2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題06解三角形（真題5個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考11題2024春考5題解三角形正弦定理2023秋考8、11題2023春考18題余弦定理的應用、利用導數解三角形中幾何問題正弦定理、三角形面積公式2022秋考19題2022春考8題正余弦定理和面積公式正弦定理和余弦定理2021秋考18題2021春考18題正、余弦定理的應用、三角形面積求法正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用一．正弦定理（共3小題）1．（2024?上海）三角形中，，則．〖祥解〗根據已知條件，結合正弦定理，即可求解．【解答】解：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案為：．【點評】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題．2．（2021?上海）已知、、為的三個內角，、、是其三條邊，，．（1）若，求、；（2）若，求．〖祥解〗（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根據已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數基本關系式可求得，，的值，進而根據正弦定理可得的值．【解答】解：（1）因為，可得，又，可得，由于，可得．（2）因為，可得，又，可解得，，或，，因為，可得，，可得為鈍角，若，，可得，可得，可得為鈍角，這與為鈍角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．3．（2021?上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．〖祥解〗（1）由余弦定理求得，從而求得面積；（2）由正、余弦定理求得、值，從而求得周長．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，為銳角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．當時，時；當時，時．【點評】本題考查余正、弦定理應用、三角形面積求法，考查數學運算能力，屬于中檔題．二．正弦定理與三角形的外接圓（共1小題）4．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為．〖祥解〗直接利用正弦定理和余弦定理求出結果．【解答】解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．三．余弦定理（共1小題）5．（2023?上海）已知中，角，，所對的邊，，，則．〖祥解〗先利用余弦定理求出，再利用同角三角函數間的基本關系求解．【解答】解：，，，由余弦定理得，，又，，．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理的應用，考查了同角三角函數間的基本關系，屬于基礎題．四．三角形中的幾何計算（共2小題）6．（2023?上海）某公園欲建設一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則．〖祥解〗先求出斜坡的長度，求出上坡所消耗的總體力的函數關系，求出函數的導數，利用導數研究函數的最值即可．【解答】解：斜坡的長度為，上坡所消耗的總體力，函數的導數，由，得，得，，由時，即時，函數單調遞增，由時，即時，函數單調遞減，即，函數取得最小值，即此時所消耗的總體力最小．故答案為：．【點評】本題主要考查生活的應用問題，求函數的導數，利用導數研究函數的最值是解決本題的關鍵，是中檔題．7．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點，曲線上任一點到距離相等，角，，關于對稱，；（1）若點與點重合，求的大小；（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．〖祥解〗（1）在中，直接利用余弦定理求出，再結合正弦定理求解；（2）利用五邊形的對稱性，將所求的面積化為四邊形的面積計算問題，充分利用圓弧的性質，找到最大值點，從而解決問題．【解答】解：（1）點與點重合，由題意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小為；（2）如圖，連結，，，，曲線上任意一點到距離相等，，，關于對稱，點在劣弧中點或劣弧的中點位置，，則，則五邊形面積，其中，當時，取最大值，五邊形面積的最大值為．【點評】本題考查了扇形的性質、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應用，同時考查了學生的邏輯推理能力、運算能力等，屬于中檔題．五．解三角形（共2小題）8．（2024?上海）已知點在點正北方向，點在點的正東方向，，存在點滿足，，則．（精確到0.1度）〖祥解〗根據已知條件，結合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，根據正弦定理可得，設，則，所以，①在中，根據正弦定理可得，，②聯立①②，因為，所以，利用計算器可得，，即．故答案為：．【點評】本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題．9．（2023?上海）在中，角、、所對應的邊分別為、、，其中．（1）若，，求邊長；（2）若，，求的面積．〖祥解〗（1）由已知結合和差角公式及正弦定理進行化簡可求，，，然后結合銳角三角函數即可求解；（2）由已知結合正弦定理先求出，進而可求，再由正弦定理求出，結合三角形面積公式可求．【解答】解：（1），且，，，，，，，；（2），則，，，，為銳角，，，，，，．【點評】本題主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．一．選擇題（共3小題）1．（2024?奉賢區三模）在中，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件〖祥解〗觀察兩條件的互推性即可求解．【解答】解：”“”是“的充分條件，但時有無數解，可以是或，不能推出，故選：．【點評】本題考查充分必要條件是高考的熱點問題，值得一做．2．（2024?嘉定區二模）嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數學活動．太陽高度角是指某時刻太陽光線和地平面所成的角．測量時，假設太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為，墻的高度均為3米．在時刻，實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角和對應時間的部分數據如表所示，則時刻最可能為太陽高度角時間太陽高度角時間A． B． C． D．〖祥解〗作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數定義，算出的大小，即可得到本題的答案．【解答】解：如圖所示，設兩豎直墻面的交線為，點被太陽光照射在地面上的影子為點，點、分別是點在兩條墻腳線上的射影，連接、、，由題意可知就是太陽高度角．四邊形中，，，，中，，可得，四邊形是圓內接四邊形，是其外接圓直徑，設的外接圓半徑為，則，中，，．對照題中表格，可知時刻時，太陽高度角為，與最接近．故選：．【點評】本題主要考查利用正弦定理與余弦定理解三角形、三角函數知識在實際問題中的應用等知識，屬于中檔題．3．（2024?徐匯區校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．〖祥解〗先應用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求出角，再根據正弦定理求出外接圓半徑即可．【解答】解：，，．，，，，，，設該三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，．故選：．【點評】本題考查的知識要點：正弦定理，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．二．填空題（共14小題）4．（2024?黃浦區二模）在中，，，，則．〖祥解〗由題意利用余弦定理即可求解．【解答】解：因為在中，，，，所以由余弦定理可得．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．5．（2024?黃浦區校級三模）在中，內角，，的對邊是，，．若，，則．〖祥解〗在中，運用余弦定理：，代入計算即可得到．【解答】解：，又，．故答案為：．【點評】本題考查余弦定理及運用，考查運算能力，屬于基礎題．6．（2024?黃浦區校級三模）的內角、、所對邊長分別為、、，面積為，且，則角．〖祥解〗由三角形的面積公式及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大小．【解答】解：由題意可得，由余弦定理可得，所以可得，即，而，所以．故答案為：．【點評】本題考查余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于基礎題．7．（2024?普陀區校級三模）的內角，，的對邊分別為，，，若，則．〖祥解〗由已知利用同角三角函數基本關系式可求，的值，進而利用正弦定理可求的值．【解答】解：因為，且，為三角形內角；，；由正弦定理可得：．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．8．（2024?徐匯區模擬）在中，，，，則的外接圓半徑為1〖祥解〗可求得，利用正弦定理即可求得答案．【解答】解：在中，，，，，設的外接圓半徑為，由正弦定理得：，．故答案為：1．【點評】本題考查正弦定理的應用，屬于基礎題．9．（2024?閔行區校級二模）在中，其內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為3．〖祥解〗由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式計算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：，即，所以，所以．故答案為：3．【點評】本題考查利用余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于基礎題．10．（2024?長寧區二模）在中，角，，的對邊分別為，，，若，則．〖祥解〗利用余弦定理表示出，把已知等式變形后代入計算求出的值，即可確定出的度數．【解答】解：中，，即，，則．故答案為：【點評】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．11．（2024?寶山區三模）在中，若，，的面積為，則．〖祥解〗由的度數求出與的值，利用面積公式列出關系式，將，已知的面積與的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出關系式，將，及的值代入，開方即可求出的值．【解答】解：，，的面積為，，即，由余弦定理得：，則．故答案為：【點評】此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．12．（2024?浦東新區校級模擬）中，角，，所對的三邊分別為，，，，若的面積為1，則的最小值是．〖祥解〗，可得，由三角形的余弦定理和面積公式、同角的平方關系可得，再由換元法和二次方程有實根的思想，結合判別式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：設，由，可得，由的面積為1，可得，即，，由余弦定理可得，可設，，則，兩邊平方可得，即為，由△，即，解得（或舍去），當，即，，，取得最小值，故答案為：．【點評】本題考查三角形的余弦定理和面積公式，以及同角的平方關系，考查方程思想和轉化思想、運算能力，屬于中檔題．13．（2024?虹口區二模）已知一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則這個三角形外接圓的直徑為．〖祥解〗由已知結合余弦定理可求出，再由同角平方關系求出，結合正弦定理即可求解．【解答】解：設，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理可得，．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的應用，屬于中檔題．14．（2024?浦東新區三模）如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應在距離大屏幕所在的平面3.2米處觀看？（精確到0.1米）〖祥解〗根據題意作出示意圖，設，分別在與中利用銳角三角函數的定義，將與表示為的式子，然后利用兩角差的正切公式與基本不等式，算出的最大值，從而算出獲得最佳視野時小明與大屏幕所在平面的距離．【解答】解：設點在直線上的射影為，則就是小明與大屏幕所在平面的距離，由題意得，，設，則，，可得，當且僅當，即時取等號，結合正切函數在銳角范圍內是增函數，可知：當時，小明可以獲得觀看的最佳視野．故答案為：3.2．【點評】本題主要考查銳角三角函數的定義、兩角差的正切公式、運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．15．（2024?長寧區校級三模）如圖，地在地的正東方向，相距；地在地的北偏東方向，相距，河流沿岸（曲線）上任意一點到的距離比它到的距離遠，現要在曲線上選一處建一座碼頭，向、、三地轉運貨物．經測算，從到、兩地修建公路費用都是10萬元，從到修建公路的費用為20萬元．選擇合適的點，可使修建的三條公路總費用最低，則總費用最低是85.83萬元（精確到．〖祥解〗由題意可得點的軌跡為雙曲線的靠近點的一支，可得實軸長的值，由題意可得總費用，在中，由余弦定理可得的值，即求出總費用的最小值．【解答】解：因為是（曲線）上任意一點到的距離比它到的距離遠，可得點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的靠近點的一支上，設實軸長為，焦距為，由題意可得，，設總費用為（萬元），則，由題意可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以（萬元）．故答案為：85.83．【點評】本題考查雙曲線的定義的應用及余弦定理的應用，屬于中檔題．16．（2024?閔行區校級模擬）如圖，河寬50米，河兩岸、的距離為100米，一個玩具氣墊船（不計大小）可以從走水路直接到，也可以從先沿著岸邊行駛一段距離，再走水路到．已知該氣墊船在水中的速度是10米分鐘，岸上的速度是20米分鐘，則從到的最短時間為8.66分鐘．（精確到小數點后兩位）〖祥解〗過點向河對岸作垂線，垂足為點，設氣墊船從點開始走水路，設，將所需時間表示為關于的函數，利用導數求得最小值．【解答】解：過點向河對岸作垂線，垂足為點，設氣墊船從點開始走水路，設，則所需時間，所以，則當時，取最小值，約為8.66分鐘．故答案為：8.66．【點評】本題考查解三角形的應用，屬中檔題．17．（2024?金山區二模）某臨海地區為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險游客需要盡快抵達救生棧道，則最短距離為475．（結果精確到〖祥解〗先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，進而轉化到三角形中求解即可．【解答】解：作交于，由題意可得，，，所以，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，所以，所以，所以，在直角中，，即．故答案為：475．【點評】本題考查解三角形的應用，屬于中檔題．三．解答題（共26小題）18．（2024?黃浦區校級三模）的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，的面積為2，求．〖祥解〗（1）利用三角形的內角和定理可知，再利用誘導公式化簡，利用降冪公式化簡，結合，求出，（2）由（1）可知，利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可求出．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）由（1）可知，，，，．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和同角的三角函數的關系，屬于中檔題19．（2024?靜安區二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值．〖祥解〗（1）根據已知條件，結合余弦定理，即可求解；（2）根據已知條件，結合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，，則，，則；（2），，，，則，，則．【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，屬于基礎題．20．（2024?楊浦區校級三模）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（Ⅰ）試判斷的形狀；（Ⅱ）若，求周長的最大值．〖祥解〗（Ⅰ）利用二倍角公式化簡已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意可得周長為，，利用正弦函數的性質即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得，所以是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，，所以周長為，，所以當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為．【點評】本題考查了二倍角公式，余弦定理，兩角和的正弦公式以及正弦函數的性質，考查了轉化思想和函數思想，屬于中檔題．21．（2024?浦東新區校級模擬）如圖所示，扇形中，圓心角，半徑為2，在半徑上有一動點，過點作平行于的直線交弧于點．（1）若是半徑的中點，求線段的長；（2）若，求面積的最大值及此時的值．〖祥解〗（1）通過已知條件，利用余弦定理，求出即可；（2）首先利用三角函數關系式的恒等變換，把關系式變形成正弦型函數，進一步求出最值．【解答】解：（1）在中，，，由得，解得（負舍去）．（2）在中，由余弦定理可得，又，即當且僅當時等號成立．所以面積．時，取得最大值為．【點評】本題考查的知識要點：余弦定理和正弦定理的應用，三角形面積公式的應用．屬于中檔題．22．（2024?松江區校級模擬）△中，角、、的對邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面積為，點滿足，求的值．〖祥解〗（1）根據正弦定理化簡已知等式，算出且，然后在△中，根據余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函數的基本關系算出，根據三角形的面積公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出長，根據正弦定理求出，結合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根據余弦定理得．（2）根據，可得（舍負）．所以△中的面積，解得，，．由題意得，在△中，由余弦定理得，根據正弦定理得，即，解得．因為，所以，可得．【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角恒等變換公式、三角形的面積公式及其應用，屬于中檔題．23．（2024?崇明區二模）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，為在方向上的投影向量，且滿足．（1）求的值；（2）若，，求的周長．〖祥解〗（1）由題意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再結合可求出的值，進而求出的值，得到的周長．【解答】解：（1）為在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周長為．【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區校級三模）在中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）若的面積為，邊上的高為1，求的周長．〖祥解〗（1）由已知結合正弦定理進行化簡可求，進而可求；（2）結合三角形面積公式可求出及，然后結合余弦定理即可求解，進而可求三角形周長．【解答】解：（1）因為，由正弦定理，得，即，因為在中，，所以．又因為，所以；（2）因為的面積為，邊上的高為1，所以，得．即，所以．由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應用，屬于中檔題．25．（2024?閔行區三模）在中，角、、所對邊的邊長分別為、、，已知，．（1）若，求；（2）若，求的面積．〖祥解〗（1）根據正弦定理求邊長后再應用余弦定理求解即可；（2）先求出角，再求出邊長，最后應用面積公式求解可得．【解答】解：（1）由，應用正弦定理得，，，即得；（2）因為，則，又由正弦定理得，．【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，屬于中檔題．26．（2024?嘉定區校級模擬）在中，，，分別是角，，所對的邊，，，．（1）求的值；（2）求的值．〖祥解〗（1）由余弦定理直接求出的值；（2）由余弦定理可得的值，進而求出的值，再由兩角差的余弦公式，可得的值．【解答】解：（1）中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，解得或（舍，所以；（2）由余弦定理可得，在三角形中，可得，所以．【點評】本題考查余弦定理的應用，兩角差的余弦公式的應用，屬于中檔題．27．（2024?青浦區校級模擬）已知函數．（1）求的單調遞增區間；（2）在中，，，為角，，的對邊，且滿足，且，求角的值．〖祥解〗（1）首先利用三角函數關系式的恒等變換，把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用整體思想求出函數的單調區間．（2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分類討論即可求解．【解答】解：（1）由題意得，，由，解得：，所以單調遞增區間為；（2）由及正弦定理可得，因為在中，，則，所以，即，所以當時，；當，即時，，因為，所以．【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，正弦定理的應用，屬于中檔題．28．（2024?閔行區校級三模）已知的內角，，的對邊分別為，，，，，．（1）求角；（2）求的面積．〖祥解〗（1）根據題意，利用余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面積公式，即可得出答案．【解答】解：（1）在中，，即，由余弦定理得，，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得，又，的面積．【點評】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．29．（2024?閔行區二模）在銳角中，角、、所對邊的邊長分別為、、，且．（1）求角；（2）求的取值范圍．〖祥解〗（1）利用正弦定理化簡已知等式可求，結合為銳角，即可求解的值；（2）由題意可求得，可得，，可得，，利用三角函數恒等變換的應用化簡可求，即可得解的取值范圍．【解答】解：（1），，又，，為銳角三角形，；（2）為銳角三角形，，，解得，，，可得，，則，，的取值范圍是，．【點評】本題考查了正弦定理，三角函數恒等變換以及正弦函數的性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．30．（2024?松江區校級模擬）設的內角、、所對邊分別為、、，若．（1）求證：、、成等差數列；（2）若、、均為整數，且存在唯一的鈍角滿足條件，求角的大小．〖祥解〗（1）根據題意化簡已知等式，得到，然后利用兩角和的正弦公式與誘導公式，推導出，結合正弦定理算出，可證出、、成等差數列；（2）設等差數列、、的公差為，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”與余弦定理，列式算出，然后根據三邊長為整數且鈍角的唯一存在，推算出，進而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大小．【解答】（1）證明：因為，所以，即，可得，即，因為在中，，所以，結合正弦定理，可得，即、、成等差數列；（2）若中，，且是鈍角三角形，則由余弦定理得，設等差數列、、的公差為，則，可得，整理得，解得，由，得，解得，所以，因為、、均為整數，且存在唯一的鈍角滿足條件，所以公差，，，，，因此，滿足條件的中，角的大小為．【點評】本題主要考查兩角和的正弦公式與誘導公式、正弦定理與余弦定理及其應用、等差數列的定義與性質等知識，屬于中檔題．31．（2024?普陀區模擬）設函數，，，它的最小正周期為．（1）若函數是偶函數，求的值；（2）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，求的值．〖祥解〗（1）利用正弦函數的周期公式可求，又函數是偶函數，結合，即可求解的值；（2）由，可得，結合題意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，進而可求的值．【解答】解：（1）因為函數的最小正周期為，且，所以，即，則，又函數是偶函數，則，，即，又，則；（2）由（1）可得，又，可得，又，，則，即，由余弦定理得，即，則．【點評】本題考查了正弦函數的周期公式，三角函數的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．32．（2024?寶山區二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀．〖祥解〗（1）利用邊角互化思想得，由余弦定理求出的值，從而得出角的值；（2）由三角形的面積公式得出的值，再由基本不等式即可計算得解．【解答】解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因為是三角形內角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為4，此時為等邊三角形．【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，屬于中檔題．33．（2024?徐匯區校級模擬）（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判斷的形狀，并說明理由．〖祥解〗（1）由已知結合兩角和的正切公式可求，然后結合同角基本關系可求；（2）由兩角和的正切公式先求，進而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函數值求出，即可判斷．【解答】解：（1），原式，（2）因為，所以，，且，所以或，即或，當，則，此時無意義，矛盾．當，則，滿足題意，此時是正三角形．【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式，三角形的誘導公式及二倍角公式，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區校級模擬）已知函數．（Ⅰ）求函數的單調遞減區間；（Ⅱ）在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足，求（B）的取值范圍．〖祥解〗（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡，再由正弦函數的單調性可得所求區間；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，可得所求取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），令，則，所以，單調減區間是．（Ⅱ），由得：，由余弦定理可得，于是三角形的內角，在中，得，于是，則，所以，則（B）的取值范圍是，．【點評】本題考查三角形的余弦定理和三角函數的恒等變換，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．35．（2024?黃浦區校級模擬）在△中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求角；（2）若△為鈍角三角形，且，求的取值范圍．〖祥解〗（1）化切為弦，然后根據兩角和的正弦公式化簡即可求解；（2）利用正弦定理化邊為角，根據輔助角公式化為，結合角的范圍利用正弦函數的性質即可求解范圍．【解答】解：（1）因為，所以，即，所以，又因為，所以，又且，所以；（2）由正弦定理，得，所以，所以，因為△是鈍角三角形，不妨設為鈍角，則，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍是．【點評】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識解三角形，屬于中檔題．36．（2024?浦東新區校級模擬）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求的大小；（2）若，，為的中點，求．〖祥解〗（1）由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡可求，進而可求；（2）由已知結合余弦定理可求，然后結合向量的線性表示及向量數量積的性質可求．【解答】解：（1）由結合正弦定理得，，所以，所以，因為，所以，因為為三角形內角，所以，所以，因為，所以；（2）在中，因為，所以，所以，解得或，當時，，則為鈍角，不符合題意，則，，所以，故．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．37．（2024?普陀區校級三模）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足．（1）若，求的面積；（2）求的最大值，并求其取得最大值時的值．〖祥解〗（1）首先由余弦定理求出，再結合三角形面積公式即可求解；（2）由正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求解．【解答】解：（1）因為，，所以，由正弦定理可得，而，可得，又因為，可得；由余弦定理可得：，，，可得，解得或，當時，可得；當時，可得；（2），，由正弦定理可得：，所以，，所以，其中，，，，因為在中，，所以，當時，取到最大值，此時．【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用，輔助角公式的應用，屬于中檔題．38．（2024?閔行區校級三模）已知的內角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，求面積的最大值．〖祥解〗（1）由正弦定理可得的值，再由角的范圍可得角的大小；（2）由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進而求出三角形面積的最大值．【解答】解：（1）因為，由正弦定理可得，在三角形中，，可得，，可得或；（2），當，由余弦定理可得：，可得，此時，所以該三角形面積的最大值為．當，，可得，此時，此時三角形的面積最大值為．綜上所述：該三角形面積的最大值為．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理的應用，基本不等式的性質的應用，屬于中檔題．39．（2024?楊浦區校級三模）在中，設角、、所對邊的邊長分別為、、，已知．（1）求角的大小；（2）當，時，求邊長和的面積．〖祥解〗（1）借助正弦定理將邊化為角，結合及兩角和的正弦公式計算化簡即可得；（2