微積分復合函數求導法則課件?

復合函數概述?

求導基礎知識回顧?

復合函數求導法則推導?

復合函數求導法則應用實例分析?

高階導數及隱函數求導方法介紹?

總結回顧與拓展延伸01復合函數概述復合函數定義?

定義：設函數y=f(u)的定義域為Df，值域為Rf，函數u=g(x)的定義域為Dg，值域為Rg，且Rf∩Dg≠?，則稱函數y=f[g(x)]為f(u)與g(x)的復合函數，記作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。這里Rf∩Dg表示f(u)與g(x)的定義域的交集。復合函數類型010203嵌套型乘積型冪型形如y=f(g(x))的復合函數，其中f(u)和g(x)均為基本初等函數。形如y=f(x)g(x)的復合函數，其中f(x)和g(x)均為基本初等函數。形如y=[f(x)]^n或y=n^[f(x)]（n為常數）的復合函數，其中f(x)為基本初等函數。復合函數實例嵌套型實例01y=sin(2x+1)，其中f(u)=sin(u)，g(x)=2x+1。乘積型實例0203y=xe^x，其中f(x)=x，g(x)=e^x。冪型實例y=ln(3x)，其中f(x)=ln(x)，g(x)=3x。02求導基礎知識回顧導數定義及性質導數定義函數在某一點處的導數描述了該函數在該點附近的變化率，即函數值隨自變量變化的快慢程度。導數性質包括常數函數的導數為0、冪函數的導數公式、導數的四則運算法則等。常見導數公式常見基本初等函數的導數公式如多項式函數、三角函數、指數函數、對數函數等。復合函數的導數公式通過鏈式法則將復合函數分解成基本初等函數進行求導。求導法則鏈式法則若函數u=g(x)在點x可導,而y=f(u)在點u=g(x)可導,則復合函數y=f[g(x)]在點x可導,且其導數為：f'[g(x)]·g'(x)。隱函數求導法則若y是x的函數，且由方程F(x,y)=0確定，則將方程兩邊同時對x求導，得到y'的表達式。03復合函數求導法則推導鏈式法則引入鏈式法則定義鏈式法則引入思路若函數$y=f(u)$在點$u$可導，函數$u=g(x)$在點$x$可導，則復合函數$y=f[g(x)]$在點$x$也可導，且其導數為$f'[g(x)]\cdotg'(x)$。通過實例和圖形展示，引入復合函數的概念，并讓學生思考如何求復合函數的導數，進而引出鏈式法則的概念。VS鏈式法則證明過程鏈式法則證明方法鏈式法則證明步驟采用極限的定義和四則運算法則進行證明，讓學生理解鏈式法則的本質和推導過程。首先通過極限的定義求出復合函數的導數，然后利用四則運算法則進行化簡，得到鏈式法則的公式。鏈式法則應用舉例例題選擇例題解析選擇幾個典型的復合函數求導的例題，包括基本初等函數的復合、分段函數的復合等，讓學生熟悉鏈式法則的應用場景和求解方法。詳細解析每個例題的求解過程，包括復合函數的分解、各部分的求導以及最后結果的整合，讓學生理解并掌握鏈式法則的應用方法。04復合函數求導法則應用實例分析實際問題中復合函數模型建立經濟增長模型物體運動模型描述經濟增長與時間的關系，如GDP與時間的描述物體運動速度與時間的關系，如速度與時間的函數關系。函數關系。工程問題中的復合函數描述工程問題中多個變量之間的關系，如流量、壓力與管道半徑的函數關系。利用鏈式法則求解實際問題中復合函數導數鏈式法則基本思想：將復合函數拆解成多個基本函數，逐一求導，再01020304相乘得到整體導數。經濟增長模型中復合函數導數求解：分析經濟增長率、邊際增長率等經濟指標。物體運動模型中復合函數導數求解：分析加速度、速度變化率等物理量。工程問題中復合函數導數求解：分析流量變化率、壓力梯度等工程參數。總結與歸納要點一要點二復合函數求導法則重要性實際問題中復合函數模型建立與導數求解方法掌握復合函數求導法則是解決實際問題的基礎和關鍵。根據實際問題建立復合函數模型，利用鏈式法則求解導數，分析問題的本質和規律。05高階導數及隱函數求導方法介紹高階導數概念及性質回顧高階導數定義高階導數性質函數f(x)的n階導數表示為f^(n)(x)，表示對函數f(x)求n次導數。高階導數具有線性性、疊加性和乘積法則等基本性質，同時高階導數與函數的凹凸性和拐點等性質密切相關。隱函數求導方法簡述隱函數概念隱函數求導方法當函數y以隱式形式給出，即F(x,y)=0時，稱y為x的隱通過對隱函數F(x,y)兩邊同時對x求導，并利用鏈式法則和復合函數求導法則，求得y'和y''等導數。函數。隱函數求導在復合函數中應用舉例復合函數分解舉例應用將復合函數分解成基本初等函數和中間變量的復合關系，便于使用鏈式法則和隱函數求導方法進行求導。通過實例展示隱函數求導在復合函數中的應用，包括求解函數的極值、曲線的凹凸性和拐點等問題。06總結回顧與拓展延伸關鍵知識點總結回顧鏈式法則若$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y'=f'(u)g'(x)$。乘法法則若$u(x)$，$v(x)$均可導，則$(u\cdotv)'=u'\cdotv+u\cdotv'$。復合函數分解將復合函數分解成若干基本初等函數，分別求導后再用鏈式法則求導。拓展延伸：多元復合函數求導法則簡介多元函數的偏導數鏈式法則在多元函數中的應用對于多元函數$z=f(x,y)$，其關于$x$的偏導數$\frac{\partialz}{\partialx}$是將$y$看作常數，對$x$求導；關于$y$的偏導數$\frac{\partialz}{\partialy}$是將$x$看作常數，對$y$求導。若$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialg}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialh}{\par