重慶市第一中學校2025屆高三上學期開學考試數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

X

1.已知集合4={xIlog2(2x-1)<1],B={%||<2<2),則AUB=()

A.11<x<1jB.{x|x<|}

C.I—1<x<D.{%|—1<x<1]

2.若暴函數/(x)=(m2-m-5)x"m在(0,+8)上單調遞減，則實數m的值為()

A.-3B.-2C.2D.3

3.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”這句名言最早出自于能語?衛靈公》此名言中的“善其事”是

“利其器”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知定義在R上的函數f(x)滿足/(久)-2/(-x)=ex,則曲線y=/(乃在點(0/(0))處的切線斜率為()

11

A.-1B.C.|D.1

5.已知函數y=/(久)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為()

(2f3n2X+Icosx

2X+1D2%-1

6.已知函數f(x)=sinx+久3_a久是定義在R上的增函數，則實數a的取值范圍是()

A.(—8,1)B.(-co,1]C.(-00,2)D.(-oo,2]

7.已知函數f(x)的定義域為R,且f(2x-1)的圖象關于直線x=1對稱，f(3x+2)是奇函數，則下列選項

中值一定為0的是()

A./g)B./(2024)C./(l)D./(|)

8.若存在實數a,使得關于％的不等式[a]—(m+l)ex](ax—Inx)<0在(0,+8)上恒成立，則實數TH的取值

范圍是()

A.("v.,；)B.(-3c.t*—1)C.(e~-L+x)D.(——1,+oc)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若正實數居y滿足2x+y=1,則下列說法正確的是()

A.孫有最大值為28.§+；有最小值為6+4，1

C.4/+*有最小值為3D.x(y+1)有最大值為：

10.已知函數/(無)=In久—9—1,則下列說法正確的是()

A)。)在區間(0,1)上單調遞增

B.7(/0520242025)+7(/0^0252024)=2

C.若/(a)=f----Z?ln2,aE(0,1),be(0,+oo),則a?2°=1

2—1

D.函數fO)有唯一零點

11.定義在(0,+8)上的可導函數fQ)滿足+2%/(%)=In%,若f(e)=0,則下列說法正確的是()

A.函數/(%)在％=?2處取得極大值

B./。。方4)>f(2。945)>f(|)

C.過原點可以作2條直線與曲線y=/(x)相切

D.若/(尤)+|<e2x-zn在(0,+8)上恒成立，則實數m的取值范圍是(一8,2]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數/(%)=ex+2/(0)cosx,則尸(0)=.

13.已知某次數學期末試卷中有8道四選一的單選題，學生小萬能完整做對其中4道題，在剩下的4道題中，

有3道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概率為我沒有思路的題只能從4個選項中隨機

選一個答案.若小萬從這8個題中任選1題，則他做對的概率為.

14.已知函數/(%)=ex—2,g(%)=e2x—aex+a+24(a6R),用min｛m,n｝表示m,九中較小者,若函數

ft(%)=min(/(%),g(%)｝有三個零點，則實數a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知定義在(-Lb)上的奇函數/(%)=恒*.

(1)求實數a,b的值：

(2)若/(%)在(皿71)上的值域為(一1,+8),求實數TH,九的值.

16.(本小題12分)

甲、乙兩名同學進行乒乓球比賽，規定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局.首先獲得

4分者獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲獲勝的概率都是|.

(1)求比賽結束時恰好打了5局的概率：

(2)若甲以2:1的比分領先時，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數，求X的分布列及期望.

17.(本小題12分)

已知函數/'(x)=xlnx+ax+b在x=時取得極值，且滿足/'(1)=1.

(1)求函數/(均的解析式；

(2)若存在實數x>0,使得依>f(久+1)成立，求整數k的最小值.

18.(本小題12分)

已知橢圓：1的右焦點尸與拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點重合.

(1)求拋物線C的方程：

(2)已知P為拋物線C上一個動點，直線4：x=—1,Z2:x+y+3=0,求點P到直線口"的距離之和的最小

值；

(3)若點。是拋物線C上一點(不同于坐標原點。)，/是團DOF的內心，求回/OF面積的取值范圍.

19.(本小題12分)

/b

如果函數F(x)的導數F'(x)=f(x),可記為F(1)J若f(x)>0,則/〃工)&=Fib)-F(a)表

示曲線y=/(x),x-a,久=6以及x軸圍成的曲邊梯形”的面積(其中a<6).

(1)若F(x)=fxdx,且尸(1)=1,求尸(久)；

(2)當0<a<］時，證明：a-cosa<cosxdx；

⑶證明：1+^+寺+…+；>ln(n+1)+2(1)5eN*).

參考答案

l.c

2.D

3.2

4.C

5.4

6.5

7.8

8.D

9.ABC

10.AC

11.AD

12.1

13.1|或0.78125

14.(12,28)

15.解：(1)由于一1+6=0,故6=1,

fM=炮器，由/0)=恒公為奇函數得

…+/⑺=他當+館塞=館箓鬻潦=°，

故臀窗=1，解得a=1或一1(舍)，

故Q=b=1;

1—V,,1—V1

(2)/(%)=lg—>-1,故,>元，

又一1V%V1,

解得—1VX<亮,

故772=-1,71=4,

16.解：（1）第一種情況：比賽結束時恰好打了5局且甲獲勝,

則概率為A=cl（I?1264

X3X3=^3；

第二種情況：比賽結束時恰好打了5局且乙獲勝，

則概率為P2=4(1一|)3X|X(1—|)=白；

所以比賽結束時恰好打了5局的概率為P=P]+P2=白+黑=白.

(2)???甲隊以2:1的比分領先，甲隊目前的戰績兩勝一負，

???接下去的比賽局數最少的情況是甲隊取得兩勝結束比賽，

局數最多的情況是接下來的前三局甲隊一勝兩負，必須進行第四局才能結束比賽,

??.X的可能取值為2,3,4,

又P(X=2)=(|)2=I，

P(X=3)=心(|雞)(|)+6?3=捺+方寸

P(X=4)=C|x(|)2x|=|,

??.隨機變量X的分布列為：

X234

412

P

939

E(X)=2x^+3x|+4x1=y,即X的數學期望為半

17.解：⑴由題意知/(%)=xlnx+ax+b的定義域為(0,+8),/'(汽)=In%+1+a,

由于函數f(%)=xlnx+ax+b在久=c-時取得極值，且滿足/(l)=1,

故/=—3+1+a=0,且/(I)=a+h=1,

解得a=2,b=-1,則/'(%)=Inx+3,

經驗證函數/(%)在％=e-3時取得極小值，適合題意

故/(%)=xlnx+2%—1；

(2)由題意存在實數久>0,使得質成立，

即人〉(x+l)ln(x+l)+2x+l恒成立;

X

令g(無)=(x+l)ln(；D+2x+l,%>0；則“(無)=匕上臀2,久e(0,+8),

令九(%)=x-1-ln(x+1),則/(%)=1——>0在(0+8)上恒成立,

■XI_L_LIA-

故九(%)=x—1—ln(x+1)在(0+8)單調遞增,

又九(2)=1-ln3<0,/i(3)=2-ln4>0,

故存在唯一的%o6(2,3)使得h(%o)=0,即％°-1=ln(%0+1)，

則當0<x<g時,h(x)<0,即g'(%)<0,當%>%。時，h(x)>0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(O,%o)上單調遞減，在(%o,+8)上單調遞增，

故gQ)min=9(比0)=a。+1)皿%+1)+2殉+1=(劭+1)(6-1)+2和+1=Q+？，

%0第0

故k>g+2，結合比6(2,3),得出+26(4,5),故整數k的最小值為5.

18.解：(1)由題可知，橢圓右焦點坐標為(1,0),拋物線焦點坐標為啰,0)

所以與=1=>p=2,

所以拋物線方程為y2=4x,

由題可知，人為拋物線準線，所以點P到％的距離等于點P到焦點(1,0)的距離四；

聯立「nV+4y+12=0n(y+2尸+8=0,

v%十y十j-u

顯然無實數根，故直線"與拋物線相離，記點P到6的距離為42，

所以d]+d2的最小值為焦點(1,0)到直線0：x+y+3=0的距離為誓坦=2/2

J12+12

(3)

設點Qg,yo),回知點0(0,0),尸(1,0)

.1

所以回DOF的面積S.DOF=第（）|,

設團DOF的內切圓半徑為r,

111

則有SEI.OF=-\OF\r;S@IDF=-\DF\r;S@IOD=-\OD\r,

^SaiOF-.SBIDF-.SaiOD:SBDOF=\0F\-.\DF\-.\0D\-(|0F|+\DF\+\0D\),

所以品/,+黑叫叫。尸=J帝，+]+]*撲。I，

因為點。是拋物線C上一點(不同于坐標原點。)，

紋

所&-O

4yo

1

所以s-X

回-

F2yo

4金

y0

/o-+++2

1-64

經整理得：——-)

]羽+16+,0什閑

構造函數/(久)=Vx2+16+x+'(x>0),

得八”）=點一￡+1'

顯然廣（久）=-4+1單調增，

P+S*_

令/'（久）=-r=-4+1=0,解得X=浮

4+淳

所以當Xe（o,殍）時，f'W）<0,/（X）單調遞減;

當xe（殍,+8）時，f（%）>o,/（￡）單調遞增;

所以/（%）之/17V3

4

所以S"0F=7^e(°，堂］

22

19.1?：(1)因為(3)'=x