1.2.1命題與量詞1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【課程標準】1.全稱量詞與存在量詞．通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定：①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定．②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定．教

材

要

點知識點一命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的________稱為命題．其中________的語句稱為真命題，________的語句稱為假命題．陳述語句判斷為真判斷為假知識點二全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞________、________、________符號?全稱量詞命題含有________的命題形式“對集合M中的所有元素x，r(x)”，可簡記為________所有任意每一個全稱量詞“?x∈M，r(x)”知識點三存在量詞和存在量詞命題存在量詞________、___________、________符號表示?存在量詞命題含有________的命題形式“存在集合M中的元素x，s(x)”，可簡記為________存在至少有一個有存在量詞“?x∈M，s(x)”狀元隨筆全稱量詞命題與存在量詞命題的區別(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內所有對象都具有某一性質，無一例外，強調“整體、全部”．(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內的對象有例外，強調“個別、部分”．知識點四命題的否定1．命題的否定：一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作“?p

”，讀作“非p”或“p的否定”．2．命題的真假與命題的否定的真假：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定就應該是假命題；反之亦然．3．常見的命題的否定形式有原語句是都是>

至少有一個至多有一個否定形式不是不都是≤一個也沒有至少有兩個知識點五全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．2．存在量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．狀元隨筆全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．基

礎

自

測1．下列語句中命題有________個，其中真命題有________個．①“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；②“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；③“一個數不是正數就是負數”；④“珠海是一個多么美麗的海濱城市啊！”；⑤“x＋y為有理數，則x，y也都是有理數”；⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．A.2，0

B．4，2C．3，2

D．4，3答案：A解析：①是一個反問句，不是命題；②是一個疑問句，不是命題；③符合命題的定義，是命題，是一個假命題；④是一個感嘆句，不是命題；⑤符合命題的定義，是命題，是一個假命題；⑥是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題．2．(多選)下列命題中哪些是全稱量詞命題(

)A.任意一個自然數都是正整數B.所有的素數都是奇數C.有的正方形不是菱形D.三角形的內角和是180°答案：ABD解析：命題AB含有全稱量詞，而命題D可以敘述為“每一個三角形的內角和都是180°”，C是存在量詞命題，故有三個全稱量詞命題．3．下列命題中存在量詞命題的個數是(

)①至少有一個偶數是質數；②?x∈R，x2≤0；③有的奇數能被2整除．A.0

B．1C．2

D．3答案：D解析：①中含有存在量詞“至少”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號“?”，所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題．4．命題“存在實數x，使x＞1”的否定是(

)A.對任意實數x，都有x＞1B.不存在實數x，使x≤1C.對任意實數x，都有x≤1D.存在實數x，使x≤1答案：C解析：命題“存在實數x，使x>1”的否定是“對任意實數x，都有x≤1”．題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷與其真假[經典例題]例1(1)判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，并判斷其真假．①對任意x∈R，x2＞0；②有些無理數的平方也是無理數；③對頂角相等；④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；⑤對任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．正確地識別命題中的全稱量詞，是解決問題的關鍵．【解析】

①③⑤是全稱量詞命題，①是假命題，∵x＝0時，x2＝0.③是真命題．⑤是真命題．

【答案】B

方法歸納(1)要判定全稱量詞命題是真命題，需要判斷所有的情況都成立；如果有一種情況不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種情況成立即可；如果找不到使命題成立的特例，那么這個存在量詞命題是假命題．跟蹤訓練1

(1)下列命題中是全稱量詞命題，并且又是真命題的是(

)A．π是無理數B．?x0∈N，使2x0為偶數C．對任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0D．所有菱形的四條邊都相等答案：D解析：(1)對于A，π是無理數，是真命題，但不是全稱量詞命題，不符合題意；對于B，?x0∈N，使2x0為偶數，不是全稱量詞命題，不符合題意；對于C，對任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全稱量詞命題，但當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，為假命題，不符合題意；對于D，所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題并且是真命題，符合題意．(2)下列存在量詞命題是真命題的是(

)A．有一個實數x，使x2＋3x＋4＝0B．至少有一個整數n，使得n2＋n為奇數C．有些實數是無限不循環小數D．存在一個三角形，它的內角和小于180°答案：C解析：沒有實數x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正確；n為整數，n2＋n＝n(n＋1)，是兩個連續的整數乘積，一定是偶數，所以B不正確；有些實數是無限不循環小數，例如無理數，所以C正確；三角形的內角和為180°，所以不可能存在一個三角形，它的內角和小于180°，所以D不正確．故選C.題型2含有一個量詞的命題的否定例2寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：(1)p：?a∈R，一次函數y＝x＋a的圖象經過原點；(2)q：?x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】

(1)?p：?a∈R，一次函數y＝x＋a的圖象不經過原點．因為當a＝0時，一次函數y＝x＋a的圖象經過原點，所以?p是假命題．(2)?q：?x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因為x＝0時，x2＝0＜9，所以?q是真命題．狀元隨筆先把命題否定，再判斷真假．方法歸納全稱量詞命題的否定是一個存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時，相應的全稱量詞變為存在量詞，存在量詞變為全稱量詞，同時否定結論．跟蹤訓練2

(1)[2024·福建廈門月考]設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則(

)A．?p：?x∈A，2x∈B

B．?p：?x?A，2x?BC．?p：?x?A，2x∈BD．?p：?x∈A，2x?B?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，?p(x)．答案：D解析：將“?”否定為“?”，“2x∈B”否定為“2x?B”，即?p：?x∈A，2x?B，故選D.(2)命題“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(

)A.?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．?x∈R，x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0答案：D解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故排除A；由命題的否定要否定結論，故排除C；由存在量詞“?”應改為全稱量詞“?”，故排除B.題型3利用命題的否定求參數范圍例3(1)若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則實數a的取值范圍是________；【答案】{a|a>－1}【解析】若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，則實數a的取值范圍是{a|a>－1}．(2)(多選)[2024·四川南充檢測]若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是(

)A．{x|x<－5}B．{x|－3<x≤－1}C．{x|x>3}D．{x|0≤x≤3}【答案】

AB【解析】

“?x∈M，|x|>x”為真命題，則x<0；“?x∈M，x>3”為假命題，則“?x∈M，x≤3”為真命題．由上可知，集合M中的元素均為負數，∴集合M可以是{x|x<－5}或{x|－3<x≤－1}．故選AB.方法歸納利用含量詞的命題的真假求參數的取值范圍(1)含參數的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可根據有關代數恒等式(如x2≥0)，確定參數的取值范圍．(2)含參數的存在量詞命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等知識解決.跟蹤訓練3

(1)能夠說明“設a，b，c是任意實數．若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為(

)A．3，2，1B．1，－2，－3C．－1，－2，－3D．0，－2，－3答案：C解析：所舉反例應滿足“若a＞b＞c，則a＋b≤c”，可設a，b，c的值依次為－1，－2，－3.故選C.(2)[2024·四川省內江市月考]已知命題p：?x≥3，使得2x－1<m，是假命題，則實數m的取值范圍是________．答案：m≤5

能

力

提

升

練1.(1)是否存在實數m，使不等式m＋x2－2x＋5>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若存在一個實數x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求實數m的取值范圍．解析：(1)存在，理由如下：不等式m＋x2－2x＋5>0可化為m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實數m使不等式m＋x2－2x＋5>0對于任意x∈R恒成立，此時m>－4.(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化為m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一個實數x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.∵t＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.∴實數m的取值范圍是(4，＋∞)．2．已知命題p：?x∈{x|0<x<1}，x＋m－1<0，命題q：?x∈{x|x>0}，mx2＋4x－1≠0.若p是真命題，q是假命題，求實數m的取值范圍．解析：因為p是真命題，所以x＋m－1<0對0<x<1恒成立，即m－1<－x對0<x<1恒成立．當0<x<1時，－1<－x<0，所以m－1≤－1，即m≤0.因為命題q是假命題，所以?q：?x∈{x|x>0}，使得mx2＋4x－1＝0為真命題，即關于x的方程mx2＋4x－1＝0有正實數根．(1)當m＝0時，方程為4x－1＝0，有正實數根；

一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共21分)1．(5分)下列命題是存在量詞命題的是(

)①有的數比它的倒數小；②平行四邊形的對邊相等；③存在有理數x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四邊形．A．①③B．②④C．①②D．③④答案：A解析：①中含有存在量詞“有的”；②中隱含全稱量詞“所有”；③中含有存在量詞“存在”；④中隱含全稱量詞“所有”．故①③是存在量詞命題．故選A.2．(5分)已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實數a的取值范圍是(

)A．a<1B．a≤1C．a>1D．a≥1答案：D解析：因為p為假命題，所以?p為真命題，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.選D.

答案：D

4．(6分)(多選)[2024·江蘇省鎮江市月考]下列命題為真命題的是(

)A．?x∈R，x2≤1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分條件C．集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}表示同一集合D．設全集為R，若A?B，則(?RB)?(?RA)答案：ABD解析：對于A，當x＝0時，x2≤1，故A是真命題；對于B，當a2＝b2時，則a＝±b，當a＝b時，則a2＝b2，則a2＝b2是a＝b的必要不充分條件，故B是真命題；對于C，集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}不表示同一集合，前者為點集，后者為數集，故C是假命題；對于D，若A?B，則A中元素都在B中，不在B中的元素一定不在A中，故x∈?RB，則x∈?RA，即(?RB)?(?RA)，故D是真命題．故選ABD.二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)“三角形的外角至少有兩個鈍角”的否定是________．答案：存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析：原命題省略了全稱量詞“任意”，“至少有兩個”的否定詞語是“最多有一個