解析幾何（解答題10種考法）考法一定點【例1-1】（2022·廣西·校聯考模擬預測）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓的下頂點，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程：(2)圓，點A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側的動點，且直線PB的斜率是直線PA的斜率的2倍，求證：直線AB恒過定點【例1-2】（2023·江蘇南通·統考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.考法二定值【例2-1】（2023·河南鄭州·統考一模）已知橢圓：的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)設不過點的直線與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．【例2-3】（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且點在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.考法三定直線【例3-1】（2022·山東·山東師范大學附中校聯考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為．(1)求橢圓的標準方程，(2)設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線交橢圓于、兩點，直線、相交于點，證明：點在定直線上．【例3-2】（2022·河北滄州·統考二模）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)點關于原點的對稱點為點，與直線平行的直線與交于點，直線與交于點，點是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.考法四最值【例4-1】（2023·全國·模擬預測）設橢圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為，O是坐標原點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點，求四邊形面積的取值范圍.【例4-2】（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，且經過點，．(1)求橢圓的標準方程；(2)是經過橢圓的右焦點的一條弦（不經過點），設直線與直線相交于點，記的斜率分別為，，，求的最大值．【例4-3】（2022·陜西模擬）已知拋物線上有一動點，過點作拋物線的切線交軸于點．（1）判斷線段的中垂線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由；（2）過點作的垂線交拋物線于另一點，求的面積的最小值．考法五角的正切值與直線的斜率【例5-1】（2023·廣西柳州·統考模擬預測）已知平面上動點Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動點Q（x，y）的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)設點P的坐標為（0，－1），過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，證明：．【例5-2】（2022·全國·統考高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【例5-3】（2022·全國·統考高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．考法六長度比轉化【例6-1】（2023·全國·校聯考模擬預測）已知拋物線E：的焦點關于其準線的對稱點為，橢圓C：的左，右焦點分別是，，且與E有一個共同的焦點，線段的中點是C的左頂點．過點的直線l交C于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．(1)求C的方程；(2)證明：．【例6-2】（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，A1，A2分別是橢圓的左、右頂點，M，N是C1上關于x軸對稱的兩點，直線A1M和A2N交于點P，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點F（－2，0）的直線l與曲線C交于x軸上方的A，B兩點，若D是線段AB的中點，E是線段AB上一點，且，記直線OD和OE的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值．【例6-3】（2023·河南鄭州·統考一模）已知橢圓C：的離心率為，直線過橢圓C的兩個頂點，且原點O到直線的距離為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)當過點P（0，2）的動直線l與橢圓C相交于兩個不同點A，B時，求的取值范圍．考法七三點共線【例7-1】（2022·河南·馬店第一高級中學校聯考模擬預測）已知曲線：經過點，．(1)求曲線的方程；(2)已知定點，過的直線與曲線交于A，B兩點，過的直線與曲線交于C，D兩點．若A，C，M三點共線，證明：B，D，M三點共線．【例7-2】（2021·全國·統考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．考點八三角形類型的轉化【例8-1】（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知橢圓，左焦點為，上頂點為，直線BF與橢圓交于另一點Q，且，且點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)設，，M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點.證明：是等腰三角形.【例8-2】（2022·浙江·模擬預測）已知直線l：為雙曲線C：的一條漸近線，且雙曲線C經過點.(1)求雙曲線C的方程；(2)設A，B是雙曲線右支上兩點，若直線l上存在點P，使得為正三角形，求直線AB的斜率的取值范圍.考法九存在性問題【例9-1】（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知拋物線：的焦點為，過點引圓：的一條切線，切點為，.(1)求拋物線的方程；(2)過圓M上一點A引拋物線C的兩條切線，切點分別為P，Q，是否存在點A使得的面積為？若存在，求點A的個數；否則，請說明理由.【例9-2】（2023·廣東深圳·統考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．(1)當k變化時，求點M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．考法十軌跡方程【例10-1】（2022·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線AE與BF的斜率分別為，，求的值；(3)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.【例10-2】（2023·廣東惠州·統考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點分別在橢圓和直線上，，為的中點，若為直線與直線的交點．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．1．（2022·全國·統考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（2021·浙江·統考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.3．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，點F關于直線的對稱點恰好在y軸上．(1)求拋物線E的標準方程；(2)直線與拋物線E交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，若，求的最大值．4（2023·浙江·校聯考模擬預測）設雙曲線的右焦點為，F到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點（其中A在第一象限），交直線于點M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.5．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知橢圓的左焦點為，點在上，的最大值為，且當垂直于長軸時，.(1)求的方程；(2)已知點為坐標原點，與平行的直線交于兩點，且直線，分別與軸的正半軸交于兩點，試探究是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由.6．（2023·內蒙古赤峰·統考模擬預測）已知拋物線，過其焦點F的直線與C相交于A，B兩點，分別以A，B為切點作C的切線，相交于點P．(1)求點P的軌跡方程；(2)若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．7．（2022·全國·哈師大附中校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為，，且，離心率為，過點的直線l與橢圓C順次交于點Q，P．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在定直線與直線交于點G，使，G，Q共線．8（2022·上海嘉定·校考模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，它的右頂點與拋物線的焦點重合，經過點且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點是線段的中點，求點的坐標；(3)設、是直線上關于軸對稱的兩點，求證：直線與的交點必在直線上．9．（2022·天津北辰·天津市第四十七中學校考模擬預測）已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形周長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點，與軸交于點，線段的垂直平分線與交于點，與軸交于點，為坐標原點，如果，求的值.10．（2022·云南紅河·校考模擬預測）已知拋物線，過點的直線l交C于M，N兩點．(1)當點A平分線段時，求直線l的方程；(2)已知點，過點的直線交C于P，Q兩點，證明：．11．（2022·四川成都·成都市第二十中學校校考一模）如圖，已知橢圓：，直線：，直線過點且斜率為．若直線與橢圓交于不同的兩點、，與直線交于點（點與點、不重合）．(1)求實數的取值范圍；(2)證明：．12（2022·浙江·模擬預測）拋物線C：的焦點為F，過x軸上一點（其點在F右側）的直線l交C于A，B兩點，且C在A，B兩點處的切線交于點P．(1)若l：，，求C的方程；(2)證明：．13．（2022·浙江·模擬預測）已知拋物線，其焦點與準線的距離為，若直線與交于兩點（直線不垂直于軸），且直線與另一個交點為，直線與另一個交點.(1)求拋物線的方程；(2)若點，滿足恒成立，求證：直線過定點.14．（2022·河南·校聯考模擬預測）已知橢圓C：上點與圓上點M的距離的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)動直線l與橢圓C交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點（Q與A，B不重合），證明：動直線l過定點，并求出該定點坐標.15．（2022·陜西漢中·統考一模）已知橢圓的焦距為，設橢圓的上頂點為，左右焦點分別為，且是頂角為的等腰三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知是橢圓上的兩點，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過定點.16．（2022·陜西渭南·統考一模）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的兩個頂點，且原點到直線的距離為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點，過點的直線不經過點，且與橢圓交于，兩點，證明：直線的斜率與直線的斜率之和是定值.17．（2022·全國·模擬預測）已知橢圓的右焦點為F，離心率為，直線與橢圓C交于點A，B，.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點A關于x軸的對稱點為，點P是C上與A，不重合的動點，且直線PA，與x軸分別交于G，H兩點，O為坐標原點，證明：為定值.18．（2022·重慶江北·校考一模）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，過F且斜率不為0的直線l交橢圓于A，B兩點，C為線段AB的中點，當直線l的斜率為1時，線段AB的垂直平分線交x軸于點O（O為坐標原點），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線DA，DB分別交直線于點M，N，求證：以MN為直徑的圓恒過點F．19．（2023·全國·模擬預測）已知A是橢圓C：的左頂點，直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，滿足.當P的坐標為時，的面積為（O為坐標原點）.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設F是橢圓C的右焦點，求四邊形PAQF面積的最大值.20．（2023·全國·模擬預測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在C上，且．(1)求C的標準方程；(2)設點P關于坐標原點的對稱點為Q，不過點P且斜率為的直線與C相交于M，N兩點，直線PM與QN交于點，求的值．21．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的左頂點為A，點E為直線與的一個交點（異于點A），當時，點E在y軸上.(1)求的標準方程；(2)若點F為過點A且斜率為的直線與的一個交點（異于點A），求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.22．（2023·四川南充·四川省南部中學校考模擬預測）已知橢圓的離心率，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，試探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出該定值及點坐標；若不存在，請說明理由23．（2023·廣東梅州·統考一模）已知動圓經過定點，且與圓：內切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設軌跡與軸從左到右的交點為點，點為軌跡上異于的動點，設交直線于點，連結交軌跡于點.直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經過軸上的定點，并求出該定點的坐標.24．（2023·山西臨汾·統考一模）已知用周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切且焦距為，__________.①為等差數列；②為等比數列.(1)在①②中任選一個條件，求橢圓的標準方程；(2)（1）中所求的左?右焦點分別為，過作直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于兩點，求以為直徑的圓是否過定點，若是求出該定點；若不是請說明理由25．（2023·四川南充·校考模擬預測）已知直線與拋物線交于，兩點，且(1)求的方程(2)若直線與交于兩點，點與點關于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標；若不過定點，說明理由26（2023·陜西榆林·統考一模）已知是橢圓的一個頂點，圓經過的一個頂點.(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點（異于點），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.27．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）已知橢圓經過點，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設經過點的直線與橢圓相交于、兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求的面積的取值范圍．28．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）已知拋物線，是軸下方一點，為上不同兩點，且的中點均在上.(1)若的中點為，證明：軸；(2)若在曲線上運動，求面積的最大值.29．（2023·廣東佛山·統考一模）已知橢圓的左焦點為，左、右頂點及上頂點分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設過的直線交橢圓于P、Q兩點，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點，l與x軸的交點為K，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.30．（2023·福建·統考一模）已知橢圓的離心率為，其左焦點為．(1)求的方程；(2)如圖，過的上頂點作動圓的切線分別交于兩點，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．31．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為，過點與垂直的直線為，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.32．（2022·全國·校聯考模擬預測）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，求證：當點變化時，點恒在一條定直線上.33（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓，，C為圓A上一點，線段BC的垂直平分線與線段AC交于點P，記點P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)若過點且斜率存在的直線l交曲線E于點M，N，線段MN上存在點S使得，求的最小值．34．（2023·全國·校聯考模擬預測）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸、軸，且過、兩點.(1)求的方程；(2)若，過的直線與交于、兩點，求證：.35．（2023·湖北·宜昌市一中校聯考模擬預測）設點A為雙曲線的左頂點,直線l經過點,與C交于不與點A重合的兩點P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設在射線上的點R滿足,求直線的斜率的最大值．36．（2023·山西·統考一模）雙曲線的左、右頂點分別為，，焦點到漸近線的距離為，且過點.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點，且，證明直線過定點.37．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知橢圓：的右焦點為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓的標準方程.(2)若橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓交于（異于點）兩點，直線分別與直線交于兩點，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.38．（2023·廣西·統考模擬預測）如圖，已知點是焦點為的拋物線：上一點，，是拋物線上異于的兩點，且直線，的傾斜角互補，若直線的斜率為.(1)證