《高等數學（經濟類）下冊 第2版》課件 8-3 平面及其方程_第1頁
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第八章向量代數與

空間解析幾何第三節平面及其方程一、平面的方程二、兩平面的夾角三、小結一、平面的方程1.平面的點法式方程①設一平面

通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面

的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故例1已知一平面以

為法向量，且該平面過

點

，寫出該平面的方程.解由平面的點法式方程，我們可得該平面的方程為化簡得2、平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.例2求過點

的平面方程解設平面的方程為得解得代回方程化簡得到平面方程為由題意，將三點的坐標分別代入所設方程中例3設空間坐標系內一平面與三坐標軸都相交，其交點

坐標分別為

求滿足條件的平面方程.解設平面方程為解得代入方程并整理得稱為平面的截距式方程，將三點代入方程，得其中

稱為平面在軸，軸和軸上的截距.特殊情形?當

D=0時,

Ax+By+Cz=0表示通過原點的平面；?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量；平面平行于x

軸；?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于y

軸的平面；平行于z

軸的平面；平行于xoy

面的平面；平行于

yoz

面的平面；平行于xoz

面的平面.例4

求過

軸及點的平面方程.解故假設所求平面方程為又該平面過點代入方程得化簡得平面方程為由題意知平面過軸，二、兩平面的夾角設平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結論：例5求平面

與各坐標平面的夾角的余弦.解面的法向量可以取作平面

與坐標面

的夾角

的余弦為同理可得該平面與另外兩個坐標面夾角的余弦都是例6一平面過點

，且平行于向量

和

，求該平面的方程.解由題意可知，所求平面的法向量與都垂直所以該平面又過點由點法式得平面方程為即例7

求平面

外一點

到平面的距離.解

過點

做平面的法向量在平面內取一點所求距離得到點到平面的距離公式代入例8

求點到平面的距離.解由

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