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第五章三角函數

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【學習目標】1.了解任意角的概念，區分正角、負角與零角.2.理解并掌握終邊相同的角的概念,

能寫出終邊相同的角所組成的集合.3.了解象限角的概念.

知識梳理梳理教材夯實基礎

-------N-------

知識點一任意角

1.角的概念：

角可以看成平面內一條射線繞著它的端點雌所成的圖娶.

2.角的表示：

如圖，0A是角a的始邊,0B是角a的終邊，O是角a的頂點.角a可記為“角a”或“Na”

或簡記為“a”.

OA

思考角的概念中主要包含哪些要素？

答案角的概念包含的三要素為：頂點、始邊、終邊.

3.角的分類：

名稱定義圖示

正角按逆時針方向旋轉形成的角上

負角按順時針方向旋轉形成的角

零角一條射線妞作任何旋轉形成的角0*---------A(B)

知識點二角的加法與減法

設a,4是任意兩個角，二1為角a的相反角.

（l）a+小把角a的終邊旋轉角A

（2）a—￡：a—6=a+（—6）.

知識點三象限角

把角放在平面直角坐標系中，使隹的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那

么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角:如果角的終邊在坐標軸上，就認為這

個角不屬于任何一個象限.

思考“銳角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

答案銳角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是銳角，也可以大于360。，

還可能是負角，小于90。的角可以是銳角，也可以是零角或負角.

知識點四終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合5=（加囚=a+k360。，女￡Z},即

任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和.

思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？

答案終邊相同的角不一定相等，它們相差360。的整數倍；相等的角終邊相同.

-思考辨析判斷正誤匚

1.第二象限角是鈍角.（X）

2.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.（J）

3.終邊相同的角有無數個，它們相差360。的整數倍.（J）

題型探究探究重點素養提升

-------------------------------------------------------------N------------------

一、任意角的概念

例1下列結論：

①三角形的內角必是第一、二象限角；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；

③小于90。的角為銳角；

④鈍角比第三象限角?。?/p>

⑤小于180。的角是鈍角、直角或銳角.

其中正確的結論為（填序號）.

答案②

解析①90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；

③小于90。的角可以是零角，也可以是負角，故③不正確；

④鈍角大于一100。的角，而一100。的角是第三象限角，故④不正確；

⑤0°角或負角小于180。，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確.

反思感悟理解與角的概念有關的問題關鍵在于正確理解象限角與銳甭、直角、鈍角、平角、

周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小.另外需要掌握判斷結論正確與否的

技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可.

跟蹤訓練1若手表時針走過4小時，則時針轉過的角度為()

A.120°B.-120°C.-60°D.60°

答案B

4

解析由于時針是順時針旋轉，故時針轉過的角度為負數，即為一五X360。=-120。.

二、終邊相同的角及象限角

例2將下列各角表示為七360。+〃(心2,0?！?60。)的形式，并指出是第幾象限角.

(1)420°；(2)-510°；(3)10200.

解(1)420°=360°+60°,

而60。角是第一象限角，故420。是第一象限角.

(2)-510°=-2X360°+210°,

而210。是第三象限角，故一510。是第三象限角.

(3)1020°=2X360°+300°,

而300。是第四象限角，故1020。是第四象限角.

反思感悟首先把各角寫成2360。+。(&￡2,0。＜。＜360。)的形式，然后只需判斷a所在的象限

即可.

跟蹤訓練2(1)在四個角20。，-30°,100°,220。中，第二象限角的個數為()

A.0B.1C.2D.3

答案B

(2)與一460。角終邊相同的角可以表示成()

A.460。+k360。，kGZ

B.100。+k360。，&￡Z

C.2600+k360°,kH

D.-260°+^360°,kGZ

答案C

解析因為一460。=260。+(—2)X360。，故一460。可以表示成260。+&-360。，gl,故選C.

三、區域角的表示

例3已知角a的終邊在圖中陰影部分內，試指出角a的取值范圍.

解終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合為與=｛雨=30。+/180。,女￡2｝,終邊在180°

一75。=105。角的終邊所在直線上的角的集合為52=｛。汝=105。+/180,kGZ),因此，終邊

在圖中陰影部分內的角a的取值范圍為｛。|30。+"180。?。<105。+》180。，k^Z].

反思感悟表示區域角的三個步驟

第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界：

第二步：分別標出起始和終止邊界對應的一180。?180。范圍內的角a和p,寫出最簡區間

｛x\a<x<p];

第三步：起始、終止邊界對應角％夕再加上360。的整數倍，即得區域角集合.

跟蹤訓練3如圖所示，寫出頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分

的角的集合.

解如題圖(1)所示，以08為終邊的角有330。角，可看成是一30。,

???以08為終邊的角的集合分別是：

0=｛小=75°+七360°,Jtez｝,

52=｛小=-30。+2?360。，kGZ].

???終邊落在陰影部分的角的集合為

｛瞅360。-30。~4?360。+75。，k^Z].

如題圖(2)所示，以OB為終邊的角有225。角，可看成是一135。，

，終邊落在陰影部分的角的集合為

｛<9|-1350+6360。W8W135。+(360。,依Z｝.

■核心素養之邏輯推理■

確定na及彳所在的象限

典例已知a是第二象限角，求角卷所在的象限.

解方法一是第二象限角，

，k3600+90°<a<k360°+180°伙eZ).

kok

：,2-3600+450<2<2.3600+90°()teZ).

當k為偶數時，令k=2〃(〃￡Z),得

”?360。+45畤<〃.360。+90°,

這表明髓第一象限角；

當《為奇數時，令￡=2〃十得

“?360。+225°<^<n-360°+270°,

這表明髓第三象限角.

學為第一或第三象限角.

方法二如圖，

先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區域標上一、

二、三、四，則標有二的區域即為翻終邊所在的區域，故翱第一或第三象限角.

延伸探究

1.在本例條件下，求角2a的終邊的位置.

解???。是第二象限角，

k360°+90°<a<Ar-360°+180°(2GZ).

：.k-720Q+180。v2"k720。+360°(AGZ).

工角2a的終邊在第三或第四象限或在)，軸的非正半軸上.

2.若本例條件中角a變為第三象F艮角，求角卷是第幾象限角.

解如圖所示，

先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區域標上一、

二、三、四，則標有三的區域即為角F的終邊所在的區域，故角與為第二或第四象限角.

［素養提升］分類討論時要對&的取值分以下幾種情況進行討論：A被〃整除；及被〃除余1；

女被〃除余2,…，人被〃除余〃一1.然后方可下結論.幾何法依據數杉結合，簡單直觀.通

過該類問題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

1.與一30。終邊相同的角是（）

A.-330°B.150°C.30°D.330°

答案D

解析因為所有與一30。終邊相同的角都可以表示為。=%360。+（—30。），取k=1,得

a=330°.

2.一240。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析因為一240。角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.

3.下列說法正確的是（）

A.銳角是第一象限角B.第二象限角是鈍角

C.第一象限角是銳角D.第四象限角是負角

答案A

解析由于銳角范圍是0。<0<90。，顯然是第一象限角；

一200。是第二象限角，但不是鈍角；380。是第一象限角，但不是銳角；330。是第四象限角，

但不是負角.

4.終邊與坐標軸重合的角a的集合是（）

A.{a|a=^360°,k^Z}

B.{a|a=kl80°+90°,k^Z]

C.{a|a=kl80。,k^Z]

D.{a|a=k90。，&￡Z}

答案D

解析終邊在坐標軸上的角大小為90。或90。的整數倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為

{a|a=&?90°,kGZ\,故選D.

5.已知角a的終邊在如圖陰影表示的范圍內（不包含邊界），那么角a的集合是.

答案［砒?3600+45°va4360。+150°,kS\

解析觀察圖形可知，角a的集合是{砒SGOo+dSyzvASGOo+lSO。，k^Z].

-課堂小結?

1.知識清單：

⑴任意角的概念.

（2）終邊相同的角與象限角.

（3）區域角的表示.

2.方法歸納：數形結合，分類討論.

3.常見誤區：銳角與小于90。角的區別，終邊相同角的表示中漏掉ZWZ.

課時對點練注重雙基強化落實

一基礎鞏固

1.一870。角的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析一870。=一3乂360。+210。,

???一870。是第三象限角,故選C.

2.與一457。角的終邊相同的角的集合是（）

A.{a|a=457°+^360°,k^Z}

B.{a|a=97°+k360°,&￡Z}

C.僅m=263。+4?360。，k￡Z\

D.（雨=一263。+大360。，k￡Z）

答案C

3.下面各組角中，終邊相同的是（）

A.390°,690°B.-330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,-840°

答案B

解析因為一330°=一360°+30°,750°=720°+30。,

所以一330。與750。終邊相同.

4.下面說法正確的個數為（）

①第二象限角大于第一象限角；

②終邊在x軸非負半軸上的角是零角；

③鈍角是第二象限角.

A.0B.IC.2D.3

答案B

解析第二象限角如120。比第一象限角390。要小，故①錯；360。的整數倍的角終邊都在.1軸

非負半軸上，故②錯；③中鈍角是第二象限角是對的.所以正確的只有1個.

5.若a是第四象限角，則180。一1是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析可以給a賦一特殊值一60。，

則180。-a=240。，故180。一a是第三象眼角.

6.50。角的始邊與x軸的非負半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉3周，所得的角是一.

答案一1030°

解析順時針方向旋轉3周轉了一(3X360。)=一1080。.

又50。+(—1080°)=-1030°,故所得的角為一10300.

7.與一2019。角終邊相同的最小正角是.

答案1410

解析因為一2019。=-6義360。+141。，

所以所求角為141°.

8.在0。?360。范圍內，與角一60。的終邊在同一條直線上的角為.

答案120°,300°

解析根據終邊相同角定義知，與一60。終邊相同角可表示為夕=-60。+k360。伙￡2),當k

=1時夕=300。與一60。終邊相同，終邊在其反向延長線上且在0。?360。范圍內的角為120°.

9.在0。?360。范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.

(1)-150°；(2)650°.

解(1)因為一150。=-360。+210。，所以在0。―360。范圍內，與一150。角終邊相同的角是210。

角，它是第三象限角.(2)因為650。=360。+290。，所以在0。?360。范圍內，與650。角終邊相

同的角是290。角，它是第四象限角.

10.寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內的角的集合.

解先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，則得

(I){a|300+L360。WaW150°+&36Q。，4￡Z}.

(2){a|l50°+A-360°WaW390°+》360°,攵￡Z}.

▽綜合運用

11.若a=kl80°+45°（A：￡Z）,則:x在（）

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案A

解析當&=2m+l（〃代Z）時，

a=2m-\80°+225°=帆360°+225°,

故。為第三象限角；

當左=2〃?（m￡Z）時，a=m-3600+45°,

故a為第一象限角.

故a在第一或第三象限.

12.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是（）

A.900-aB.90°+a

C.360°-aD.180°+a

答案C

解析特例法，取a=30。，可知C正確.作為選擇題，用特例求解更簡便些.一般角所在的

象限討論，應學會用旋轉的方法找角所在的象限.如，a+90。，將角?的終邊逆時針旋轉90。,

a—90。，則將a的終邊順時針旋轉90。，角180。+。的終邊為角a的終邊反向延長線，180。

一a,先將角。的終邊關于x軸對徐，再關于原點對稱，即可得到180。一a的終邊等等.

13.已知角a的終邊在圖中陰影所表示的范圍內（不包括邊界），那么a的取值范圍是一.

答案{a|n-l800+30°<a</rI8004-150°,〃￡Z）

解析方法一（并集法）

在0。?360。范圍內，終邊落在陰影內的角為30。<。<150。和210。*<330。.

所以竊￡（砒,360。+30°<?4360。+150。,MZ}U{a|k360°+210°<a<A3600+330。，％￡Z}=

{a\2k-\80°+30°va<22?1800+150°,A￡Z}U{a|（2k+1）.180°+30°va〈（2A+1）?180。+150。，A￡Z}

={a\n\800+30。<“<〃?180。+150。，〃￡Z}.

方法二（旋轉法）

觀察圖形可知，圖中陰影成“對角型”區域，其中一個區域逆（或順）時針旋轉180。，恰好與

另一個區域重合，由此可知公￡{刖180。+30。<。<〃/80。+150。,〃仁Z}.

14.若角a滿足180。*<360。，角5a與。有相同的始邊與終邊，則角。=.

考點終邊相同的角

題點終邊相同的角、象限角

答案270°

解析???角5a與a具有相同的始邊與終邊，

???5a=23600+a,得4a=6360。，k^Z,

，Q=k90。，kGZ,

X180°<a<360°,上當Z=3時，a=270°.

亍拓廣探究

15.已知角2a的終邊在x軸的上方，那么a是第象限角.

答案一或三

解析由題意知k3600<2a<180°+k360。/￡Z),故180°<a<90°+kl80。(2￡Z),按照人的奇

偶性進行討論.當&=2〃(〃￡Z)時，〃SGOOvavgOo+zzSGOoSEZ),??.a在第一象限；當左=2〃

+1(〃￡Z)時，180o+w3600<a<270o4-n-360°(neZ),在第三象限.故a是第一或第三象

限角.

16.已知a,尸都是銳角，且a+萬的終邊與一280。角的終邊相同，a一萬的終邊與670。角的終

邊相同，求角a,￡的大小.

解由題意可知

。+4=-280。+k360。，kGZ.

Va,￡為銳角，

.?.00<a+^<180°.

取2=1,得a+4=80。，①

。一?=670。+k360。，&￡Z.

Va,￡為銳角，

???-90°<a-/?<90°.

?。?—2,得。一￡=一50。，②

由①②得a=15。，4=65。.

5.1.2弧度制

【學習目標】1.了解弧度制下，角的集合與實數集之間的一一對應關系2理解“1弧度的角”

的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一度量角的兩種單位制

1.角度制：

⑴定義：用度作為單位來度量角的單位制.

(2)1度的角：周角的春.

2.弧度制：

(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

(2)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.

知識點二弧度數的計算

思考比值;與所取的圓的半徑大小是否有關？

答案一定大小的圓心角a所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關.

知識點三角度與弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=2;trad2兀rad=360。

180。=1rad7trad=18O°

rad?0.01745rad

1OV1rad5730°

度數x^=弧度數弧度數x(祟)。=度數

知識點四弧度制下的弧長與扇形面積公式

設扇形的半徑為R,弧長為/,。(0＜。＜2兀)為其圓心角，則

(I)弧長公式：l=aR.

(2)扇形面積公式：S=^lR=^aR2.

思考扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似？對應的圖形是否也類似？

答案扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧

是底，半徑是底上的高.

預習小測自我檢驗

1.18°=rad.

答案T5

2?米--------?

答案540

3.若a號則。是第象限角.

答案一

4.圓心角為李瓜度，半徑為6的扇形的面積為.

答案6兀

解析扇形的面積為/x62xT=6兀

題型探究探究重點素養提升

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一、弧度制的概念

例1下列說法正確的是()

A.1瓠度的圓心角所對的弧長等于半徑

B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大

C.所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等

D.用弧度表示的角都是正角

考點弧度制

題點弧度制定義

答案A

解析對于A,根據弧度的定義知，“1瓠度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；

對于B,大圓中I瓠度的圓心角與小圓中I瓠度的圓心角相等，故B錯誤；對于C,不在同

圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D,用弧度表示的角也

可以不是正角，故D錯誤.

反思感悟對弧度制定義的三點說明

(1)不管是以弧度還是度為單位的角的大小，都是一個與半徑的大小無關的定值.

(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如2rad可簡寫為2.

(3)用弧度與度去度量同一個角時，除了零角以外，所得到的數量是不同的.

跟蹤訓練1下列各說法中，錯誤的是()

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角

C.根據弧度的定義，180。一定等于兀弧度

D.不論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關

答案D

解析根據角度和瓠度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無

關，而是與瓠長與半徑的比值有關，所以D是錯誤的，其他A,B,C正確.

二,角度制與弧度制的互化

例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-y.

解⑴72。=72義奇=尊

⑵一300°=-300X-j^=—y；

⑶2=2X(號)。=(等入

(4)一,=一倍X黑。=一40。.

反思感悟角度與弧度互化技巧

在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式兀rad=180。是關鍵，由它可以得到：度數、念=

1ov

弧度數，弧度數X。患)。=度數.

跟蹤訓練2已知a=15。，“=%，7=1，J=105。，°=招，試比較a,0,y,仇0的大小.

解a<p<y<0=(p.

三、與扇形的弧長、面積有關的計算

例3已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數.

解設扇形圓心角的瓠度數為次0(興2冗)，弧長為/cm,半徑為Rem,

74-2/?=10,①

依題意有h,

]/R=4.②

①代入②得r2—5/?+4=0,解之得用=1,&=4.

當R=1時，/=8,此時，6=8rad>2兀rad舍去.

21

當R=4時，1=2,此時，0=z=](rad).

綜上可知，扇形圓心角的弧度數為3rad.

延伸探究

1.已知一扇形的圓心角是72。，半徑為20,求扇形的面積.

解設扇形瓠長為/,因為圓心角72。=72義焉=§rad,

所以扇形弧長/=|a|-r=§X20=8心

于是，扇形的面積5=呆=3乂8北乂20=80兀

2.已知一扇形的周長為4,當它的半徑與圓心角取何值時，扇形的面積最大？最大值是多少？

解設扇形圓心角的狐度數為伏0<小2冗)，弧長為/,半徑為r,面積為S,

則/+2r=4,所以/=4-2，信?'<2),

所以S=^/-r=2X(4—2r)Xr=—r2+2r=—(r—1)2+1,

所以當r=l時，5最大，且Smax=l,

…cl4-2X1

因此，0=~=j=2(rad).

反思感悟扇形的弧長和面積的求解策略

(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S=勺R=&R2(其中/是扇形的弧長，R是扇形的半徑,

a是扇形圓心角的弧度數，0va<2?i).

(2)找關鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問邈，關鍵是分析題目中

已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.

跟蹤訓練3已知扇形的半徑為10cm,圓心角為60。，求扇形的弧長和面積.

解已知扇形的圓心角。=60。=爭半徑/"=10cm,

則瓠長/=a?r=1X10=當「cm),

于是面積S=i/r=zX-^X10=當(cm2).

隨堂演練基礎鞏固學以致用

1.下列說法中，錯誤的是（）

A.半圓所對的圓心角是冗rad

B.周角的大小等于2兀

C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑

D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度

答案D

解析根據弧度的定義及角度與瓠度的換算知A,B,C均正確，D錯誤.

2.若。=-2rad,則a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

3.時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉過的弧度為（）

J4八14

A.~nB.一彳■兀

77

C/nD.—[gn

答案B

77

解析顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉過了/周，轉過的弧度為一5X2冗

14

=一4兀

47r

4.在半徑為10的圓中，子的圓心角所對弧長為（）

40兀20TI200TI400兀

A3D.3

答案A

解析由于r=10,"=與，所以弘長/=「以=竽.

5.周長為9,圓心角為1rad的扇形面積為.

9

答案-

2

2r+/=9,r=3,

解析由題意可知j所以

1=3,

所以S=^/r=^.

■課堂小結?

1.知識清單：

(1)弧度制的概念.

(2)弧度與角度的相互轉化.

(3)扇形的弧長與面積的計算.

2.方法歸納：消元法解方程組.

3.常見誤區：弧度與角度混用.

課時對點練注重雙基強化落實

-----------------------N--------

Y基礎鞏固

1.一120?；癁榛《葹?)

5n?！?n3

A.—^71B.-2c.—J7TD.一彳兀

答案C

TT

解析由于l°=jgQrad,

所以一120。=-120乂念=一普，故選C.

1oUJ

2.若圓的半徑變為原來的2倍，而弧長也增加到原來的2倍，則()

A.扇形的面積不變

B.扇形的圓心角不變

C.扇形的面積增大到原來的2倍

D.扇形的圓心角增大到原來的2倍

答案B

解析???/=|a|R,.??同=(.

當R,/均變為原來的2倍時，同大變.

而5=刎?2中，?.?。不變，變為原來的4倍.

3.用弧度制表示終邊與150。角相司的角的集合為()

A.}/=一器+2桁，kS]

B%b=^+k360。,kez|

c\p夕=專+24兀，&WZ\

“4+2E,k^Z]

答案D

解析150。=150乂焉=知，故終邊與角150。相同的角的集合為｛m=^+2E,kCZ）.故

選D.

4.圓的半徑為小該圓上長為/的弧所對的圓心角是（）

2323

A.gradB./radC.§7rD.開

答案B

3

/2r3

解析由弧度數公式〃=;,得a=：=2，

因此圓瓠所對的圓心角是卷rad.

5.集合｛a5舊｝中角所表示的范圍（陰影部分）是（）

答案C

解析人為偶數時，集合對應的區域為第一象限內直線y=x左上部分（包含邊界），欠為奇數時

集合對應的區域為第三象限內直線y=工的右下部分（包含邊界）.故選C.

66rad=度，rad=—480°.

答案15-y

解析臺=噌=15°，—480。=-480乂念=一空

1Z1Z1OUJ

7.把角一690?；癁?E+a（0Wa<2兀，的形式為.

答案一4兀+5

解析方法一一690。=一（690乂焉）=一條.

因為一磊1=-4兀+5，所以一690。=-4九+專

方法二一6900=-2X360°+30°,

則一690。=—4兀+

8.在扇形中，已知半徑為8,弧長為12,則圓心角是弧度，扇形面積是

3

答案-

248

解析

S=1/-r=1x12X8=48.

9.將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第兒象限角.

(1)-1725°：(2)-60°+360WeZ).

解(1)-1725。=75。-5X3600=-5X2TI+,

=一喘，是第一象限角.

(2)-600+360。?仁一*;X60+2兀/

IOU

=一胃+2E(&￡Z),是第四象限角.

10.已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.

(1)求弦AB所對的圓心角a的大??；

(2)求a所在的扇形的弧長I及弧所在的弓形的面積S.

解(1)由。。的半徑r=lO=ABf

知aAOB是等邊三角形，

.*.?=408=60。=全

(2)由(1)可知r=10,

瓠長/=ar=1X10=3匕

S=T/r=zXX10=^?^,

乙乙DD

而S^AOB=Q-AB=^X10X5、5=25小,

V綜合運用

11.下列表示中不正確的是()

A.終邊在x軸上角的集合是｛a|a=履，kGZ)

B.終邊在y軸上角的集合是｛aa芍+桁，&￡Z

C.終邊在坐標軸上角的集合是號，代ZJ

D.終邊在直線y=x上角的集合是1aa=^+2E,Z￡Z｝

答案D

解析對于A,終邊在x軸上角的集合是｛a|a=E,AEZ｝,故A正確；

對于B,終邊在y軸上的角的集合是1a|aJ+E,kS1,故B正確；

對于C,終邊在x軸上的角的集合為｛a|a=E,kGZ),終邊在y軸上的角的集合為

[aa=：+E,kGZ),其并集為，々a=y,kGZ],故C正確；

對于D,終邊在直線y=x上的角的集合是1a[a=：+E,kb卜故D不正確.

12.圓的一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓周角的弧度數為()

A.1B.f

琮吟D.跨

答案c

解析設該弦所對的圓周角為a,

則其圓心角為2a或2兀-2a,

由于弦長等于半徑，

所以可得2a=]或2TT—2a=],解潺a=5或a=^.

13.設集合M="a。=自一小k《ZpN=｛a|一肝人加｝,則MCN=.

因為左￡Z,所以k=-1,0,1,2,所以MHN=｛一票—I，襲，yj.

14.已知?扇形的弧長為27r管，面積2TI端，則其半徑，=,圓心角為

答案25

解析設圓心角度數為。，因為扇形的瓠長為號，面積為號=￡乂號乂「，

解得y2,由于扇形的瓠長為號=m=2a,解得a奇

“拓廣探究

15.扇形圓心角為等半徑為小則扇形內切圓的面積與扇形面積之比為

答案2：3

解析如圖，設內切圓半徑為r,

則r=1,

所以011=兀（§2=詈,

17

廣

兀

S匹4

可3-6

備32.

?=以=

2

所

工-

3-

16.如圖，動點P,。從點44,0）出發，沿圓周運動，點。按逆時針方向每秒鐘轉力弧度，點。

按順時針方向每秒鐘轉器弧度，求P,。第一次相遇時所用的時間及P,Q點各自走過的弧長.

解設P,Q第一次相遇時所用的時間是/秒,

則吟+/.一5=2瓦,

3

所以r=4秒,

即P,Q第一次相遇時所用的時間為4s.

P點走過的弧長為專乂4=與3

Q點走過的瓠長為號乂4=空.

5.2三角函數的概念

5.2.1三角函數的概念

【學習目標】1.借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義.2.掌握任意角三角

函數（正弦、余弦、正切）在各象限的符號.3.會利用角的終邊上的點的坐標求角的正弦、余弦、

正切.4.掌握公式并會應用.

知識梳理梳理教材夯實基礎

■■■■■■■■■■■■■■---------------------------------------------------------N-----------------

知識點一任意角的三角函數的定義

設。是一個任意角，a￡R,它的終邊。P與單位圓相交于點P（x,y）,

點P的縱坐標工叫做a的正弦函數，記作sina,即sina=\；點P的橫坐標工叫做Q的余弦

函數，記作cosa,HPcosa=x：把點P的縱坐標與橫坐標的比值?叫做。的正切，記作tana,

即tana=*xW0).

正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，分別記為：

正弦函數丁=5耐心x￡R；

余弦函數y=cosx,x￡R；

正切困數丁=1211工，AH，十版（攵匕Z）.

思考三角函數值的大小與點尸在角。終邊上位置是否有關？

答案三角函數值是比值，是一個實數，它的大小與點P在終邊上的位置無關，只與角。的

終邊位置有關，即三角函數值的大小只與角有關.

知識點二正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號

1.圖示:

2.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知識點三公式一

sin(a+227r)=sina,

cos((z+2kn)=cosa,

tan(a+2E)=lana,

其中2￡Z.

終邊相同的角的同一三角函數的值相等.

思考同一三角函數值相等時，角是否一定相等或相差周角的整數倍？

答案不一定，如sin30。=sin150。=：.

■思考辨析判斷正誤-

1.sinQ表示sin與a的乘積.(X)

2.設角a終邊上的點P(x,y),r=|OP|KO,則sina=：,且)，越大，sina的值越大.(X)

3.終邊相同的角的同一三角函數值相等.(V)

4.終邊落在y軸上的角的正切函數值為0.(X)

題型探究探究重點素養提升

---------------------------N--------

一、任意角三角函數的定義及應用

例1(1)已知角a的終邊與單位圓的交點為電，yjtXO),則tana=.

答案.

解析因為點噌，在單位圓上，則卷+產=1,

44

所以y=_g,所以tana=一§.

(2)已知角a的終邊落在射線1y=2A(X20)上，求sina,cosa的值.

解設射線y=2x(x20)上任一點P(xo,泗)，

則|OP|=「=向端+1,

*?*.yio=2xo?:?r=y/3xo,

..vo2小xov5

..sina=y=,,cosa=-7=5-

延伸探究

1.若將本例(1)中條件Z的終邊與單位圓的交點為噌，;。《))”改為“Q的終邊經過點

P(—3,—4)”,求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|OPl=d(-3)2+(-4)2=5.

如圖所示，設角Q的終邊與單位圓交于點Po(x,y).

分別過點P,凡作x軸的垂線PM,PoMo,

則|MP|=4,|Mo尸o尸一》,

|0M=3,|OMo|=f

AOMPs^OMoPo,

工且,____lA/oPol~\MP\4

于是，sma_y—]__|0孔|="^「=_于

x|OMo|-\OM\3

cosa-x-T~_|OPol-\OP\~一V

ysina4

tana—x—cosa—T3.

2.若將本例(2)中條件“a的終邊落在射線y=2x(x20)上”，換為“a的終邊落在直線y=2r

上”，其結論又如何呢？

解(1)若a的終邊在第一象限內，

設點尸(4方)(公>0)是其終邊上任意一點,

因為r=|OP|=。咋+4/=3a

“7.y2a2A/5x

所以即『廣甚=5,85。=;=8=亍

(2)若。的終邊在第三象限內，

設點/>3勿)(〃<0)是其終邊上任意一點,

因為r=\OP\=62+4〃2=一小〃3<0),

y2a2^/5xaA/5

所以sina

—-fa5，c°SQ〒二而=一5-

反思感悟利用三角函數的定義求值的策略

(1)已知角a的終邊在直線上求a的三角函數值時，常用的解題方法有以下兩種：

①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后利用三角函數的定義求出相應的三角函數值.

②注意到角的終邊為直線，所以應分兩種情況來處理，取射線上任一點坐標(a,8)(ar0),則

b

對應角的正弦值sin"=聲+護,余弦值cosa,正切值ian7=7

(2)當角的終邊上的點的坐標以參數的影式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.

跟蹤訓練1已知角a的終邊過點P(-3a,44)(aW0),則2sina+cosa=

答案1或一1

解析因為r=N(—3]+(旬2=5同，

①若a>0,則r=5a,角a在第二象限.

.v4a4x—3。3

s,n『片才予cos?=7=^=一亍

83

所以2sina+cosa=^—^=1.

②若a<0,則r=-5m角a在第四象限，

4a4—3a3

sina="-=—7,cosa=~-=7.

-5a5—5a5

g3

所以2sina+cosa=-5+5=-1.

二、三角函數值符號的運用

例2(1)已知點尸(tana,cosa)在第四象限，則角a的終邊在()

A.笫一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)下列各式：

①sin(—100°)；②cos(—220°)；③lan(-10)；@cosn.

其中符號為負的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案(1)C(2)D

tana>0,

解析(1)因為點P在第四象限，所以有八

cosa<0,

由此可判斷角a的終邊在第三象限.

(2)—100。在笫三象限，故sin(—100。)<0；—220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

—10￡(一全，一3兀)，在第二象限，故tan(—10)<0,cos7t=—1<0.

反思感悟判斷三角函數值正負的兩個步驟

(1)定象限：確定角Q所在的象限.

(2)定符號：利用三角函數值的符號規律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦來判斷.

跟蹤訓練2已知點?因11%8$(1)在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

三、公式一的應用

例3計算下列各式的值:

(l)sin(-l395°)cos11100+cos(-1020°)sin750°；

(2)sin(-^)+cos^tan4H.

解(1)原式

=sin(-4X360°+45°)cos(3X3600+30°)+cos(-3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin450cos300+cos600sin30°

=亞義亞+1義1=亞+1=1+#

~22十2*2-4十4-4-

(2)原式=sin(—27t+§+cos(27t+匍tan(47r+0)=sin看+cos知X0=；.

反思感悟利用誘導公式一求解任意角的三角函數的步驟

跟蹤訓練3（l）cos405。的值是（）

正

12

A.2一

答

案

解

析

Q

)sin

案

答

析

，

解

71sin鼻+tan￡=坐+上

3一

隨堂演練---------基--礎-鞏-固學、-以-致-用

1.已知角。的終邊經過點（一4,3）,則cosQ等于（）

A.7B.TC.D.—T

答案D

2.3：!（—315。）的值是（）

A—?B」C巫D1

答案c

解析sin（-315°）=sin（-360°+45°）=sin45。=拳

3.若sinycos0>0,則0在()

A.第一或第四象限B.第一或第三象限

C.第一或第二象限D.第二或第四象限

答案B

解析因為sin0-cosGO,

所以sin0<0,cos8<0或sin^>0,cosGO,

所以夕在第一象限或第三象限.

4.tan（一號）=.

答案<3

解析tan（一號+tan（-6兀+§=tan1=小.

5.y=sinx+tanx的定義域為

答案x乃節+E,kWZ

XER,

解析要使函數有意義，需滿足{n_

x#2+E,AGZ.

???函數的定義域為卜卜4+E,kez}.

-課堂小結?

1.知識清單：

(1)三角函數的定義及求法；

(2)三角函數在各象限內的符號；

(3)公式一?

2.方法歸納：負角化為正角、大角化為小角的化歸思想；角的終邊位置上點的不確定引起的

分類討論思想.

3.常見誤區：三角函數值的大小只與角的大小有關，與終邊上的點無關；正切函數的定義域

為卜工4+E,kRZr.

課時對點練注重雙基強化落實

1/基礎鞏固

1

1.已知角。的終邊與單位圓交于點（一半,-