孝南區2024-2025學年度九年級上學期期中學業水平監測數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的）1.下列方程是關于的一元二次方程的是A. B. C. D.2.下面的圖案是中國移動、中國聯通、中國電信以及華為公司的logo，其中圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A. B. C. D.3.一元二次方程化為一般形式后，一次項系數為A.3 B.-4 C.4 D.4.用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是A. B. C. D.5.某超市九月份的營業額為36萬元，十一月份的營業額為48萬元，設每月的平均增長率為，則可列方程為A. B. C. D.6.已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為A.無解 B.， C. D.，7.如圖，在中，，，，動點從點開始沿向點以的速度移動，動點從點開始沿向點以的速度移動.若，兩點分別從，兩點同時出發，點到達點運動停止，則的面積隨出發時間的函數關系圖象大致是A. B. C. D.8.如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，點，的對應點分別為，，延長交于點，下列結論不正確的是A. B. C. D.9.將拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位后得到的拋物線的解析式為A. B.C. D.10.如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示，則下列結論正確是A.B.C.D.若點，均在該拋物線上，則二、填空題（每題3分，共計15分）11.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則常數的值是_____.（寫出一個即可）12.已知點與點關于原點對稱，則的值是_____.13.關于的一元二次方程的一個根為0，則的值為_____.14.如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離（單位：）近似滿足函數關系的圖象，點在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車_____完全停到車棚內（填“能”或“不能”）.圖1圖215.如圖，線段，點是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，在的上方作，使，，點為的中點，連接，當_____時，的長最小，此時的面積為_____.三、解答題（本大題共9小題，共75分）16.（6分）用合適的方法解下列方程：（1）； （2）；17.（6分）如圖，在菱形中，，點在對角線上，將線段繞點順時針旋轉角，得到，連接、.求證：.18.（6分）改善小區環境，爭創文明家園.如圖所示，某社區決定在一塊長（），寬（）的矩形場地上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草.要使草坪部分的總面積為，則小路的寬應為多少？19.（8分）已知拋物線.（1）用配方法將化成的形式；（2分）（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（3分）（3）分別求出拋物線與軸、軸的交點坐標.（3分）20.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，有一直角，且，，，已知是由旋轉變換得到的.（1）請寫出旋轉中心的坐標是_____，旋轉角為_____°；（2分）（2）以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出順時針旋轉、的三角形；（3分）（3）設直角兩直角邊，，斜邊，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.（3分）21.（8分）已知關于的一元二次方程有兩個實數根，.（1）求實數的取值范圍；（3分）（2）若，求的值.（5分）22.（10分）我市首衡城是華中地區最大的農副產品集散地和批發市場.某品牌水果經銷商計劃在2024年中秋節期間開展“陽光玫瑰”葡萄的促銷活動.經過調查統計發現，在首衡城批發“陽光玫瑰”葡萄的最低價格為每斤10元，若按每斤20元的價格到市區銷售，平均每天可售出60斤.若每斤“陽光玫瑰”葡萄的售價每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加10斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售.（1）若降價4元，則每天的銷售利潤是_____元；（2分）（2）若該經銷商計劃銷售“陽光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“陽光玫瑰”葡萄的售價應降價多少元？（其它成本忽略不計）（4分）（3）當售價降價多少元時，該水果商每天銷售“陽光玫瑰”葡萄獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？（4分）23.（11分）【問題背景】如圖，在中，，，點，分別在邊，上，，連接，，點為的中點.圖1圖2（1）【觀察猜想】觀察圖1，試猜想線段與的數量關系為_____，位置關系為_____；（4分）（2）【拓展探究】把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由；（5分）（3）【問題解決】把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出線段長的取值范圍.（2分）24.（12分）如圖1，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接.圖1圖2（1）求拋物線的解析式；（2分）（2）當點在線段上（點不與點，重合）運動時，過點作軸的垂線，交拋物線于點，交軸于點，設點的橫坐標為.①若，求的值；（3分）②若為等腰直角三角形，求的值；（4分）（3）如圖2，連接，點是拋物線上第一象限內一點，連接，若，請直接寫出點的坐標.（3分）

2024-2025學年度九年級上學期期中數學試題參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的）DBBAADCCBD二、填空題（每題3分，共計15分）11.0（在范圍內取值均可）12.213.-114.能15.2；（第1空2分，第2空1分）三、解答題16.解：（1），，，，，，；（2），，，，17.證明：四邊形為菱形，，，由旋轉性質知：，，，在和中，18.解：設小路的寬應為米，根據題意得：，解得：，.，不符合題意，舍去，.答：小路的寬應為1米.19.解：（1），（2）由（1）知：，，拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為.（寫對一項給1分）（3）令，則，解得，，拋物線與軸的交點坐標為：，，令，則，拋物線與軸的交點坐標為：.（寫對一個坐標給1分）20.解：（1），（2）畫出圖形如圖所示.（3）由旋轉的過程可知，四邊形和四邊形是正方形.，..即.21.解：（1）由題方程有兩個實數根，，，（2），，，即，，，22.解：（1）600元；（2）設每斤“陽光玫瑰葡萄”應降價元，根據題意得：整理得：，解得，，為了盡快減少庫存，，答：每斤“陽光玫瑰葡萄”的售價應降3元；（3）設水果商每天獲得的利潤為元，根據題意得：，，當時，，答：當每斤降價2元時，水果商每天銷售該葡萄獲得的利潤最大，最大利潤是640元.23.解：（1），.（每空2分）【提示：延長至，使，連接，交于點.，，，，，，，，，，，，，，，，，】（2）結論成立.理由：如圖2中，延長到，使得，連接.延長交于.，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.圖2（3）線段的取值范圍為：【提示：，都是等腰三角形，，，，由（2）可知，，，，，】24.解：（1）拋物線過和兩點，，解得：