2024屆突破新高考數學圓錐曲線壓軸題精選精練第23講定點

問題

一.選擇題（共1小題）

1.已知圓C:f+）/=4，點夕為直線x+2），-9=0上一動點，過點?向圓C引兩條切線PA、

PB,A、B為切點、,則直線經過定點（）

4X24

A.B.C.（2,0）D.（9,0）

二.解答題（共18小題）

2.已知圓C的圓心坐標為。（3,0）,且該圓經過點4（0,4）.

（1）求圓C的標準方程；

（2）若點8也在圓。上，且弦長為8,求直線他的方程；

（3）直線/交圓C于M,N兩點，若直線AM,4V的斜率之積為2,求證：直線/過一個

定點，并求出該定點坐標.

3.已知橢圓。:「+二的離心率為包，點（2,也）在橢圓C上，點尸是橢圓C

b~2

的右焦點.

（1）求橢圓C的方.程；

（2）過點”的直線/與橢圓。交于M,N兩點，則在I軸上是否存在一點夕，使得x軸平

分NMPN?若存在,求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4.已知橢圓C:0十與=1（。＞人＞0）的離心率是迎，一個頂點是3（0,1）,點尸，Q是橢圓

a-b-2

C上異于點8的任意兩點，且BP1BQ.

（1）求橢圓C的方程；

（2）試問直線PQ是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

2

5.已知A,8分別為橢圓￡:二+）?=13＞0）的左，右頂點，G為E的上頂點，

AGGB=S.2為橢圓外一點，Q4與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D,且

（1）求橢圓E1的標準方程；

（2）證明：直線CO過定點.

2

6.已知拋物線C:f=20，（p>O）的焦點產與雙曲線（-/=1的一個焦點重合，。為直線

y=-2上的動點，過點。作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B.

（1）求拋物線C的方程；

（2）證明直線A8過定點.

7.已知橢圓C:二+4=13>>>0）過點（0,正）,離心率為由.

（1）求橢I員I。的方程：

（2）過點P（l』）分別作斜率為用、及的橢圓的動弦他、CD,設M、N分別為線段AB、

CD的中點，若仁+&=1，是否存在一個定點Q，使得其在直線MN上，若存在，求出

該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

8.已知左焦點為廣（-1,0）的橢圓過點仇1,半）.過點P（l,l）分別作斜率為4,網的橢圓的

動弦AB,CD,設M,N分別為線段AB,CD的中點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若Q為線段4?的中點，求￡：

（3）若《+&=1,求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標.

222

9.已知橢圓C:5+5=l（a>〃>0）,尸（—c,0）為其左焦點，點P（-土，0）,小A,分別

abc

為橢圓的左、右頂點，且1441=4,|修|=胃為4/L

（1）求橢圓c的方程；

（2）過點A作兩條射線分別與橢圓交于“、N兩點（均異干點入）..日A”IAN.訐明：

直線MN恒過X軸上的一個定點.

22

10.已知橢圓E:工+匯=1的左右頂點分別為A,4,點P為橢圓上異于A,4的任意一

32

點.

（I）求直線R4與尸8的斜率之積；

（H）過點Q（-日,0）作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于"，N兩點.證明：以MN為

直徑的圓恒過點A.

11.已知點A(-1,O),8(1,7),拋物線C:y2=4x,過點4的動直線/交拋物線C于M,P

兩點，直線MS交拋物線C于另一點Q,O為坐標原點.

(1)求。WOP；

(2)證明：直線PQ恒過定點.

12.已知點4(-1,0),8(1,7)和拋物線C:y2=4x,。為坐標原點，過點A的動直線/交拋

物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖

(1)證明：為定值；

(2)若APOM的面積為之,求向量0M與0P的夾角；

2

(3)證明直線PQ恒過一個定點.

13.已知拋物線「：)，2=2/?(〃>0)的焦點為尸，?是拋物線「上一點，且在第一象限，滿

足FP=(2,2而

(1)求拋物線「的方程；

(2)已知經過點43,-2)的直線交拋物線「于N兩點,經過定點以3,-6)和M的直線

與拋物線「交于另一點￡,問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明

理由.

14.已知直線)，=x-2與拋物線丁=2川相交于A,B兩點,滿足定點C(4,2),

。(-4,0),M是拋物線上一動點，設直線CM,DM與拋物線的另一個交點分別是E,F.

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：當M點在拋物線上變動時(只要點石、尸存在且不重合)，直線所恒過一個

定點；并求出這個定點的坐標.

15.已知直線/:y=2x與拋物線=交于A*.,以)、0(0,0)兩點，過點。與直線/

4

垂直的直線交拋物線C于點8(.%,外).如圖所示.

(1)求拋物線C的焦點坐標；

(2)求經過A、8兩點的直線與)，軸交點M的坐標；

(3)過拋物線)，=二丁的頂點任意作兩條G相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點A、

4

B的直線根是否恒過定點，如果是，指出此定點，并記明你的結論；如果不是，請說明理

16.過拋物線E:y2=2pMp>0)上一點M(l,-2)作直線交拋物線E于另一點N.

(I)若直線MN的斜率為1,求線段|MN|的長；

(II)不過點M的動直線/交拋物線E于4，"兩點，且以A3為直徑的圓經過點M,問

動直線/是否恒過定點.如果有求定點坐標，如果沒有請說明理由.

17.如圖所示，已知橢圓E:A十仁=1(〃的離心率為LE1的右焦點到直線y十1

a~b~2

的距離為6.

(1)求橢圓石的方程：

(2)設橢圓E的右頂點為A,不經過點A的直線/與橢圓石交于用，N兩點，且以MN為

直徑的圓過A,求證：直線/恒過定點，并求出此定點坐標.

18.已知橢圓匕/+3)，2=〃?2(〃?)0)的左頂點是人左焦點為尸，上頂點為反

(1)當A4&?的面積為丈二衛時，求機的值：

2

(2)若直線/交橢圓七于M,N兩點(不同于4),以線段為直徑的圓過A點，試探

究直線/是否過定點，若存在定點，求出這個定點的坐標，若不存在定點，請說明理由.

19.已知橢圓￡二+二=1的左右頂點分別為A、B,點尸為橢圓上異于A,8的任意一

32

點.

(I)求直線小與相的斜率乘積的值；

(H)設。(/,0)(/x/3),過點Q作與x軸不重合的任意直線交橢圓石于“，N兩點,則

是否存在實數/，使得以MV為直徑的圓恒過點4?若存在，求出/的值；若不存在，請說

明理由.

第23講定點問題

參考答案與試題解析

一.選擇題(共1小題)

1.已知圓。：/+9=4,點尸為直線工+2)，-9=0上一動點，過點?向圓6'引兩條切線44、

PB,A、3為切點，則直線A8經過定點()

4824

A.B.C.(2,0)D.(9,0)

【解答】解：因為夕是直線x+2)，-9=0的任一點，所以設尸(9-2以〃。，

因為圓/+丁=4的兩條切線尸A、PB,切點分別為A、B,

所以Q4_LQ4,OBtPB,

則點A、3在以OP為直徑的圓上，即是圓O和圓。的公共弦，

則圓心C的坐標是("也，-),且半徑的平方是產=(9-2團)2+1，

224

所以圓C的方程是“一吃網)2+。，—')2=(9-2⑼2+點,①

224

又/+),2=4,②，

②一①得，(2m-9)x-my+4=0,即公共弦A4所在的直線方程是：(2m-9)x-my+4=0,

BPwz(2x-y)+(-9x+4)=0,

由[2：-y=o得X」，g,

[-9X+4=099

所以直線他恒過定點g,1),

故選：A.

二.解答題(共18小題)

2.已知圓C的圓心坐標為C(3,0),且該圓經過點4(0,4).

(1)求圓C的標準方程；

(2)若點8也在圓。上，且弦長為8,求直線的方程；

(3)直線/交圓C于M,N兩點，若直線AM,4V的斜率之積為2,求證：直

線/過一個定點，并求出該定點坐標.

【解答】(1)解：設圓的標準為(工一3)2+)，2=/，把4(),4)代入得廠=5,

故圓的標準方程為(x-3)2+)?=25.

(2)解：①當直線AA的斜率不存在時，直線44的方程為x=0,此時弦44氏為8,符合

題意：

②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為)，=依+4,

聯立方程I1*”則(1+42)/_(6_必=0,

(x-3)-+=25

*匚?、?c/6-8Z4+6k—4A"

所以仇「不，一—；—),

\+k~1+匕

根據弦A8長為8,可得|AB|=J(殳當/+(4+6左：,43_*2=8,

V1+K\+k~

7

解得&=—五，所以直線的方程為7X+24)，-96=0,

綜上所述，直線的方程為x=0或十24,-96=0；

(3)證明：當直線/斜率不存在時，設M(a,b),N(a,-b),

?.,直線AM,AN的斜率之積為2,A(0,4),

.?.T.土1=2,即6=16—2/,

aa

.,點M(a,力在圓上，

「.(4一3了+〃=25,

從=16-2"

聯立無解，舍去,

(?-3)2+/?2=25

當直線/斜率存在時，設直線/:>="+/,M(x，kx}+t),N(a，kx2+t),

2

k.?k.=.+/4.公二/4=2=伏2—2).演工2+,《_4)(1+x2)+(r-4)=0①

y=/(X+t)))

聯立方程(3)22250(%+1)%~+(2/-6)工+廠-16=0,

一(2々-6)

.?.內+X?=

\+k2

代入①，得入2-2)(產-16)+(^-4k)(-2kt+6)+(f-4)2(1+玲=0,

化簡得2=￡+2,.?.直線/的方程為：y=(-+2)x+z,所以過定點(-6,-12).

66

3.已知橢圓C:二十二=1(〃>〃>0)的離心率為正，點(2,夜)在橢圓C上，點F是橢圓C

ab~2

的右焦點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點/的直線/與橫圓C交于N兩點，則在I軸上是否存在一點夕，使得x軸平

分NM8V?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

c=x/2

~a~~y

4?

【解答】解:(1)由題意得3+w=l,解得:a2=8,b2=4.

a'b~

a2=Z72+c2,

所以橢圓c的方程為二十￡=i.

84

(2)由題意可知直線/的斜率不為0,尸(2,0).

若直線/斜率存在，設直線/的方程為y=%(x-2)(2w0),M(X],M),N?,y2),

V￡

聯立(亞"+7='得(1+2-)/一8入+8公一8=0.

』二心-2),

由題意可知△>()恒成立，所以x+x,=*r，%蒼=登二.

■1+2K-1+2K

假設在x軸上存在一點P(f,0),使得x軸平分NMPN,則k,,M+%我=0，

所以-^―+▲—=0.所以y(w-，)+為(用一，)=0，

X)-rx2-t

所以A(x,-2)(X2—t)+k(x2—2)(義］—z)=0?所以2人/a—(/十2)(A,+)+4z=0,

2(8公一8)8k2(1+2)4?1+2F)=。，所以繇

所以=0,所以1=4.

1+2A21+2代1+2女2

若直線/斜率不存在時，則M,N兩點關于x軸對稱，當點尸坐標為(4,0)時，x軸平分

4MPN.

綜上所述，在％軸上存在一點P(4,0),使得x軸平分NA2N.

4.已知橢圓C：4+《=lS〉〃>0)的離心率是也，一個頂點是以0,1),點、P,。是橢圓

a~b~2

C上異于點"的任意兩點，旦8P_LBQ.

（1）求橢圓C的方程；

（2）試問直線尸。是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

b=\

cV2

【解答】解:（1）由題意得=解得。=1

a2

c=1

a2=b2+c2

所以橢圓方程為］+丁=|.

（2）由知直線BP,8Q的斜率存在且不為0.

y=H+1

設直線小尸的斜率為我,直線牝的方程為），=代+1,,得伏2+#+2履=().解

—+/=l

2

得＞0或―^7^

2

當x-2k以n.1—2/刖八,4A\-2k\

當時，y=-----7,即P(——--------),

,\+2k22k2+11+23

2

1

用-1代替人得0高AL？^k-7）

犬二2_1二2公

_公+21+2代_抬-1

于是直線產。的斜率勺。

4k4k3k

k2+2+2k2+\

直線上的方程為y-1京一〃2=￡k2-"1（"高41）'

整理得(F—l)x—&(3)，+1)=0,

當x=0,y=-g時，對任意的4,伏2-l）x-A（3y+1）=0恒成立,

所以直線PQ過定點

5.已知4,4分別為橢圓E:*~+）?=l（a＞。）的左，右頂點，G為E的上頂點,

AGGB=S.0為橢圓外一點，P4與E的另一交點為C,相與E的另一交點為。，且

k二1

%5

（1）求橢圓E的標準方程;

(2)證明：直線8過定點.

【解答】解：(1)由題意知G(O,1),A(—?0),8(。,0),

所以心63=31).(&-1)=/-1=8,

解得。=3,

故橢圓E的標準方程為不+),2口.

9'

訐明：(2)設直線C7)的方程為工=)+〃?，C(x，y)，O(.r2.y2).

聯立x0+m,消去丫得(J+9)9+2tmy+nr-9=0,

x+9)，=9

md七21mm2-9

則有凹+為二一型方乃"0,

所以(1-9)(y+y2)=-2切?y為，

即,歷=(9-癡心+#,

因為3卷=缶$=瓷=』

y

明+〃?+3=ySt+5-3)=+(〃[-3)乂=(9-川)(y+%)+2〃?(，〃-3)y

乃先(供+加+3)再)，2+(〃?+3)%(9-nr)(.yt+y2)+2m(m+3)y,

As+〃?一3

(〃?-3)[2"x-(〃?+3)(y+%)]=(〃L3)(2刀。一刀S一3y一，股？一3y2)

。〃+3)[2my,-(m-3)(y(+y2)](m+3)(2my2-myx+3v,-my2+3y2)

3-in_1

"i+32

解得m-\,

所以直線C￡>的方程為x=(y+l,

故直線CO過定點(1,0).

6.已知拋物線。:/=20，(〃>0)的焦點尸與雙曲線5-寸=1的一個焦點重合，。為直線

)，=-2上的動點,過點。作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,R.

(1)求拋物線。的方程；

(2)證明直線/W過定點.

2

【解答】解:(1)由題意可得雙曲線二一爐=1的焦點為(0,-2),(0,2),

3

即有拋物線的焦點產(0,2),

則2=2n/?=4，

2

所以拋物線。的方程為：x2=8y；

(2)證明：設0(%,-2),設切線方程為y+2=《-%)，聯立丁=8)，得：

X2-8米+8線+16=0...①，

由A=0=>64女2-4(8h0+16)=0=>2k~—kx{i-2=0.

設兩條切線的斜率分別為K,則K+&吟，4*=-1，

由①知等根為戶軟，故設A(4用,2好)，8(4*2公)，則"二或=全吆=①，

--%-4K24

所以直線”的方程為：.P-2&；-4幻，

化簡得)=.工_仁毛+2父=今工_仁(2仁+2&)+26=.工-2攵/2=,工+2.

所以直線45過定點(0,2).

7.已知橢圓C:二十答=19">0)過點(0,忘)，離心率為近.

a~Zr3

(1)求橢圓。的方程：

(2)過點尸(1,1)分別作斜率為仁、心的橢圓的動弦他、CD,設M、N分別為線段AB、

C。的中點，若占+&=1，是否存在一個定點Q，使得其在直線MN上，若存在，求出

該定點的坐標：若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)?.,橢圓C:二+4=1(。>)>0)過點(0,血)，離心率為@.

CTD3

b=42

...?￡=,解得a=\/3?h=yp2>

a3

a2=b2+c2

橢圓C的方程為工十二=1.

32

(2)由題意得人工人2，設M(x.”，〉%)，直線AB的方程為y―]=&(x—l),即y=k/+k?,

代入橢圓方程并化簡，得：（2+3公）/+6用女/+3&2-6=0,

-3k網,2k2

2+34，3?a/~2-3k;

-3k&2kx

同理,2+34，yN~2+3C

直線MV的方程為），-——9k&X~2+3k；

I4I

10—6g2

0即I1y=------x—

-9k&3

此時直線過定點（0,-|）,

0

當"2=。時，宜線MN即為），軸，此時也過點（0,

綜上，直線用N恒過定點，且定點坐標為（0,-W）.

3

8.已知左焦點為廣（-1,0）的橢圓過點頊1,平）.過點P（l』）分別作斜率為L，心的橢圓的

動弦/W,CD,設M,N分別為線段例,CO的中點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若尸為線段AA的中點，求人；

（3）若｛+他=1,求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標.

【解答】（1）解：由題意c=l,且右焦點廠（1,0）

;.2a=EF+EF=26,b1=a2-c2=2

.??所求橢圓方程為三+上=1;

32

（2）解：設A（玉，yj,B（X2,%），則

②-①，可得J=_2（二+%）=_2；

工2一X13（%+兇）3

（3）證明：由題意，k產k?,

設M（x“，yM）,直線"的方程為），一I=4。一1）,即），=勺1+內,

代入橢圓方程并化簡得（2+34）x2+6k&x+3k；-6=0

一3"22kz

?…=二皆’％=不

同理“瑞”會

當時，直線MN的斜率k=加一“=1()―6人/

XM~XN一92#2

直線MN的方程為)，-為=與詈-栽)

10-6^^_2

"—9k*23

此時直線過定點(0,-|)

7

當3=0時，直線MM即為)，軸，此時亦過點(0,-令

7

綜上，直線股N恒過定點，且坐標為(0,-士).

3

r222

9.已知橢圓C：F+==1S＞力＞0),尸(-c,0)為其左焦點，點P(-一，0),A，A,分別

abc

為橢圓的左、右頂點，且iAA/=4,|2上手14用?

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點A作兩條射線分別與橢圓交于“、N兩點(均異于點A),且AM_L/\N,證明:

直線VN恒過x軸上的一個定點.

【解答】（1）解：,|4典|=4,.?.〃=2,

T7InAI_2GIAr,./_2G

乂I，A1=cIA尸I，-----a=——（a—c）,

3c3

整理得？咨，cS

則b2=a2-c2=1.

.??橢圓C的方程為上+產=1；

4

(2)證明；由已知直線與y軸不垂直，假設其過定點丁(〃,0),設其方程為人--〃療十〃，

x=my+a

22

聯立x,，得（“I?4-4）y+2mnv+/-4=0.

—+y=1

4-

2mn

設M(X|，yj,N(X2,1y2)，則)1+%=一

/.X]+x2=m（yt+y2）+2〃.xyx2=（〃叫+n）（my2+n）=yj、+〃"?（，1+）‘2）+〃二

AM~LA%，AM,AN=（八]+2,乂）?々+2,%）二°?

/.%毛+2(x+W)+4+yy?=0,

2

/.(m+1)y\y2+〃?(〃+2)(y+%)+(〃+2/=0.

2

pn(病+1)(/?+2)(〃-2)znm(n+2)2

m2+4ZW2+4

化簡得：(〃+2)(5〃+6)=0,

若〃=-2,則7與A重合,不合題意，

「.〃+2W0,

整理得

5

綜上，直線MN過定點了

29

10.已知橢圓E:二+上=1的左右頂點分別為A,點尸為橢圓上異于A,“的任意一

32

點.

(I)求直線R4與尸8的斜率之積；

(II)過點Q(-等,0)作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M,N兩點.證明：以MN為

直徑的圓恒過點A.

【解答】解：(I)4-G,0),B(G,0).設點P(x,y)()w0),

22

則有工+工=1,

32

即),2=2(1_三)=13_玲，

9

2-(3-X2)0

.k-k______2__^__3________二

P*f_3—八3-3,

(II)證明：設用(用，y),N(X2,y2),

?.MN與x軸不重合，

.??設直線LN：X="-第(YR),

[…且

由，"一"5化簡得，

2X2+3/-6=0

/2…4>/3144八

(2廣+3)y------ty-----=0；

5-25

…二段,

由題意可知成立且，

144

＞，＞22r+3

AM?AN=(x)+G,y\)(x2+瓜y2)=(t)\++XM

/2八4行/\48

=(廠+1))1%+—^(yi+J)+—；

?J24J

43

將,21+3代入上式并化簡得,

144

yV—=

-1522/+3

1442144482

xxr―石廠一石+石廠48482Z2+348八

AM-AN=——----~——+—=------x———+—=0.

2r+325252t2+325

：.AMLAN,即以MN為直徑的圓恒過點A.

11.已知點A(-1,O),5(1-1),拋物線。：產二好，過點A的動直線/交拋物線C于M,P

兩點，直線歷8交拋物線C于另一點Q,O為坐標原點.

(1)求OMOP；

(2)證明：直線PQ恒過定點.

【解答】解：(1)設點M($,)[),P(x2,y2),由題意，設直線=

由《，'得廠-4zny-4=0,

y=4x

△=16/?r-16>0,/.w2>1,又)1%=4，

?-OMOP=x,x2+x%=空)+3iy2=l+4=5.

2

(2)證明：設Q(?,%),直線3Q的斜率為心°,直線0M的斜率為壇…直線PQ的斜

率為攵股，

M,B,Q三點共線，.」即二為必，

，與上午冬，即甲L，，

尤_豈斤-4y+M

444

??(%+DC*+/)=N—4,即y,.Vj+.v,+弘+4=0,

444

）'跖=4，?.?,=—，為+―+兄+4=°，

必以力

即4（y2+%）+y2y3+4=0（*）,

,,一%一-一4

.Kk/，Q_22一，

為+兄

44

二直線PQ的方程是y-K=」一（X-4），即（y-%）（K+%）=4x-y；，

'H+K4

???）。2+，3）-%必="

由（*）式可知,-%必=4（力+%）+4代入上式，得（y+4X為+%）—，

令”3解得匕1

x-I=0[y=-4

.??直線PQ恒過定點（1,-4）.

12.已知點4-1,0）,和拋物線C:y2=4x,O為坐標原點，過點4的動直線/交拋

物線C于M、產，直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖

（I）證明：OM?OQ為定值；

（2）若APOM的面積為*,求向量OM與OP的夾角;

2

（3）證明直線。。恒過一個定點.

"AM=kpM?即—=e一十

A+i工_&

444

，,y%=4，…（2分）

川+4)1+%

22

OM?OP="2-+y)，,=5.…(5分)

44

(〃)解：設NPOM=a,則IOMMOP卜cosa=5,

,/SyoM=T，-'IOM|?|OP卜sina=5,

/.(ana=l....(8分)

又。￡(0,乃)，/.aG(0,^-),/.a=45。，

CM與。戶的夾角為45。.…（10分）

（IH）證明：設點。（4-,為），?./“、B、Q三點共線，.?4即=七“，

.>3_.）3+1二1

■+[一城必？，一^-廠）']+為，

444

「?(/+D(y+%)=>32-4,即x%+)1+%+4=(),

444

?y%=4，y=—，???一?%+—+%+4=o

,'2約)’2

即4（%+%）+y2y3+4=。，（*）...（12分）

y2f二4

yL_yL%+y

44

二直線PQ的方程是y-y,=」一（X-應）,

"必+為4

即（丁一%）（%+%）=44一為2，

即〉'（為+%）一）’2）’3=4工，

由（*）式，-必為=4（匕+%）+4，

代入上式，得（y+4）（y+為）=4。-1）,

，直線PQ過定點E（l,-4）.

13.已知拋物線「：），2=2/”（〃>0）的焦點為尸，〃是拋物線「上一一點，且在第一象限，滿

足FP=（2,26）

（1）求拋物線「的方程；

（2）已知經過點A（3,-2）的直線交拋物線「于M,N兩點，經過定點以3,-6）和M的直線

與拋物線「交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明

理由.

【解答】解:（1）由拋物線的方程可得焦點F或,0）,滿足“=（2,2肉的尸的坐標為（2+宙,

275）,，在拋物線上，

所以（2G）2=2p（2+“），即p2+4p-12=0,〃>（）,解得〃=2,所以拋物線的方程為:

2

=4x；

(2)設M(%),%),Ngy),L(X2,>2)，則犬=4'，yl=4x2,

直線MN的斜率用川=上二冬=,

司一%匯一為X+Jo

4

則直線MN的方程為：(x-瓦)，即y=4")'。/①,

y+K4'為+y

同理可得直線ML的方程整理可得y=.+)'。*②,

%+%

,2二12+..

將43,-2),以3,-6)分別代入①，②的方程可得10+y,消比可得yy,=12,

—6」2+.'6

%+%

易知直線3z=」一，則直線NL的方程為：y-y=」一(、-江)，

X+為y+K4

4y.y,412

即nn,=-----x+—'-2-,故尸-------x+----------,

y+為y+%y+%y+力

4

所以y=---------(X+3),

因此直線NL恒過定點(-3,0).

14.已知直線)，=”一2與拋物線丁=2/"相交于A,8兩點，滿足。4_LQA.定點C(4,2),

。(-4,0),M是拋物線上動點，設直線CW,ZW與拋物線的另個交點分別是石，F.

(1)求拋物線的方程：

(2)求證：當M點在拋物線上變動時(只要點￡、戶存在且不重合)，直線所恒過一個

定點；并求出這個定點的坐標.

【解答】解：(1)設A(X],片)，B(X2,y2),

聯立，，一，整理可得：y2-2py-4p=0,

y-=2px

所以可得)1+y2=2P，＞\%=T，，

進而可得與毛=)1%+2(%+%)+4=-4〃+2X2〃+4=4,

由。4_1_(用，可得：OAOB=0,

即4—4p=0,可得〃=I,

所以拋物線的方程為：V=2x；

(2)證明：設M吟，％),七耳，>>,),用>%),

由C,M,石三點表線可得，)「。，二即」一二R",

v_4y+兄兄-8

222

整理可得：=2(.y0+y)-8,

所以乂=立R,

>o-2

同理可得。，M,尸三點共線，3s=—,

->0

所以直線即的方程：y—y=(x-x,)=——(x-x.),

22

整理可得：y\y2=y(Vj+y2)-2.r,

將力，%的值代入直線方程可得：⑵-2y)y；+4(4-x)+8(2.v-8)=0,

x-y=()

所以,4-x=0解得：x=y=4,

2>'-8=0

所以直線￡尸過定點(4,4).

15.己知直線/:y=2x與拋物線C:y=4x2交于A(s,yA)>0(0,0)兩點，過點O與直線/

4

垂直的直線交拋物線C于點8(4，力)?如圖所示.

(I)求拋物線C的焦點坐標；

(2)求經過4、4兩點的直線與)，軸交點M的坐標：

(3)過拋物線)，=!/的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點4、

4

B的直線是否恒過定點，如果是，指出此定點，并證明你的結論：如果不是，請說明理

由.

【解答】解：（1）拋物線Uy=2/的方程化為V=4y,

4

2/?=4,“=2....（2分）

.??拋物線C的焦點坐標為（0.1）.…（4分）

」2

＞，=

（2）聯立方程組＜4r＞解得點A坐標為（8,16）.…（6分）

y=2x

聯立方程組\,解得點A坐標為（-2,1）.…（7分）

-X

2

所以直線的方程為），-1=上二L.Q+2）,…（8分）

8-（-2）

令x=0,解得y=4.

.??點M的坐標為（0,4）.…（9分）

（3）結論：過拋物線的頂點任意作兩條互相垂直的直線,

過這兩條直線與拋物線的交點的直線回恒過定點（0,4）.…（10分）

證明如下:

設過拋物線v=19的頂點的一條直線為），=履（攵工0）,

4

則另一條為y=—x

k

lr2

4

聯立方程組，解得點A坐標為（軟，軟2）.…（11分）

——X

1

2

=-X

44

A

聯立方程組1/）.…分）

---。

4

川4

44A-774

所以直線AB的方程為y----------J?(x+3，…(13分)

《必―(一》女

令R=0,解得y=4.

二直線AS恒過定點(0,4).…(14分)

16.過拋物線E:y2=2px(p>0)上一點〃(1,-2)作直線交拋物線E于另一點N.

(I)若直線MV的斜率為1,求線段|MN|的K;

(II)不過點M的動直線/交拋物線E于A,5兩點，且以為直徑的圓經過點問

動直線/是否恒過定點.如果有求定點坐標，如果沒有請說明理由.

【解答】解：(I)把“點的坐標代入拋物線E：V=2*(〃>0)可得〃=2,

所以拋物線的方程為：丁=4.1,

由題意可得直線MN的方程為：)，+2=x-l,即y=x-3,

與拋物線聯立整理可得：x2-10x+9=0,解得：x=l或x=9,可得交點(1,-2)

y=4x

或(9,6),

所以|MN|=J(9-1尸+(6+2)2=g五.

(II)設直線/為：x=ky+m,A5,y\),B(x2,y2),

聯立直線與拋物線的方程：整理可得：丁-4卜，-4加=0,

y~=4x''

△=16公+16機>0,即&2+/〃>o,

)1+%=4%，%為二-4〃？，

因為所以M4?M8=0,

(A|-1,y+2)(X2-1,必+2)=0，

2

整理可得：(1+公)力必+(b〃一女+2)(7+y2)+m-2m+5=0,

整理可得："『一6〃?一442+82+5=0,

即(加一3)2=4(&-1)2,

帆=2攵+1,可得A2+24+1>0不是恒成立，或利二-2左+5(符合△>()),

所以直線/為：工=妙一24+5,

即x-5=A(y-2),直線恒過點(5,2).

fv21

17.如圖所示，已知橢圓￡:=+4=1(〃>。>。)的離心率為上，石的右焦點到直線y=x+l

a~b~2

的距離為也.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設橢圓E的右頂點為A,不經過點4的直線/與橢圓石交于例，N兩點，且以MN為

直徑的圓過A,求證：直線/恒過定點，并求出此定點坐標.

2211

【解答】解：（1）?.?橢圓E:二+與=1的離心率為L.?.￡,，即a=2c.…（2分）

a2b12al

:橢圓石的右焦點（c,0）到直線l:y=x+\的距離為V2.

:.?C,\=yf2,/.c=1.…(4分)

解得仁2,又。i—3故橢圓E的方程為^^1.…（5分）

（2）由題意可知，直線/的斜率為0時，不合題意,

不妨設直線I的方程為x=/期+，

x=my+1

由,x'yj消去A-得(3機2+4)/+Gmty+3r-1