第11講利用導數研究雙變量問題

(核心考點精講精練)

1%.考情探究.

命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較大，分值為15-17分

【命題預測】題型分析雙變量問題運算量大，綜合性強，解決起來需要很強的技巧性，解題總的思想方

法是化雙變量為單變量，然后利用函數的單調性、最值等解決.

知識講解

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等

式：

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果

考點一、利用導數解決函數中的雙變量問題

典例引領

1.(2024?天津?高考真題)設函數/(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(1,〃功處的切線方程；

⑵若〃x)2a(x-&)在xe(0,+co)時恒成立，求。的值；

⑶若看,%e(0,1),證明-以

2.(2022?北京?高考真題)已知函數〃x)=e，ln(l+x).

⑴求曲線V=/(x)在點(0J(0))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),討論函數g(x)在［0,+8)上的單調性；

(3)證明：對任意的s,fe(0,4w),有/?(S+/)>f(s)+/(f).

3.(2021?全國?高考真題)已知函數〃x)=x(l-lnx).

(1)討論〃x)的單調性；

(2)設。，6為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b,證明：2<'+?<e.

ab

??即時檢測

2

1.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)己知函數/")=r三，其中。>0.

⑴若/1)在(0,2]上單調遞增,求。的取值范圍;

(2)當a=l時，若W+X2=4且0<占<2,比較/(再)與/(無2)的大小，并說明理由

2.(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習)已知函數/(x)=(l+x)a-l-ex,其中

(1)討論的單調性；

(2)若0<6="1,證明：aa+bb>ab+ba.

3.(23-24高三下?北京?開學考試)已知〃無)=(尤+1)盧,上片0.

⑴若左=1,求〃尤)在(0,〃。))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),求g(x)的單調區間;

(3)求證:當％>0時，e(0,+<?),/(m+n)+l>f[m}+f[n}.

4.(22-23高三下?四川成都?開學考試)已知函數/■(x)=a(ei-x)-lnx+x-l,a>0.

⑴求證：存在唯一零點；

(2)設g(x)=ae，—+x-l,若存在?(L+W,使得g(x2)=g(xj-f(xi)，求證：瓜%J+l>土—.

Z再一1

5.(23-24高三上?江西?階段練習)已知函數"x)=ln(x+l)-x2-qx-igeR).

⑴當°=-2時，存在再,迎?0』，使得/(國)-〃/”〃，求M的最大值；

(2)已知加，〃是〃x)的兩個零點，記/'(x)為/(x)的導函數，若〃“€(0,+⑹，且機證明：

.好題沖關?

能力提升

1.(2023?甘肅定西?模擬預測)已知函數/(x)=aln(l+x)+g/_x(aeR).

⑴若a=l,求函數“X)的單調區間；

(2)若函數〃x)有兩個極值點再汽，且占<X2,求證：〃々)>].

2.(2024?四川德陽?二模)已知函數/(x)=lnx+x2-2辦,aeR,

⑴當a>0時，討論〃x)的單調性；

(2)若函數/(x)有兩個極值點再,％(網<苫2),求2/-)的最小值.

3.(2023?福建龍巖?模擬預測)設函數/(x)吟+lnx-x.

⑴求/(x)的極值;

⑵已知/(再)=/(々)(為<々)，g+%有最小值，求后的取值范圍.

4.(2024?河南商丘?模擬預測)已知函數的定義域為(0,+8),其導函數

2

/z(x)=2xd---2a(^ae=l-2a.

(1)求曲線v=/(x)在點(1,7(1))處的切線/的方程，并判斷/是否經過一個定點；

(2)若三項,馬,滿足0<玉<y2,且/(國)=/'(%)=0,求2/(%)一/(%)的取值范圍.

5.(2022?四川瀘州?一模)已知函數〃x)=ax+l-xlnx的圖像在x=l處的切線與直線x-y=0平行.

⑴求函數的單調區間；

(2)若5,無2e(O,+s),且再>馬時，/(x,)-/(x2)>m(x；-x；),求實數加的取值范圍.

6.(2023?河南鄭州?三模)已知函數=,aeR.

(1)討論函數〃x)的單調性；

(2)若函數/(X)有兩個極值點X],n2，且X]<X2，求證：f(x^-ax2>-a.

2

7.(2023?福建龍巖?二模)7知函數/(%)=lnx,g(x)=x--.

x

X+1

⑴若與滿足/(x0)=',證明：曲線y=〃x)在點處的切線也是曲線>=e，的切線；

(2)若P(x)=/(x)-g(x),且尸'(再)=尸'(一)(再內2),證明：F(x,)+F(x2)<41n2-7.

8.(23-24高三上?天津寧河,期末)已知函數/(x)=lnx+Wx2,aeR.

⑴當4=1時，求曲線>=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

⑵求〃x)的單調區間；

⑶設國,%(0"<%)是函數g(x)=/(x)-ax的兩個極值點，證明：g(x1)-g(x2)<|-lna.

9.(2024?河北保定?二模)已知函數〃》)=依-加11弘/'(刈為其導函數.

(1)若/(x)VI恒成立，求。的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數使得/(再)=/(%)，證明：/'(斥)>0.

10.(2023?廣西?模擬預測)已知函數/(x)=e*-xlnx+x2-ax(aeR).

⑴若”=1,求J=/(x)在X=1處的切線方程；

(2)若“X)有兩個不同零點X1,入2證明：/(網％)>仁+1-。)&％.

11.(2023?全國?模擬預測)已知函數/(x)=(a+l)lnx+巴-x,aeR.

(1)討論的單調性；

(2)若/(再)=/(x,),當X[<；<a<1</時，證明：(西+馬)1]"1---->-------.

21xYx2J2a

12.(2023?海南?模擬預測)已知函數〃》)=%-2山-￡+“4/€11)在(0,+8)上單調遞增.

⑴求。的取值范圍；

(2)若存在正數匹產%)滿足r(xj=_r(xj=6(尸(X)為的導函數)，求證：/(^)+/(%2)>0,

13.(2024高三下■全國?專題練習)設x=3是函數〃的=卜2+辦+6卜1(”：?)的一個極值點.

⑴求。與b的關系式(用。表示b),并求/G)的單調區間；

⑵設。>0,g(x)=p+y^e\若存在不，x2e[0,4],使得|〃xj-g(x2)|wi,求實數。的取值范圍.

14.(2024?浙江紹興?三模)若函數a(x)有且僅有一個極值點加，函數￡(x)有且僅有一個極值點"，且

m>n,則稱a(x)與/(x)具有性質a-4//加〉〃.

⑴函數/(x)=sinx-/與夕2(x)=e"-x是否具有性質%-%///>。？并說明理由.

⑵已知函數/(x)=ae*-ln(x+l)與g(x)=ln(x+a)-e*+l具有性質/-g/4>..

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：k(%)|>國.

15.(2023?全國?模擬預測)已知函數

⑴設函數g(x)=eJ3(左>0),若〃x)Wg(x)恒成立，求上的最小值；

KX

⑵若方程/'@)=加有兩個不相等的實根為、占，求證：±+±<2(1一.加).

x2x{m

、夏題感也

1.(重慶?高考真題)設函數/(x)=x(x-l)(x-a),(a>l).

(1)求導數/(x),并證明〃x)有兩個不同的極值點不、入2；

(2)若不等式/(&)+/(%)W0成立，求。的取值范圍.

2.(湖南?高考真題)設函數/(x)=x」-alnx(aeR)

X

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(幻有兩個極值點不和占，記