AnIntroductiontoManagementScience,16e第十三章、決策分析章節內容13-1 問題的構建13-2 未知概率的決策13-3 已知概率的決策13-4 風險分析與靈敏度分析13-5 有樣本信息的決策分析13-6 用貝葉斯定理計算分支概率13-7 效用理論

本章小結章節目標(1/2)完成本章后，你將能夠:LO13.1 用支付表來分析決策面臨的問題，并用備選方案、隨機事件和隨機事件所產生的結果描述問題狀況LO13.2 根據各選方案、隨機事件和隨機事件所產生的結果，為問題情境構建決策樹LO13.3 構建風險組合并解釋其含義LO13.4 使用靈敏度分析來研究問題輸入的變化如何影響或改變推薦的決策LO13.5 評估額外信息的潛在價值章節目標(2/2)LO13.6 使用新信息和修正概率的決策分析方法推薦解決問題的方案LO13.7 評估額外決策信息的價值和效率LO13.8 使用貝葉斯定理計算后驗概率LO13.9 使用效用理論分析決策者是風險規避者、風險偏好者還是風險中性者LO13.10 將貨幣支付值轉為效用值，會使用指數效用函數介紹當決策者面臨多個備選方案，且未來事件具有不確定性或充滿風險時，決策者可利用決策分析得到一最優策略。即使非常小心地進行決策分析，不確定的未來事件還是會導致最終結果的不確定性.任何一個決策方案的風險都是由最終結果的不確定性產生的。一個好的決策分析包含了風險分析。通過風險分析，決策者既能得知好結果出現的概率信息，又能得知壞結果出現的概率信息。我們從考慮涉及較少的決策方案和較少的可能的未來事件的問題入手，來開始學習決策分析。我們引入影響圖和支付矩陣作為決策問題的分析工具，進而闡明決策分析的基本原理。我們還引入了決策樹用于分析夏雜的問題并做出最優決策順序，即最優決策戰略。靈敏度分析顯示問題在不同方面的變化如何影響決策方案的選擇。13-1匹茲堡發展有限公司：問題的構建決策問題的特征包括決策備選方案、自然狀態和由此產生的收益：決策備選方案是決策者可以采用的可能策略。不確定的未來事件被稱為隨機事件。自然狀態被定義為相互排斥且共同窮盡的，是機會事件的唯一結果。收益是由每個決策方案和每個隨機事件所產生的結果。讓我們先考慮匹茲堡發展有限公司（PDC）的建筑項目。PDC購買了一塊土地用于建造新的豪華公寓樓群。從該地點可以看到匹茲堡市區和金三角的壯觀景色。PDC已委托制定了三個不同項目的建筑草圖，這三個項目分別有30棟樓、60棟樓和90棟樓。項目在收入上的成功取決于樓群的大小和與樓房需求相關的隨機事件。因而，PDC的決策問題表述為，在給定樓房需求的不確定性的情況下，選定一個能夠帶來最大利潤的新豪華樓群項目規模。13-1匹茲堡發展有限公司：影響圖PDC有以下三個決策方案：d1=一個有30棟樓的小型樓群d2=一個有60棟樓的中型樓群d3=一個有90棟樓的大型樓群在PDC的問題中，樓房需求這一隨機事件有兩種自然狀態：s1=樓房的強需求s2=樓房的弱需求影響圖是一種描述決策、隨機事件和決策問題的結果之的關系的圖表工具。在影響圖中，節點被用來表示決策、隨機事件和決策結果。矩形或正方形被用來描述決策節點圓形或橢圓被用來描述機會節點菱形被用來描述結果節點連接節點的線路被稱作弧，表示節點相互影響的方向13-1匹茲堡發展有限公司：支付矩陣在決策分析中，我們將由某一決策方案和某一自然狀態的特定組合產生的結果稱為支付。描述決策方案和自然狀態的所有組合的支付的表格就是支付矩陣。支付可以用利潤、成本、時間、距離或任何其他適合于所分析決策問題的指標來表示。因為PDC想要選擇一個能夠產生最大利潤的樓群規模，所以利潤就是結果。右表是一個以百萬美元為單位的顯示利潤的支付矩陣。例如，如果建造中型樓群，且有強需求，那將會實現1400萬美元的利潤。我們用符號Vij表示與決策方案i和自然狀態j相對的支付。V31=20表示如果決策是建造大型樓群（d3）且自然狀態是強需求（s1），那么將產生2000萬美元的利潤。V32=-9表示如果決策是建造大型樓群（d3）且出現的是弱需求（s2）的自然狀態，那么將損失900萬美元。13-1匹茲堡發展有限公司：決策樹決策樹是決策過程的一種圖形表示方法,決策樹顯示了隨著時間的推移而發生的自然或邏輯進程。每個決策樹有兩種類型的節點：方框用來表示決策節點圓圈用來表示機會節點右圖的決策樹有4個節點，分別編為1、2、3、4。因此，節點1是一個決策節點，而節點2、3和4是機會節點。分支連接了不同的節點，從決策節點生出的分支對應于決策方案，即決策支。從每個機會節點生出的分支對應于自然狀態，即機會支。支付顯示在自然狀態支的后面。例如，頂端的支付8表示如果PDC建造了一個小型樓群（d1），且是強需求（s1），那么將會得到一個800萬美元的利潤。13.2未知概率的決策樂觀法樂觀法根據決策方案所能帶來的最大支付來評價每個決策方案。該決策方法推薦的決策方案也必然是可能帶來最大支付的方案。在一個追求最大化利潤的問題中（如PDC題），樂觀法會使決策者選擇最大利潤所對應的決策方案。對于最小化問題，樂觀法會使決策者選擇最小支付所對應的決策方案。悲觀法悲觀法根據決策方案產生的最壞支付來評價每一個決策方案。該決策方法推薦的決策方案是能帶來最壞支付中最好的支付的那個方案。對于用利潤衡量結果的問題（如PDC問題），悲觀法將使決策者選擇能最大化最小利潤的決策方案。對于最小化問題，悲觀法確認的決策方案是能最小化最大支付的方案。13-2最小化最大后悔值法

通過使用后悔值公式和支付矩陣，我們可以計算每個決策方案di和自然狀態sj組合相關的后悔值。因為PDC問題是一個最大化問題，所以Vj*是支付矩陣中第j列中最大的一項。因此，要計算后悔值，我們只需簡單地用每列中最大的一項減去該列中的每一項。最小化最大后悔值法選擇產生最大后悔值中最小的決策方案。因此，對于PDC問題來說，d2

是最佳選擇。13-3已知概率的決策

13-3期望值法

然后在每一個機會節點上，我們用發生的概率對每一個可能的支付進行加權求和。這樣，我們就得到了節點2、3和4的期望值。因為決策者控制著從決策節點1發出的分支，并且希望獲得最大的期望利潤，因此節點1處最優的決策方案是d3。13-3完美信息的期望值

13-4風險分析決策方案的風險組合顯示了某決策方案可能的支付以及相關的概率。利用期望值法，我們得出大型樓群（d3）為最優決策方案。方案d3的期望值1420萬美元是基于有0.8的概率獲利2000萬美元以及有0.2的概率損失900萬美元而得到的。有0.8的概率產生2000萬美元的支付和有0.2的概率產生-900萬美元的支付，這就是大型樓群決策方案的風險組合。有時候評估與最優決策方案相關的風險組合可能會使決策者選擇其他的決策方案，即使那個決策方案的期望值并不十分理想。例如，中型樓群決策方案（d2）的風險組合是0.8的概率產生1400萬美元的支付和0.2的概率產生500萬美元的支付。13-4匹茲堡發展有限公司：靈敏度分析靈敏度分析可用來確定以下的變化是如何影響所推薦的決策方案的:自然狀態概率的變化支付的變化如果一個輸入值的微小變化都引起了推薦方案的改變，那么這一決策分問題的解決方案對那個特定的輸入值是敏感的。因此，對這個特定的輸入值，就需要花費額外的努力和精力來確保它的準確性。如果一個輸入值的較大變化都不能對推薦方案產生改變，那么這一決策分析問題的解決方案對那個特定輸入值是不敏感的，我們也就不需要花費額外的時間和精力在它上面。

13-4靈敏度圖解法分析

13-5有樣本信息的決策分析通常，決策者會對自然狀態的概率做出先驗概率估計，而這種估計在當時是能夠獲取到的概率信息的最佳值。為了盡可能地做出最優的決策，決策者也許會想搜尋更多關于自然狀態的信息。這些新信息能被用來修正或更新先驗概率，這樣，最終決策的制定就能依賴更準確的自然狀態的概率信息。大多數情況下，人們設計試驗來獲取關于自然狀態的樣本信息，這樣試驗者能夠獲得一些額外信息。修正或更新自然狀態的概率被稱為后驗概率。讓我們回到PDC問題，假設管理者正考慮一個長達6個月的市場調研，這個市場調研是為了深入了解PDC樓群項目的潛在市場的接受情況。管理者預料到這個市場調研會產生以下兩種結果：（1）有利報告：被調查的很大一部分人對購買PDC樓群感興趣。（2）不利報告：在被調查者中，只有很少一部分人表示對PDC樓群感興趣。13-5有樣本信息問題的影響圖擴展后的PDC問題的影響圖如右圖所示。注意，兩個決策節點分別對應于調研以及樓群規模決策。兩個機會節點分別對應于調研的結果以及樓群的需求。最后，結果節點是利潤。從影響圖的弧可以看到，需求影響了調研的結果和利潤。從調研決策節點到樓群規模決策節點的弧顯示，調研決策先于樓群規模決策。從調研決策節點到調研結果節點之間沒有弧，那是因為實施調研的決策實際上并不影響調研的結果。實施調研的決策會產生調研的結果，但并不對它產生影響。最后，樓群規模節點和需求節點都影響利潤。13-5有樣本信息問題的決策樹PDC的管理者必須先決定是否開展市場調研。如果決定開展，若市場研究報告是有利的，則PDC的管理者必須準備一個關于樓群項目規模的決策；若市場研究報告是不利的，還應再準備一個不同的關于樓群項目規模的決策。這里有四個決策節點：節點1、3、4和5：節點1顯示PDC必須首先做出是否開展市場調研的決策。節點3表示在有利報告的情況下，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。節點4表示如果市場報告不利的話，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。節點5表示在沒有開展調研的情況下，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。其余節點都是機會節點。機會節點2表示不管是有利報告分支還是不利報告分支都是隨機產生的。節點6～14是機會節點，表明強需求或弱需求的自然狀態分支都將隨機決定。13-5決策樹分析

13-5決策策略：機會節點期望值決策策略是一系列的決策以及機會結果，其中選擇的決策取決于隨機事件的結果。在決策樹中，按照以下步驟，用反推法來確定最優的決策策略：在機會節點上，將每一分支末端的支付與對應的分支概率相乘再相加得到期望值。在決策節點上，選擇導致最優期望值的決策分支。這個期望值就是決策節點上的期望值。根據反推法，先計算機會節點6～14的期望值，結果如右圖所示。13-5決策策略：決定節點期望值對于決策節點3、4和5，我們都選擇能產生最優期望值的決策方案分支。例如，對于節點3，EV(d3)=18.26，這大于EV(d1)和EV(d2)的值。

13-5有樣本信息的問題：決策策略PDC的最優決策是開展市場調研，然后執行下列決策策略：如果市場調查報告是有利的，則建造大型樓群。如果市場調查報告是不利的，則建造中型樓群。PDC決策樹分析描述了可用來分析更復雜的有序決策問題的方法。13-5有樣本信息的問題：風險預測

通過實施最優決策策略，PDC將得到決策樹分支末端上顯示的四個支付中的一個。因此，要構造最優決策策略的風險組合，我們需要計算這四種支付的概率。13-5有樣本信息的期望值

13-6用貝葉斯定理計算分支概率在這一節中，我們將介紹如何用貝葉斯定理計算決策樹的分支概率。右圖再次顯示了PDC決策樹。設：市場研究指標：F=有利報告U=不利報告市場需求（自然狀態）:s1=強需求s2=弱需求

我們需要知道以下節點的分支概率：節點2: P(F) 和

P(U)節點6-8: P(s1|F) 和

P(s2|F)節點9-11: P(s1|U) 和

P(s2|U)節點12-14: P(s1) 和

P(s2)P(s1|F),P(s2|F),P(s1|U),和P(s2|U)被稱為后驗概率，因為它們是基于樣本信息結果的條件概率。如前所述，P(s1)andP(s2)是在未進行市場研究的情況下，兩個自然狀態s1

和

s2

的先驗概率。13-6計算后驗概率要計算后驗概率，我們必須知道每種自然狀態下市場研究結果（樣本信息）的條件概率。這些條件概率可以通過歷史市場研究報告的頻率來估計，這些報告是在觀察到特定需求的情況下獲得的。在PDC問題中，我們假設可用于這些條件概率的評估如下：注意，如果需求結果是強的，有利市場報告的概率會高得多；而在不利市場報告的情況下，情況正好相反。為了計算后驗概率，我們可以按照以下步驟進行：步驟1：對于每種自然狀態，將先驗概率與其條件概率相乘。這將給出自然狀態和指標的聯合概率。步驟2：將所有狀態的聯合概率相加。這將給出指標的邊際概率。步驟3：對于每種自然狀態，將其聯合概率除以指標的邊際概率。這將得到后驗概率分布。13-6貝葉斯定理的應用當我們應用上述步驟時，得到了以下后驗概率：

13-7效用理論效用理論可以使決策者能通過考慮一些無形的因素，比如風險或其他非貨幣性指標，評估備選方案。效用是對特定結果的總價值或喜好程度的一種度量，它反映了決策者對利潤、損失和風險等的態度。一家小型的不動產投資公司Swofford現在有兩個投資成本基本相同的投資機會，必要的現金需求使得Swofford在同一時間最多只能做一項投資。有三個可以考慮的可能的決策方案，

d1,d2,和d3：d1=投資A項目d2=投資B項目d3=均不投資與投資機會相關的貨幣支付依賴于做出的投資決策和接下來6個月不動產市場的價格走勢（機會事件）。不動產的價格可能會上升、不變或者下降。將自然狀態設為s1、s2、s3：s1=不動產價格上升s2=不動產價格不變s3=不動產價格下降利用可得到的最優信息，Swofford估計了關于每一種決策在不同自然狀態下的利潤（支付）。支付結果如下表所示（單位：美元）：13-7Swofford投資公司：期望值法

實際上，Swofford現在的財務狀況是脆弱的，這樣的經濟條件體現在Swofford的能力只允許它做一項投資項目。然而，更重要的是，公司總經理認為如果下一項投資給公司帶來巨大的損失，那么公司將會處于非常危險的境地。盡管最大期望值的方法推薦了決策方案d1，我們懷疑公司總經理為了避免一次性損失50000美元而選擇方案d2或d3。事實上，根據公司現在的財務現狀，即使30000美元的損失也會使Swofford破產。為此，考慮到項目A和項目B相對公司現在的財務狀況來說風險較大，總經理也許會選擇項目d3

。13-7Swofford投資公司：計算效用值我們為Swofford每一種支付結果建立效用的過程首先是為最好和最差的支付結果分配一個效用值，只要最好方案的效用值大于最差方案的效用值即可:-50000美元的效用=U（-50000）=050000美元的效用=U（50000）=10考慮為30000美元的支付建立一個效用。首先我們讓Swofford的總經理在以下兩個情境中做一個選擇：一個是獲得30000美元的支付，另一個是參加概率為p的賭博。在賭博事件中，Swofford有p的概率獲得50000美元的支付，有（1-p）的概率獲得-50000美元的支付。假設當p=0.95時，Swofford的總經理相對于獲得30000美元的支付和賭博的意愿是無差異的。

13-7Swofford投資公司：期望效用利用上述方法，我們為剩下的Swofford的支付結果計算了效用，如下表所示：現在，我們為每一個可能的貨幣價值計算了效用值，我們可以用效用的形式寫出支付表。在效用表中我們引入符號Uij

，代表di決策在sj情況下的效用。

最優決策13-7Swofford投資公司：決策分析盡管投資A項目有最高的期望收益9000美元，但分析人員預測Swofford會放棄這些投資。不選擇投資A項目的依據是，50000美元的損失對于Swofford的總經理來講是個很大的風險。風險的嚴重性及其對于公司的影響，在投資A項目的期望值中并沒有充分地體現出來。我們為每一個支付結果分配了效用值來更充分地評價這種風險。接下來的步驟，是用于解決類似Swofford投資問題的一般辦法:

利用不同自然狀態發生的概率，P(s1)=0.3,P(s2)=0.5,P(s3)=0.2，每一個決策的期望效用是：分析結果推薦了期望效用最高的B項目。這個投資的期望值是-1000美元13-7風險偏好者