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浙江省各地2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.2.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.3.已知集合,則()A. B.C. D.4.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為5.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.6.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,8.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.10.在鈍角中,角所對(duì)的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.11.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.14.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個(gè)數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個(gè)數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實(shí)”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實(shí)”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),,,,,則的面積為________.15.若,則=____,=___.16.二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為;若對(duì)均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為;(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交點(diǎn)分別為,,點(diǎn),求的值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn),求的極大值;(2)求實(shí)數(shù)的范圍,使得恒成立.22.(10分)已知命題:,;命題:函數(shù)無零點(diǎn).(1)若為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時(shí),故,則球的表面積為,故選C.考點(diǎn):外接球表面積和椎體的體積.2、A【解析】分析:通過對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.3、B【解析】
先由得或,再計(jì)算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.4、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題,屬于中檔題.5、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
因?yàn)椋郧以谏蠁握{(diào)遞減,且所以,所以,又因?yàn)椋裕?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.7、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.9、D【解析】,則故選D.10、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)椋砸驗(yàn)樗裕矗瑫r(shí)故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.11、B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.14、.【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.15、12821【解析】
令,求得的值.利用展開式的通項(xiàng)公式,求得的值.【詳解】令,得.展開式的通項(xiàng)公式為,當(dāng)時(shí),為,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:15【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了利用通項(xiàng)公式去求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把這兩個(gè)等式相減,化簡(jiǎn)得,公差為2,因?yàn)椋瑸榈缺葦?shù)列,所以,化簡(jiǎn)計(jì)算得,,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,再計(jì)算出,,,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,化簡(jiǎn)計(jì)算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個(gè)可看成一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,再寫出其前()項(xiàng)和,兩式相減得,,利用同樣的方法可得.【詳解】解:(2)由題,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),①②①-②得,整理得,又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列.故是從第二項(xiàng)的等差數(shù)列,公差為2.又恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng),故,解得.又,故,因?yàn)橐渤闪ⅲ适且詾槭醉?xiàng),2為公差的等差數(shù)列.故.即2,4,8恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng),故是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,故.綜上,(2)令,則所以數(shù)列是遞增的,若對(duì)均滿足,只要的最小值大于即可因?yàn)榈淖钚≈禐椋裕缘淖畲笳麛?shù)是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在這樣的數(shù)列,【點(diǎn)睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,最值,恒成立問題,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ),曲線(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程,由可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:,,利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析:(1),曲線,(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:.所以.所以.19、【解析】
由,化簡(jiǎn)得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)椋灾本€的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用,屬于中檔題.20、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對(duì)分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).21、(1).(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合極值存在的條件可求t,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當(dāng)x>2,0<x<1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時(shí)恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,(i)當(dāng)t≥0時(shí),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)當(dāng)﹣2<t<0時(shí),g(x)在()上單調(diào)遞減,在(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣1不合題意,舍去;(iii)當(dāng)t=﹣2時(shí),g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=﹣3不合題意;(iv)當(dāng)t<﹣2時(shí),g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1),()上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣3不合題意,綜上,t≥1時(shí),f(x)≥2恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)處理不等式的恒成立問題,分類討論思想,屬于中檔題.22、(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍;(2)
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