即分母上要補上(Z+1V。

例如，用零極點匹配法將下述傳遞函數離散,并使低頻增益相等。

D(s)=s+a

解:該環節沒有有限極點，但認為有一個無限極點，因此可得

根據低頻增益相等方法確定增益：

l-e~aT

D(l)=/c------=D(0)=a

1+1

k=

1—e”

2a(z-e-rtT)

因此有D(z)=

l-e-aT(z+1)

(4)以下述傳遞函數為例，證明預修雙線性變換方法可以保證在指定頻率處連續

環節與等效離散環節頻率特性模值與相角相等。

O(s)=—3一令關鍵頻率為助=10

5+10

頻率特性外=10時模值為=0.707=-3dB

頻率特性?=1()時相角為ZD(j⑼=-arctan-=-45

預修正雙線性變換為

10io

D(z)

5+1()L10z-110z-l

+10

107z+1

1----

2

10101

10ejlor-l~=10~~10T

wJtanv+10

107d而+1

tan----

1_1

由此可知，頻率特性域=10的模值為|D(j?)|==0.707=-3dB

VT+7-6

頻率特性3=10的相角為ZD(jco)=-arctan,=-45

所以，預修正雙線性變換方法可以保證在指定頻率處連續環節與等效離散環節

頻率特性的模值與相角相等。

(5)雙線性變換及預修正雙線性變換主要用于低通控制器，高通控制器采用這種變

換，由于頻率特性畸變，高頻特性向低頻壓縮嚴重，所以失真嚴重，故工程不易用于

高通濾波器。例如，。(5)二二一,取7=0.02s,關鍵頻率為例=10,預修正雙線性變

5+10

換可得Q(z)=二=0,909(z-l)o頻率特性如圖4J所示。從圖4/

J+10_ioz-i(z-0.817)

-;-^002^

可見,低頻特性相近，且可以保證在關鍵頻率例=10處頻率特性相等，但高頻特性

相差較多。

F，wpency(rM詠)Fre<MncY(rod*8?c)

（a）連續頻率特性（b）離散頻率特性（預修正雙線性變換）

圖4-1頻率特性比較

第5章計算機控制系統的高效域經典設計

學習重點說明

1本章學習要求與重點

離散域設計是計算機控制系統設計的另一種重要方法。離散域設計通常乂分

為經典與現代控制方法。本章主要講述經典控制設計方法.連續系統的根軌跡設

計、頻率域設計在單輸入/單輸出系統設計中起著重要的作用。對于單輸入/單輸

出離散化系統，沿襲連續域的設計與分析方法有助于學生更深層次地了解控制原

理的基礎知識，了解其在離散域的相應知識與結論，有利于今后的工程實踐過程。

本章主要介紹Z平面根軌跡設計和卬平面頻率域設計。從基本原理及概念上來說

與連續系統基本相同，設計者可以沿用連續系統設計方法完成離散系統設計。學

習本章時主要應注意掌握下述有關問題.

1）時域與頻域設計要求

本章第一節給出了離散系統時間域和頻率域的設計要求，將連續系統設計要

求推廣到離散系統。其中：

?時域要求為穩定性、穩態精度和動態響應過程的各項指標，在連續系統設

計中給出的單位階躍響應的升起時間、峰值時間、超調量和調節時間等，仍然為

離散系統的設計指標。

特別應注意的是，應掌握依給定的時域指標,利用等，線、等Re（s）線及等

Im(s)線確定期望主導吸點在z平面上的范圍的方法。

?頻率域要求仍然為低頻段、中頻段和截止頻率等，與連續系統設計要求相

同。由于z變換是一種超越函數，無法獲得連續域漸近對■數頻率特性，因此不直

接利用z平面對數頻率特性進行設計，而是采用后面介紹的卬變換方法進行禽散

系統頻率域設計。

2)z平面根軌跡及其設計

(1)連續系統的根軌跡分析幫助我們從系統開環零極點位置了解增益變化時閉

環極點的走向，從而了解系統的穩定性、振蕩性等特征，是一種很有效的分析方

法。離散系統根軌跡的繪制方法與連續系統基本相同，但應注意掌握以下幾點：

?當采樣周期較小時，Z平面極點密集在Z=1處，在附近的根軌跡需要高

精度計算才能分辨出來。

?在確定臨界放大系數時應依據根軌跡與單位圓的交點確定。

?采樣周期直接影響到離散系統的根軌跡走向，需要選擇合理的采樣周期等。

(2)根軌跡設計：根軌跡設計具體步驟與連續系統類似。但離散系統利用根軌

跡方法設計時需注意下述問題：

?設計時多數采用零極對消方法，對消掉系統原有的收斂較慢的極點，配以收

斂更快的極點，這一點與連續系統相同。但如果原極點在z=l附近，要精確對

消，需要更高字長的計算機或者處理器，任何不精確的對消都可能造成閉環系

統不穩定。

?采用對消設計時通常在系統中串入適當的超前或滯后環節，因此應清楚了解

超前或滯后環節的零極點分布特點.

?應注意離散系統常常有較多零點，而系統特性還受零點影響，所以在最后分析

系統品質時還應注意零點的影響.

3)卬’變換及頻率域設計

由于離散系統頻率特性的特殊性,離散系統頻域設計通常在卬平面內進行.

⑴M變換

卬變換公式類似于Tustin變換公式，是一種由z平面到w平面的變換，其

結果是離散系統的頻率特性與連續系統的頻率特性在中低頻段內保持一致，這樣

設計者可以利用連續系統頻率域的設計經驗完成設計。注意掌握以下幾點：

?記住由Z域傳遞函數變換為卬域傳遞函數的變換公式；

?了解和掌握卬變換的基本特性,特別應注意W變換將Z平面單位圓映射為被

平面虛軸，卬平面特性類似于S平面.此外應注意他變換后的頻率特性低頻段與

原連續系統相同，由于變換后有附加零點，分子分母同階，高頻段走平,不具備

衰減特性。當采樣周期較小時，卬域傳遞函數與連續系統近似相同。

(2)w域設計

?在獲得了卬域傳遞函數后，通常連續域所用的系統分析與設計方法均可使用,

但最常使用的方法是亞域的頻率特性設計方法。

?卬變換后的設計過程與連續系統一樣，但需注意的是,z域的真實頻率值與卬

域的虛擬頻率值是非線性關系，當采樣頻率較高或頻率較低時,兩者近似相等，否

則就應進行相互轉換。

?