專題02函數(shù)與導數(shù)（新定義）

一、單選題

1.（2023?河南?洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)

學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則>=因稱為“高

斯函數(shù)”，例如：[-2.5卜-3,[2刀=2.已知函數(shù)〃同="\,則函數(shù)[〃切的值域是（）

A.{-1,1}B.{-1,0}C.（-1,1）D.（-1,0）

2.（2019秋?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考階段練習）在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有下列性質(zhì)：

①對任意R,a*b=b*a；

②對任意QCR,a*0=a；

③對任意a,bwR,(Q*b)*c=c*(")+(a*c)+(b*c)—2c.

則函數(shù)〃*=/與犬?-2,2])的值域是()

「9]「9

A.(-oo,5)B,--,5C.-,+<?D.[-5,5]

o

a\b<c\d

3.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預測)設xVy=x+y+|x-y|,xAv=x+yTx-y|，若正實數(shù)。也。，〃滿足：，aVc<bVd,

b'c<dS/d

則下列選項一定正確的是（）

A.d>bB.b>c

C.bbc>aD.dVoa

4.（2022秋.江蘇常州.高一華羅庚中學校考階段練習）對于函數(shù)y=/（尤），若存在/,使/（毛）=-/（-%）,

則稱點（x0,/U））與點（-%,〃-%））是函數(shù)〃尤）的一對“隱對稱點若函數(shù)/⑴?;二；；：；的圖象存在

“隱對稱點”，則實數(shù)切的取值范圍是（）

A.[2-2A/2,0）B.（-<?,2-272]

C.卜co,-2-D.（0,2+2A/2J

2

5.（2023?高二單元測試）能夠把橢圓r工+丁=1的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為橢圓的“可

分函數(shù)”，下列函數(shù)中不是橢圓的“可分函數(shù)”的為（）

A./(X)=4X3+XB./(x)=ln---

v75+x

C./(x)=sinxD./(x)=ex+e-x

6.（2023秋?江蘇無錫?高一統(tǒng)考期末）設1￡11,計算機程序中用INTG）表示不超過工的最大整數(shù)，則

y=INT（x）稱為取整函數(shù).例如；INT（-2.1）=-3,INT（1.2）=1.已知函數(shù)=1x（log,無『+log,二+4,

2x

其中A/2<x<16?則函數(shù)y=lNT（〃尤））的值域為（）

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}

C.D.{0,1,2}

7.（2023?山東苗澤?統(tǒng)考一模）定義在實數(shù)集R上的函數(shù)）=/（龍），如果加eR,使得/（尤。六%,則稱與為

函數(shù)“X）的不動點.給定函數(shù)〃x）=cosx,g（x）=sinx,已知函數(shù)/（x）,/（g（x））,g（/（x））在（0,1）上均

存在唯一不動點，分別記為網(wǎng),馬，W，則（）

A.x3>xx>x2B.x2>x3>xiC.x2>x1>x3D.x3>x2>

8.（2022秋.河北邢臺.高一統(tǒng)考期末）在定義域內(nèi)存在和馬（可工/），使得/（芯）=-/（馬）成立的事函數(shù)稱

為“親事函數(shù)”，則下列函數(shù)是“親事函數(shù)”的是（）

A.f（x）=?B.〃尤）=2"

C.”D.f（x）=x

[a,a—b<1

9.（2022秋.廣東深圳.高一深圳外國語學校校考期末）對實數(shù)。與定義新運算③:。③6=7/設

[b7,a-b>l

函數(shù)〃尤）=（尤-2）8（x-/）,若函數(shù)y=/（x）-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（

A.（-B.（-2,-1]

cDug,+]D.卜館

1,x>0,

10.（2022秋?山東日照.高一統(tǒng)考期末）己知符號函數(shù)Sgn（x）=<0,x=0,則|“sgn（。）=sgn（b）”是“m>0”的

-1,x<0,

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.(2023秋?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)“X)的定義域為。，若V占e。5％e。，滿足止警L*

則稱函數(shù)〃尤)具有性質(zhì)*").已知定義在(。,+8)上的函數(shù)/("=-f+e—3具有性質(zhì)尸則實數(shù)機的

取值范圍是()

A.(-oo,2]B.(-oo,4]C.[2,+co)D.[4,+co)

12.(2023秋?青海西寧?高一統(tǒng)考期末)定義：對于/(X)定義域內(nèi)的任意一個自變量的值與，都存在唯一一

個演使得j/a)八％)=1成立，則稱函數(shù)/(%)為“正積函數(shù)”.下列函數(shù)是“正積函數(shù)”的是()

A./(x)=lnxB./(x)=erC./(x)=esinxD./(x)=cosx

13.(2023?全國?高三專題練習)定義：在區(qū)間/上，若函數(shù)y=/(x)是減函數(shù)，且y=獷(x)是增函數(shù)，則

稱y=在區(qū)間/上是溺減函數(shù)”.若=T在(肛口)上是溺減函數(shù)”，則機的取值范圍是()

A.(0,e]B.(0,e)C.[e,+oo)D.(e,+oo)

14.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)已知定義域為[0』的“類康托爾函數(shù)，"(%)滿足：①V04X]<X24l,

/(^)</(^2)；②③〃x)+〃lT)=l.則《擊,()

A.—B.—C.D.----

3264128256

15.(2016?遼寧沈陽東北育才學校校考一模)定義兩種運算：a十b=，a0b=y/(a-b)2,則函數(shù)

〃同=溫三的解析式為()

A./(X)=_2^ZZ,xe[-2,O)U(O,2]

B.尤)=4,xe(-oo,—2)IJ(2,-t<0)

X

C./(x)=_"，4,XG(—oo,—2)|J(2,+OO)

D.=XG[-2,O)U(O,2]

x

acx—12

16.(2023?全國?高三對口高考)定義=ad-bc,若函數(shù)。在(—，見)上單調(diào)遞減，則

bu—xx+3

實數(shù)小的取值范圍是()

A.(-2,+oo)B.[-2,+?)C.(-oo,-2)D.S，-2]

17.(2022秋?廣西河池.高一校聯(lián)考階段練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x),若對于任意的國H多,恒有

則稱函數(shù)"X)為“純函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)(I)/(x)=l+x；(2)/(x)=x2；

(3)/(x)=?；(4)/(x)=2F,則下列函數(shù)中純函數(shù)個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

18.(2021秋.上海黃浦.高三上海市大同中學校考期中)對于函數(shù)Ax),若集合｛村X>0"(-》)=-7(刈｝中恰

11g(x-l)Lx>0

有左個元素，則稱函數(shù)Ax)是“左階準奇函數(shù)若函數(shù)/(x)=l'71，則/(x)是“()階準奇函數(shù)”.

sinx,x<0

A.1B.2C.3D.4

19.(2022秋?上海徐匯?高一位育中學校考階段練習)定義㈤為不小于x的最小整數(shù)(例如：｛5.5｝=6,

｛Y｝=T),則不等式｛月2一5｛萬+640的解集為()

A.[2,3]B.[2,4)C.(1,3]D.(1,4]

20.(2022秋?浙江杭州?高一杭州四中校考期中)設/(x),g(x),/?(x)是R上的任意實值函數(shù).如下定義兩個函

數(shù)("g)(x)和(6g)(x)，對任意xeR,(/°g)(x)=〃g(x)),(/*)(勸=/(無爾(幻，則下列等式不恒成立的

是()

A.((/og)■/z)(x)=((7-h)o(g-/z))(x)B.((/-g)o/z)(x)=((/o/z).(go/z))(x)

C.((/og)o/i)(x)=((/o/z)o(go/i))(x)D.=

21.(2021秋?上海徐匯?高一上海中學校考期末)已知Ax),g(x)是定義在區(qū)內(nèi))上的嚴格增函數(shù)，

f(t)=g(t)=M,若對任意人〉Af,存在不<%，使得/(不)=8(>2)=左成立，則稱g(x)是/(無)在上,內(nèi)))上的

“追逐函數(shù)”.已知了(乃=必，則下列四個函數(shù)中是在口,內(nèi))上的“追逐函數(shù)”的個數(shù)為()個.

①g(x)=2x-l；②g(x)=:d+!；③g(x)=j』；④g(x)=2-L

22^2)x

A.1B.2C.3D.4

22.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高一校考期中)如果函數(shù)的定義域為切，且值域為"3)"(胡，則稱“%)

f5x,0<x<2

為“。函數(shù).已知函數(shù)/(、)=2/是“。函數(shù)，則根的取值范圍是()

x-4x+m,2<x<4

A.[4,10]B.[4,14]C.[10,14]D.[14,+<x>)

23.（2022秋?河南周口?高一校考期中）對于函數(shù)/（x）,若對任意的毛，巧，x3eR,/（占），/（x2）,/（x3）

為某一三角形的三邊長，則稱Ax）為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，已知/（》）=阜1是可構(gòu)成三角形的函數(shù)，則

X+1

實數(shù)/的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[-,2]C.[1,2]D.（0,+co）

2

.[a,a>b,、,

24.（2021秋?浙江嘉興?高一校聯(lián)考期中）定義maxf{a,b}=6。<獷如max{3,2}=3.則函數(shù)

〃x）=max{|2x-l|,x}的最小值為（）

A.—B.1C.2D.4

3

25.（2023?高一課時練習）函數(shù)〃九）滿足在定義域內(nèi)存在非零實數(shù)元，使得/（-'）=/（%）,則稱函數(shù)/⑺為

%—l,x>0,

“有偶函數(shù)”.若函數(shù)"x）=21c是在R上的“有偶函數(shù)”，則實數(shù)。的取值范圍是（）

ax——x,x<0

I2

A.a<—B.0<〃<—C.0<〃?—D.aW—

16161616

26.（2020秋?北京順義?高一牛欄山一中校考期中）存在兩個常數(shù)加和M,設函數(shù)的定義域為

/,VxeZ,m<f（x）<M,則稱函數(shù)f（x）在/上有界.下列函數(shù)中在其定義域上有界的個數(shù)為（）

右/、21x1

②

'|2A-l|,x<0

③〃尤）=1八

—f=-,x>0

、4+1

A.0B.1C.2D.3

27.（2022秋.江蘇連云港.高一校考階段練習）對于函數(shù)y=f（x）,如果存在區(qū)間自〃,〃],同時滿足下列條件：

①“X）在上〃,力]內(nèi)是單調(diào)的；②當定義域是卜〃,〃]時，的值域也是卜〃,〃],則稱[m,"]是該函數(shù)的“和諧

區(qū)間''?若函數(shù)〃"=1-々">0）存在“和諧區(qū)間”，則。的取值范圍是（）

X

A.（0,2）B.（0,4）C.回]。高

28.（2022秋?安徽滁州?高三校考階段練習）對于定義域為R的函數(shù)/（X）,若存在非零實數(shù)%,使函數(shù)/（*）

在(-嗎%)和(％,+8)上與X軸均有交點，則稱X。為函數(shù)”X)的一個“界點”.則下列四個函數(shù)中，不存在“界

點”的是()

22

A./(x)=x+bx-2(bGR)B./(x)=|x-31

C.f(x)=l-\x-2\D.f(x)=x3+x

29.(2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一江西省樂平中學校考階段練習)若函數(shù)/(無)對任意。>0且awl,都有

〃爾)=^(x),則稱函數(shù)“X)為"穿透，，函數(shù)，則下列函數(shù)中，不是“穿透”函數(shù)的是()

A./(x)=-xB./(x)=x+l

C.〃尤)=國D./(x)=2x-|x|

30.(2023秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級中學統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)f(x),若存在與使

得/■(%)=/'(%)，則稱%是f(x)的一個“巧值點”，下列選項中沒有“巧值點”的函數(shù)是()

A.y=xB.y=e'

1

C.y=co&xD.y=~r

31.(2023?全國?高三專題練習)最近公布的2021年網(wǎng)絡新詞，我們非常熟悉的有“孫去”、“內(nèi)卷”、“躺平”

等.定義方程〃x)=「(x)的實數(shù)根尤叫做函數(shù)“X)的“躺平點若函數(shù)g(x)=lnx,〃(對=/一1的“躺平

點”分別為a，夕，則a,P的大小關(guān)系為()

A.a>PB.a>f3C.a<[3D.a<f3

32.(2022?高二課時練習)設函數(shù)y=/(x)在3b)上的導函數(shù)為(x),(x)在(a,b)上的導函數(shù)為/"(x),

1f3

若在(a㈤上/"(x)<0恒成立，則稱函數(shù)/(x)在(。,6)上為“凸函數(shù)”.已知/(無)=z--§d+]尤?在(1,4)上為

“凸函數(shù)”，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.[3,+00)B.(3,+oo)C.D.

33.(2022秋?廣東深圳?高三校考階段練習)定義方程7(x)=/(x)的實根與叫做函數(shù)/⑴的“新駐點”，若函

數(shù)g(x)=e2，+l,Zz(x)=lnx,e(x)=V的“新駐點”分別為a,b,c,貝[|a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

34.(2022春?山東?高三山東師范大學附中校考期中)定義滿足方程廣(無)+〃同=1的解％叫做函數(shù)的

“自足點”，則下列函數(shù)不存在“自足點”的是()

A./(X)=X2-3XB./(X)=X+—

C./(x)=lnxD./(x)=ex-sinx+3

二、多選題

35.（2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）對于定義域為。的函數(shù)y=/（x）,若存在區(qū)間［。回uD,使得

同時滿足,①〃力在可上是單調(diào)函數(shù),②當?shù)亩x域為心,可時，的值域也為［2可，則稱區(qū)

間［a,可為該函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”，則（）

A.函數(shù)〃尤）=丁+］有3個“和諧區(qū)間”；

B.函數(shù)/（x）=sinx,xw一%,（存在“和諧區(qū)間”

C.若定義在（3,12上的函數(shù)〃"=2^2有“和諧區(qū)間”，實數(shù)r的取值范圍為4</<6

x-2

D.若函數(shù)〃x）=7〃-而與有“和諧區(qū)間”，則實數(shù)加的取值范圍為1<機=2

36.（2023秋?云南昆明?高一昆明一中統(tǒng)考期末）己知歐拉函數(shù)姒無乂尤?N*）的函數(shù)值等于所有不超過正整

數(shù)x,且與x互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：=。（4）=2,則（）

A.°（x）是單調(diào)遞增函數(shù)B.當xW8時，夕（彳）的最大值為°（7）

C.當x為素數(shù)時，（p（x）=x-\D.當x為偶數(shù)時，^（x）=|

37.（2022秋?河北邢臺?高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)/（尤），若在區(qū)間D上存在％,使得/（%）=%，則稱

是區(qū)間。上的“穩(wěn)定函數(shù)”.下列函數(shù)中，是區(qū)間。上的“穩(wěn)定函數(shù)”的有（）

A./（x）=-tanx,D=^0,

B./（=log7（x-1）+2,￡>=（1,+oo）

C./（X）=X2-；X,D=［O,3

D./（x）=lncosx+l,Z）=

38.（2023秋?湖北襄陽?高一統(tǒng)考期末）己知定義在R上的函數(shù)/'（X）的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)4（4eR）,

使得〃*+4）+處⑺=0對于任意的實數(shù)x恒成立，則稱“力是回旋函數(shù).給出下列四個命題，正確的命題是

()

A.函數(shù)〃力="（其中。為常數(shù)，”0）為回旋函數(shù)的充要條件是2=-1

B.函數(shù)〃x）=2x+l是回旋函數(shù)

C.若函數(shù)〃力=。*（。<。<1）為回旋函數(shù)，貝!|4<0

D.函數(shù)/（x）是2=2的回旋函數(shù)，則在[0,2022]上至少有1011個零點

39.（2023秋?河南周口?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)fix）同時滿足:①對于定義域上的任意x,恒有f（尤）+/（-元）=0；

②若對于定義域上的任意玉，巧，當玉工天時，恒有則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.下列

Xx—X2

四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有（）

3

A./（x）=-B./（x）=-xC./（x）=|x|D./（x）=12二

x[x,x<0

40.（2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第十中學校考期末）德國數(shù)學家高斯在證明“二次互反律”的過程中，首

次定義了取整函數(shù)[可，表示“不超過X的最大整數(shù)”，后來我們又把函數(shù)[x]稱為“高斯函數(shù)”，關(guān)于[x]下列

說法正確的是（）

A.對任意x,yeR,都有|x+y]N[x]+[y]

B.函數(shù)y=x+：的值域為{yeZ|y<-2或y22}

C.函數(shù)y=x-[x]在區(qū)間伏,％+1）（4wZ）上單調(diào)遞增

2021

D.X[lg]=4953（LeZ）

k=\

41.（2023?山東臨沂?高一校考期末）華人數(shù)學家李天巖和美國數(shù)學家約克給出了“混沌”的數(shù)學定義，由此發(fā)

展的混沌理論在生物學、經(jīng)濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念,

定義如下：設f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于xeR,令斗=〃/T）（〃=1,2,3「），若存在正整數(shù)上使得

'C1

3x,x<—

々=不，且當0</<左時，X產(chǎn)％,則稱不值是“X）的一個周期為左的周期點.若〃無）=3,

下列各值是/（X）周期為2的周期點的有（）

121

A.0B.-C.-D.-

335

42.(2022秋?河南漂河?高一漠河四高校考期末)設函數(shù)的定義域為。，若對于任意xeO,存在fe。

使/""0=C(C為常數(shù))成立，則稱函數(shù)/(￡)在。上的“半差值”為C下列四個函數(shù)中，滿足所在定

義域上“半差值”為1的函數(shù)是()

A.y=x3+l(A：eR)B.y=2”(xcR)

C.y=lnx(x>0)D.y=x2

43.(2023秋?上海崇明?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為，對于。中任意給定的實數(shù)尤，都

有〃x)>0,-xeD,且〃-"〃力=1.則下列3個命題中是真命題的有(填寫所有的真

命題序號).

①若0e。，則"0)=1；

②若當x=3時，/(X)取得最大值5,則當工=-3時，/(元)取得最小值!；

③若〃x)在區(qū)間(0,+8)上是嚴格增函數(shù)，則〃x)在區(qū)間(-雙。)上是嚴格減函數(shù).

44.(2022秋.上海寶山.高二上海市吳淞中學校考開學考試)函數(shù)/(x)的定義域為。，滿足：①八刈在。內(nèi)

是單調(diào)函數(shù)；②存在烏,|］=。，使得了⑴在耳,自上的值域為■，切，那么就稱函數(shù)y=/(尤)為“優(yōu)美函數(shù)”，

若函數(shù)/(x)=log。(/T)(c>0,c#1)是“優(yōu)美函數(shù)”，貝卜的取值范圍是.

45.(2023秋?山東德州?高一統(tǒng)考期末)在數(shù)學中連乘符號是“口”，這個符號就是連續(xù)求積的意思，把滿

足“n”這個符號下面條件的所有項都乘起來，例如：匕=1X2X3X…X〃.函數(shù)/⑺=log用(〃+2)(〃eN+),

Z=1

定義使為整數(shù)的數(shù)M左eN+)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間［1,2023］內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有個.

i=l

46.(2021春?福建三明.高二三明一中校考階段練習)對于函數(shù)y=x%x>0)可以采用下列方法求導數(shù)：由

,1,，

y=x”可得Iny=;dnx,兩邊求導可得Jx—=Inx+1,故_/=y(lnx+V)=xx-(Inx+1).根據(jù)這一方法,可得

函數(shù)/(x)=xlnx+1(x>0)的極小值為.

47.(2021春?重慶渝北?高二重慶市兩江中學校校考階段練習)設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間國上的

兩個函數(shù)，若函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)在句上有兩個不同的零點，則稱與g(x)在國上是“關(guān)聯(lián)函

數(shù)”.若〃引=；爐+機與g")=：x2+2x在［o,3］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)，，，則實數(shù)機的取值范圍是.

48.(2018春?河南南陽?高二統(tǒng)考期中)定義：如果函數(shù))=/(尤)在區(qū)間年,句上存在4，％Qa<xl<x2<b),

滿足/(%)=/0)一/⑷,尸(左)=/』)—〃"),則稱函數(shù)y=〃x)在區(qū)間句上是一個雙中值函數(shù)，

b-ab