...wd......wd......wd...解三角形的基此題型睢縣回族高級中學楊少輝解三角形問題是高考的一種基本問題，可以說是常考；下面就這類問題來做個總結，有不對的地方希望大家指正。一、與解三角形有關的公式、定理、結論：1、正弦定理：；正弦定理的變形：;〔根據合比定理〕2、余弦定理：余弦定理的變形：3、三角形面積公式：〔1〕；〔2〕〔兩邊及夾角〕；〔3〕〔兩角及夾邊〕；〔4〕〔兩角及對邊〕；〔5〕〔三邊〕；〔6〕〔代入正弦定理〕；〔7〕；4、三角形中的邊角關系：〔1〕；〔2〕轉化為三角函數：；；〔3〕大邊對大角：；；〔4〕銳角與鈍角的判定：角A為銳角；角A為直角；角A為鈍角；〔5〕銳角三角形中的邊角關系：；二、解三角形的常見題型：題型一：兩邊及對角，判斷三角形解的個數；例1、根據條件，判斷以下解的個數：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；解析：顯然應使用正弦定理：〔1〕，故：，解得：，；由圖形可知：直線與只有唯一的交點，所以：只有唯一解；〔2〕由解得：，；實際就是研究圖像交點的個數；由圖像知：有兩個交點，即：有兩個解；〔3〕由解得：，這樣的角B不存在，無解；〔4〕由解得：，又；故：；〔變式1〕中，，假設此三角形有兩個解，求邊的取值范圍分析：由正弦定理知：，；只需：有兩個不同的交點即可；由圖像可知：；〔變式2〕〔1〕在中，，，求；〔2〕在中，，，求；分析：〔1〕由于；；關鍵是的正負；也就是分析角A是銳角還是鈍角；即：交點的情況；如圖：只有一個交點，角A是一個銳角；即：；；〔2〕類似分析可知：，故：；總結：解決這類問題一般用正弦定理，轉化成圖像交點的個數問題；題型二：利用正弦定理求外接圓半徑；例2、直三棱柱中，，求其外接球的外表積；分析：此題的關鍵是確定球心的位置并求球的半徑；如圖：為的外接圓半徑；由正弦定理：；解得：，；球的半徑，故：球的外表積為；〔變式〕二面角為，點P為二面角內部一點，點P到面和面的距離分別為1和2；求點P到直線的距離；分析：先作出P到直線的距離，然后放入一個三角形求解；過點P作于點A，過點P作于點B，過點A作于點C；可得：為所求距離；顯然，A、B、C、P四點共圓；PC為外接圓直徑；中，由余弦定理知：；；；題型三：判斷三角形的形狀；例3、在中，,判斷的形狀；分析：判斷三角形的形狀，一般有兩條思路：〔1〕證明角的關系；〔2〕證明邊的關系；法一：將角轉化成邊；原式轉化為：，代入正弦定理：，應用余弦定理可得：，進一步化簡得：；；故：或，即：為等腰三角形或直角三角形；法二：將邊轉化成角；原式可化為：；代入正弦定理得：，即：；故：或；為等腰三角形或直角三角形；〔變式〕在中，,判斷的形狀；題型四：三角形中的邊角混合式，解三角形；例4、在中，，且；求；解析：由于要求的是邊，應將角轉化為邊；可化為：；繼續應用余弦定理轉化可得：；化簡得：，結合：，可得：；解得：；例5、在中，；求；解析：由于要求的是角，應盡量將所有的邊轉化為角；故：；解得；即：；解得：；由，；例6、在中，；〔1〕求角A；〔2〕假設，求；解析：〔1〕邊化角：；統一角：化簡得：；進一步化簡可得：；解得：；〔2〕從第一問得到啟發，面積公式應用：可以解出；從再聯想到余弦定理：；代入數據可得：；兩式聯立解得：；〔變式〕在中，，且成等比數列；〔1〕求的值；〔2〕假設,求的值；總結：解決此類問題，變角轉化是關鍵，統一變量是目的；題型五：三角形中的取值范圍問題；例7、在中，；〔1〕求角A的大小；〔2〕假設，求周長及面積的取值范圍；解析：〔1〕，即：；化簡得：；角；〔2〕法一：轉化為邊；由余弦定理：；周長；只需要求的取值范圍即可；由三角形的性質知：；由基本不等式可得：，當且僅當時取等號成立；故：，即：，周長的取值范圍是：；；由于且；所以：；即：面積的取值范圍是；法二：轉化為角；由正弦定理知：；周長=；將代入并化簡得：周長=，；周長的取值范圍是：；；面積的取值范圍是；〔變式1〕將例7中的“〞改為“銳角〞“法一〞將很難解決這個問題，而“法二〞僅僅需要改變一下角B的取值范圍即可；將代入可得：；后面同上法；〔變式2〕在中，求的取值范圍；解析：由正弦定理知：；由輔助角公式得：；；故：；的取值范圍是：；題型六：解三角形的應用題；例8、如圖,A,B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點,現位于A點北偏東,B點北偏西的D點有一艘輪船發出求救信號,位于B點南偏西且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達D點需要多長時間?解析：解:根據題意知海里,,,,在中,由正弦定理得,(海里),又,海里,在中,由余弦定理得所以，救援船到達D點需要1小時.例9、福州青運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為米〔如以以以下圖所示〕，則旗桿的高度為〔

〕米．B.C.20D.30分析：;在中：即：米；所以，在中，米例10、如圖，在中，點在邊上，,,,則的長為分析：在中：；由余弦定理可知：，解得：；例11、〔2013年高考新課標1〔理〕〕如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=eq\r(3),BC=1,P為△ABC內一點,∠BPC=90°(1)假設PB=eq\f(1,2),求PA;(2)假設∠APB=150°,求tan∠PBA

[解析：(1)由得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;(2)設∠PBA=,由得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化簡得,,∴=,∴=.例11、在中，，角A的角平分線AD交邊BC于點D，且AB=2，CD=2DB，求AD的長；解析：如圖：在中用正弦定理得：；在中用正弦定理得：；兩式聯立得：；；解得：；例12、在中，AB=2，,D是AC上一點，且AD=2CD，,求BD的