新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中學2025屆高三第二次調研數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數為虛數單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數a為（）A． B．2 C． D．2．某學校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30]，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A．56 B．60 C．140 D．1203．已知純虛數滿足，其中為虛數單位，則實數等于（）A． B．1 C． D．24．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．5．若與互為共軛復數，則（）A．0 B．3 C．－1 D．46．已知函數，下列結論不正確的是（）A．的圖像關于點中心對稱 B．既是奇函數，又是周期函數C．的圖像關于直線對稱 D．的最大值是7．已知函數，以下結論正確的個數為（）①當時，函數的圖象的對稱中心為；②當時，函數在上為單調遞減函數；③若函數在上不單調，則；④當時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．48．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．9．函數在的圖象大致為（）A． B．C． D．10．已知函數的最小正周期為,為了得到函數的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直12．在鈍角中，角所對的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為_________.14．點是曲線（）圖象上的一個定點，過點的切線方程為，則實數k的值為______.15．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數為________.16．已知實數，滿足約束條件，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若函數圖象的一條對稱軸方程為且，求的值．18．（12分）某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.19．（12分）某企業原有甲、乙兩條生產線，為了分析兩條生產線的效果，先從兩條生產線生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值．該項指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品．乙生產線樣本的頻數分布表質量指標合計頻數2184814162100（1）根據甲生產線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產品且為合格品的頻率近似代替從甲生產線生產的產品中任意抽取一件產品且為合格品的概率，估計從甲生產線生產的產品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現在該企業為提高合格率欲只保留其中一條生產線，根據上述圖表所提供的數據，完成下面的列聯表，并判斷是否有90%把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與生產線有關？若有90%把握，請從合格率的角度分析保留哪條生產線較好？甲生產線乙生產線合計合格品不合格品合計附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87920．（12分）已知為等差數列，為等比數列，的前n項和為，滿足，，，.（1）求數列和的通項公式；（2）令，數列的前n項和，求.21．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關系式.22．（10分）某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓及其內接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設，圓錐的側面積為.（1）求關于的函數關系式；（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積最大.求取得最大值時腰的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．2、C【解析】

試題分析：由題意得，自習時間不少于小時的頻率為，故自習時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應用．3、B【解析】

先根據復數的除法表示出，然后根據是純虛數求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的除法運算以及根據復數是純虛數求解參數值，難度較易.若復數為純虛數，則有.4、D【解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.5、C【解析】

計算，由共軛復數的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數的運算，共軛復數的概念.6、D【解析】

通過三角函數的對稱性以及周期性，函數的最值判斷選項的正誤即可得到結果．【詳解】解：，正確；，為奇函數，周期函數，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調遞增，在和上單調遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【點睛】本題考查三角函數周期性和對稱性的判斷，利用導數判斷函數最值，屬于中檔題．7、C【解析】

逐一分析選項，①根據函數的對稱中心判斷；②利用導數判斷函數的單調性；③先求函數的導數，若滿足條件，則極值點必在區間；④利用導數求函數在給定區間的最值.【詳解】①為奇函數，其圖象的對稱中心為原點，根據平移知識，函數的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當時，，又，所以在上恒成立，所以函數在上為單調遞減函數，正確．③由題意知，當時，，此時在上為增函數，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據函數的單調性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結論錯誤．故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.8、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.9、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷，屬于常考題.10、A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數的圖象與性質．【名師點睛】三角函數圖象變換方法：11、D【解析】

根據異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據異面直線的性質知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據異面直線的性質知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據求出的最大值；【詳解】解：因為，所以因為所以，即，，時故選：【點睛】本題考查正弦定理的應用，余弦函數的性質的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.14、1【解析】

求出導函數，由切線斜率為4即導數為4求出切點橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得．【詳解】設，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點睛】本題考查導數的幾何意義，函數圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數值．本題屬于基礎題．15、40【解析】

先求出的展開式的通項，再求出即得解.【詳解】設的展開式的通項為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數為40.故答案為：40【點睛】本題主要考查二項式定理求指定項的系數，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標函數視為可行解與點的斜率，觀察圖形斜率最小在點B處，聯立，解得點B坐標，即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，該目標函數視為可行解與點的斜率，故由題可知，聯立得,聯立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數的線性規劃問題，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由已知利用三角函數恒等變換的應用，正弦定理可求，即可求的值．（2）利用三角函數恒等變換的應用，可得，根據題意，得到，解得，得到函數的解析式，進而求得的值，利用三角函數恒等變換的應用可求的值．【詳解】（1）由題意，根據正弦定理，可得，又由，所以，可得，即，又因為，則，可得，∵，∴．（2）由（1）可得，所以函數的圖象的一條對稱軸方程為，∴，得，即，∴，又，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18、（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數的幾何意義求出切線的方程為，根據兩點間距離得出，構造函數，利用導數求出單調性，從而得出極值和最值，即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設點的坐標為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標軸交點為：，則，故，設，則.令，解得=10.當時，是減函數；當時，是增函數.所以當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時.故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點睛】本題考查利用導數解決實際的最值問題，涉及構造函數法以及利用導數研究函數單調性和極值，還考查正余弦定理的實際應用，還考查解題分析能力和計算能力.19、（1）0.0081（2）見解析，保留乙生產線較好．【解析】

(1)先求出任取一件產品為合格品的頻率，“從甲生產線生產的產品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當于進行5次獨立重復試驗，恰好發生2次的概率用二項分布概率即可解決.(2)獨立性檢驗算出的觀測值即可判斷.【詳解】（1）根據甲生產線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產品為合格品的頻率為：．設“從甲生產線生產的產品中任取一件且為合格品”為事件，事件發生的概率為，則由樣本可估計．那么“從甲生產線生產的產品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當于進行5次獨立重復試驗，事件恰好發生2次，其概率為：．（2）列聯表：甲生產線乙生產線合計合格品9096186不合格品10414合計100100200的觀測值，∵，，∴有90%把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與生產線有關．由（1）知甲生產線的合格率為0.9，乙生產線的合格率為，∵，∴保留乙生產線較好．【點睛】此題考查獨立重復性檢驗二項分布概率，獨立性檢驗等知識點，認準特征代入公式即可，屬于較易題目.20、（1），；（2）．【解析】

（1）設的公差為，的公比為，由基本量法列式求出后可得通項公式；（2）奇數項分一組用裂項相消法求和，偶數項分一組用等比數列求和公式求和．【詳解】（1）設的公差為，的公比為，由，.得：，解得，∴，；（2）由，得，為奇數時，，為偶數時，，∴．【點睛】本題考查求等差數列和等比數列的通項公式，考查分組求和法及裂項相消法、等差數列與等比數列的前項和公式，求通項公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通項公式前項和公式得出相應結論．數列求和問題，對不是等差數列或等比數列的數列求和，需掌握一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，分組（并項）求和法，倒序相加法等等．21、（1）；（2）m－n－1＝0【解析】試題分析