第1頁/共1頁2023育才初三上12月月測一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1.下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，若點恰好落在上，且，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.3.已知且對應(yīng)中線之比為，則與的周長之比為A. B. C. D.4.下列事件為必然事件的是（）A.擲一枚硬幣，正面朝上 B.位似的兩個三角形的對應(yīng)邊互相平行C.等邊三角形的中心角是 D.弦是直徑5.廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A. B. C. D.6.設(shè)是一元二次方程的兩根，則（）A. B. C.2 D.7.關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論不正確的是（）A.拋物線的開口向上 B.當(dāng)時，y隨x的增大而減小C.對稱軸是直線 D.拋物線與y軸交于點8.如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心．則折痕的長為（）A. B. C. D.9.函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖像可能是（）A B. C. D.10.如圖，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．12.一個不透明袋中裝有若干個紅球和10個白球，搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中紅球約為_________個．13.圓心角是120°扇形，弧長為，則這個扇形的面積為__________．14.如圖，中，．則的內(nèi)切圓半徑_______．15.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，、交于點，已知半徑為3，則的長為__________．16.如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點，連分別交，于點，，過點作，垂足為P，AH交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有_________．（填序號）三、解答題（共72分）17.解方程：（1）．（2）．18.如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點A、B之間的距離(即河寬)，先從B點出發(fā)與成角方向走到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走到C處，在C處轉(zhuǎn)，沿方向再走到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么河寬是多少米？19.如圖，已知是坐標(biāo)原點，、的坐標(biāo)分別為、（1）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形；（2）在軸的左側(cè)以為位似中心畫出的位似三角形，使新圖與原圖的相似比為．20.廣州的白云山、越秀山、蓮花山和大夫山被譽為廣州四大名山，不僅風(fēng)景秀美而且有豐厚的歷史底蘊，是廣州市民喜歡游玩之地．小明、小麗兩家人決定周末去游玩，并用抽卡片的方式從白云山、越秀山、蓮花山和大夫山（分別記為、、、）選出一個景點．他們準(zhǔn)備了張不透明的卡片，正面分別寫上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．（1）小明隨機抽取一張卡片，則抽取到卡片的概率是_______；（2）小明隨機抽取一張卡片后，放回洗勻，小麗再隨機抽取一張卡片，請用列或畫樹狀圖的方法求他們都抽取到同一地點的概率．21.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，點軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求點坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出時，的取值范圍；22.為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，我市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案，我市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的4萬戶增長到2022年底的萬戶，求我市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）我市計劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？23.如圖，在等腰中，．（1）尺規(guī)作圖：以為直徑作，標(biāo)出點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）中所作的交邊于點，過點作交于點，延長交的延長線于點，①求證：是的切線；②若，，求的長．24.如圖，在四邊形中，，，，延長線段，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至射線，點關(guān)于的對稱點為，直線與射線相交于，連接，，（1）當(dāng)時，如圖1，為的中點，連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，隨著的變化，射線在內(nèi)部運動，①當(dāng)落在直線上時，求的運動路徑長（用含的代數(shù)式表示）；②若，，在射線的運動過程中，求的面積最大值．25.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過和兩點．（1）求和值（用含的代數(shù)式表示）；（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點，當(dāng)時，隨的增大而減小，求的取值范圍；（3）已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點時，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．2023育才初三上12月月測一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1.下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐項判斷即可．【詳解】A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形，理解軸對稱圖形和中心對稱圖形是解答的關(guān)鍵．2.如圖，是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到圖形，若點恰好落在上，且，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，得出，即可求解．【詳解】解：∵是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，∴，∵，．故選：B．3.已知且對應(yīng)中線之比為，則與的周長之比為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比，周長的比也等于相似比，可知周長比為9:16.【詳解】∵，且對應(yīng)中線之比為，∴相似比等于9:16，∴與周長之比為9:16.故選D.【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)高線、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.4.下列事件為必然事件的是（）A.擲一枚硬幣，正面朝上 B.位似的兩個三角形的對應(yīng)邊互相平行C.等邊三角形的中心角是 D.弦是直徑【答案】C【解析】【分析】必然事件是肯定發(fā)生的事件，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】A項，擲一枚硬幣，也可能反面朝上，故本項不是必然事件，不符合題意；B項，位似的兩個三角形的對應(yīng)邊也有可能重合，故本項不是必然事件，不符合題意；C項，等邊三角形的中心角是，故本項是必然事件，符合題意；D項，過圓心的弦是直徑，故本項不是必然事件，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了必然事件的判斷，位似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及弦與直徑之間的關(guān)系等知識，掌握位似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5.廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，則第一輪傳染了個人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人，依題意得，即，故選：C．【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個問題和細(xì)胞分裂是不同的．6.設(shè)是一元二次方程的兩根，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩根，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．7.關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論不正確的是（）A.拋物線的開口向上 B.當(dāng)時，y隨x的增大而減小C.對稱軸是直線 D.拋物線與y軸交于點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)解析式可得開口方向，對稱軸，增減性，令，可得拋物線與軸交點坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)中，∴拋物線開口向上，對稱軸，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故A，B，C選項正確；令，，即拋物線與軸交于點，故D選項不正確，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，與軸的交點坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心．則折痕的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點作與交于點，交于點，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出的長；根據(jù)垂徑定理的推論可得，根據(jù)勾股定理可得的長，即可求出的長度．【詳解】解：過點作與交于點，交于點，連接，如圖：根據(jù)題意可得：，∵，∴，在中，，，故選：D．【點睛】本題考查了翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂徑定理的推論，勾股定理，掌握翻轉(zhuǎn)是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．9.函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分和兩種情況，分別得出函數(shù)和的圖象的大致形狀，即可作答．【詳解】根據(jù)可得：函數(shù)的對稱軸為：，當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向上，拋物線在y軸右側(cè)，一次函數(shù)的圖象交于y軸的負(fù)半軸，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向下，拋物線在y軸左側(cè)，一次函數(shù)的圖象交于y軸的正半軸，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；根據(jù)上述結(jié)果：可知A、B、D三項所畫圖象均有相互矛盾的地方，只有選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸符號與系數(shù)符號的關(guān)系等．10.如圖，的半徑為，圓心的坐標(biāo)為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時點P的位置．由中，知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點P位于位置時，取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，∵，∴，∵，∴，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當(dāng)點P位于位置時，取得最小值，過點M作軸于點Q，則，，∴，又∵，∴，∴，故選：B．二、填空題（每小題3分，共18分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可直接得到答案．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是，故答案為：．12.一個不透明的袋中裝有若干個紅球和10個白球，搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中紅球約為_________個．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)口袋中有10個白球，利用白球在總數(shù)中所占比例得出與試驗比例應(yīng)該相等求出即可.【詳解】∵通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，口袋中有10個白球假設(shè)有x個紅球，則解得：x=15∴口袋中有紅球約為15個故答案為：15【點睛】本題主要考查利用頻率估計隨機事件的概率，根據(jù)已知白球的頻率得出與試驗比例應(yīng)該相等是解題關(guān)鍵．13.圓心角是120°的扇形，弧長為，則這個扇形的面積為__________．【答案】【解析】【分析】利用弧長公式可求得扇形的半徑，那么扇形的面積弧長半徑．【詳解】解：，，扇形的面積．故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形面積，關(guān)鍵是根據(jù)弧長公式和扇形的面積公式的綜合應(yīng)用解答．14.如圖，中，．則的內(nèi)切圓半徑_______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)、、與⊙O的切點分別為D、E、F；易證得四邊形是正方形；那么根據(jù)切線長定理可得：，由此可求出r的長．【詳解】解：如圖，在中，，根據(jù)勾股定理.四邊形中，，，∴四邊形是正方形..由切線長定理，得：，，；∴；∴．故答案為：2．【點睛】此題考查了勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，以及切線長定理，熟練掌握圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，、交于點，已知半徑為3，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】連接、，則三角形為直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接、、，∵六邊形是正六邊形，∴經(jīng)過O點，且O是的中點，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：或（舍去）．故答案為：．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握各知識點，并能結(jié)合圖形熟練運用各知識點．16.如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點，連分別交，于點，，過點作，垂足為P，AH交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有_________．（填序號）【答案】①③④【解析】【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知是等腰三角形且頂角，據(jù)此可判斷；②求出和度數(shù)，從而得出度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證即可判斷；④設(shè)，則，，設(shè)，由，知，根據(jù)是等腰直角三角形之，據(jù)此得出，證，得，即，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：∵為等邊三角形，為等腰直角三角形，∴，，，，∴是等腰三角形，且頂角，∴，故①正確；∵，即，∴，∴，，∴，由知，故②錯誤；由知，則，在和中，，∴，∴，故③正確；在中，設(shè)，則，，設(shè)，∵，∴，中，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，整理，得：，由得，即，故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．三、解答題（共72分）17.解方程：（1）．（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，正確計算是解題的關(guān)鍵．（1）利用開平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：，，，；【小問2詳解】解：，，，．18.如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點A、B之間的距離(即河寬)，先從B點出發(fā)與成角方向走到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走到C處，在C處轉(zhuǎn)，沿方向再走到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么河寬是多少米？【答案】河寬為80米【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，答：河寬為80米．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．19.如圖，已知是坐標(biāo)原點，、的坐標(biāo)分別為、（1）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形；（2）在軸的左側(cè)以為位似中心畫出的位似三角形，使新圖與原圖的相似比為．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】此題主要考查了作圖-位似變換，作圖-旋轉(zhuǎn)變換，得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出C，D兩點坐標(biāo)在A，B坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，同乘以，進(jìn)而得出坐標(biāo)畫出圖形即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示即為所求．20.廣州的白云山、越秀山、蓮花山和大夫山被譽為廣州四大名山，不僅風(fēng)景秀美而且有豐厚的歷史底蘊，是廣州市民喜歡游玩之地．小明、小麗兩家人決定周末去游玩，并用抽卡片的方式從白云山、越秀山、蓮花山和大夫山（分別記為、、、）選出一個景點．他們準(zhǔn)備了張不透明的卡片，正面分別寫上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．（1）小明隨機抽取一張卡片，則抽取到卡片的概率是_______；（2）小明隨機抽取一張卡片后，放回洗勻，小麗再隨機抽取一張卡片，請用列或畫樹狀圖的方法求他們都抽取到同一地點的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小明與小亮抽到同一卡片的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【小問1詳解】解：小明抽到A卡片的概率是；【小問2詳解】解：畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小明與小麗抽到同一卡片的結(jié)果數(shù)為4，所以小明與小麗抽到同一地點的概率．21.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，點軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求點坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出時，的取值范圍；【答案】（1）；（2），或．【解析】【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）根據(jù)當(dāng)時，，求出點，進(jìn)而根據(jù)圖象可得出答案．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：由（1）可知，二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，，解得，，∴，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，x的取值范圍為或．22.為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，我市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案，我市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的4萬戶增長到2022年底的萬戶，求我市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）我市計劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？【答案】22.該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為23.舊房改造申報的最高投入費用為6125000元【解析】【分析】（1）設(shè)平均增長率為，列方程，即可求解；（2）設(shè)多改造戶，最高投入費用為元，得進(jìn)而可求解；【小問1詳解】解：設(shè)平均增長率為，由題意得：，解得：或（舍），答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為；【小問2詳解】解：設(shè)多改造戶，最高投入費用為元，由題意得：，，拋物線開口向下，當(dāng)，即時，最大，此時元，答：舊房改造申報的最高投入費用為6125000元．【點睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在等腰中，．（1）尺規(guī)作圖：以為直徑作，標(biāo)出點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）中所作的交邊于點，過點作交于點，延長交的延長線于點，①求證：是的切線；②若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）①見解析，②4【解析】【分析】此題主要考查了復(fù)雜作圖，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）直接利用線段垂直平分線的作法結(jié)合圓的性質(zhì)得出答案；（2）①連接，根據(jù)，，得到，證明，由，即可證明結(jié)論；②由①知，易得，得到，由，即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，分別以點A點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點P，Q兩點，連接作直線交于點O，以點O為圓心，的長為半徑畫圓，則為所求；【小問2詳解】①證明：如圖，連接，，，，，，，，是的半徑，是的切線；②解：由①知，，，，，，，，．24.如圖，在四邊形中，，，，延長線段，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至射線，點關(guān)于的對稱點為，直線與射線相交于，連接，，（1）當(dāng)時，如圖1，為的中點，連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，隨著的變化，射線在內(nèi)部運動，①當(dāng)落在直線上時，求的運動路徑長（用含的代數(shù)式表示）；②若，，在射線的運動過程中，求的面積最大值．【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）連接，由題意可得，則平分，由題意可得，求得即可求得答案；（