專題一第3講不等式

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)與解法

i.不等式的倒數(shù)性質(zhì)

,、11

⑴a〉b,ab>0^-<-

/\11

(2)a<0<b=?-<-

ab

/、，ab

(3)a>b>0,0<c<d=>—>~

cd

2.不等式恒成立問(wèn)題的解題方法

⑴f(x)>a對(duì)一切x￡I恒成立0f(x)min>a,x￡l；f(x)〈a對(duì)一切xWI恒成立of(x)max<a,x

ei.

⑵f(x)>g(x)對(duì)一切xeI恒成立=當(dāng)x￡I時(shí)，f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方.

⑶解決恒成立問(wèn)題還可以利用分離參數(shù)法.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)若p>l,O〈ni〈n〈l,則下列不等式正確的是()

p一mm

B.----<-

p—nn

-p-p

C.m<nD.logmP>lognp

(2)(2020日匕京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)已知關(guān)于x的不等式ax—bWO的解集是［2,+-),

則關(guān)于x的不等式ax?+(3a—b)x—3b〈0的解集是()

A.(—8,-3)U(2,+8)B.(-3,2)

C.(-8,-2)U(3,+8)D.(-2,3)

1

X2-

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知函數(shù)f(x)=<1則不等式x2f(x)+x—2W0的解集是

X2-

2

(2)若不等式(/—4)x?+(a+2)x—120的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

6'-6、]

A.B.一2,C.一2,D.-2,-lu{f2}

5

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二基本不等式

基本不等式求最值的三種解題技巧

(1)湊項(xiàng)：通過(guò)調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值.

(2)湊系數(shù)：若無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過(guò)湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而利用

基本不等式求最值.

(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi),

即化為y=m+三一+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式求最值.

【典例】2(1)下列不等式的證明過(guò)程正確的是()

A.若a,beR,貝?卷=2

abMab

4/4

B.若a<0,則@+-2—2\/a?一=-4

a\la

C.若a,b￡(0,+°°),則1ga+lgb22yiga?1gb

D.若a￡R,則2a+2-'22苦丁丁=2

(2)(2019?天津)設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則2y+l一的最小值為.

【拓展訓(xùn)練】2（1）（2020?北京市中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知a〉0,b>0,且a—b=l,

則2a+1的最小值為

b

（2）（2020?江蘇）己知5x2y2+y4=l（x,y￡R）,則六+y的最小值是一

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.不等式（-x+3）（x—1）〈0的解集是（）

A.{xj-l<x<3}B.{x|l<x<3}

C.{x|x〈一1或x>3}D.{x|x〈l或x>3}

2.下列命題中正確的是（）

A.若a>b,則ac2>bc2

ab

Bc則->-

<dcd

C.右a>b,c>d,則a—c>b—d

D.若ab>0,a>b,則

3.(2020?北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<

—2或x>3},則f或0、)>0的解集為()

A.權(quán)由〈一2或*>183}B.{x|—2<x<lg3}

C.{x|x>lg3}D.{x|x<lg3}

4.若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是()

,1b/?、

A.a+-<^<log2(a+b)

B.^<log2(a+b)<a+]

log2（a+b）<a+~<—;

（2018?全國(guó)HI）設(shè)a=logo.2。.3,b=log20.3,則（

a+b<ab<0B.ab<a+b<0

a+b<0<abD.ab<0<a+b

6.已知x〉0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是（）

911

A.3B.4C.~D.—

7.已知a>—1,b>—2,（a+1）（b+2）=16,則a+b的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

8.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2—2ab+9b2—c=0,則當(dāng)他取得最大值時(shí)，,+,一”的最大值

cabc

為（）

9

A.3B.-C.1D.0

二、多項(xiàng)選擇題

9.設(shè)f（x）=lnx,0<a<b,若p=f（，而，q=f『萬(wàn)］，r=-［f（a）+f（b）］,則下列關(guān)系

式中正確的是（）

A.q=rB.p<qC.p=rD.p>q

10.已知aez,關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a^o的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a

的值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

IL(2020?威海模擬)若a,b為正實(shí)數(shù)，則a〉b的充要條件為()

A,B.Ina>lnb

ab

C.alna<blnbD.a—b<ea—eb

12.(2020?新高考全國(guó)I)已知a>0,b>0,且a+b=l,貝1J()

A.a?+b?》；B.2a-b>|

D.

C.log2a+log2b—2y[o,+y[b^y[2

三、填空題

13.對(duì)于0<a<L給出下列四個(gè)不等式：?1oga(1+a)<1oga^l；②loga(l+a)>loga(l+；

ili

③仆+④a』>al+一.其中正確的是.(填序號(hào))

a

14.當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，關(guān)于x的不等式mx?—(m+l)x+ni>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

15.已知函數(shù)f(x)=x'—2x+e“一士，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f(a-1)+f(2a?)W0,

e

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x>l,y>0且x+4y+」~7+'=ll,則的最大值為.

X—1yx—1y

專題一第3講不等式

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)與解法

i.不等式的倒數(shù)性質(zhì)

,、11

(1)a>b,ab>0=>—<—

/、11

(2)a<0<b=?-<-

ab

,,,ab

(3)a>b>0,0<c<d=>—>~

cd

2.不等式恒成立問(wèn)題的解題方法

(l)f(x)>a對(duì)一切x￡l恒成立=f(x)min>a,x￡l；f(x)<a對(duì)一切x￡I恒成立=f(x)max〈a,x

ei.

⑵f(x)>g(x)對(duì)一切xeI恒成立=當(dāng)x￡I時(shí)，f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方.

⑶解決恒成立問(wèn)題還可以利用分離參數(shù)法.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)若則下列不等式正確的是()

m

p-nn

C.m-p<n-1

D.logmp>lognp

【答案】D

【解析】方法一設(shè)m=；,p=2,逐個(gè)代入可知D正確.

方法二對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)樗杂謕〉l,所以故A不正確；對(duì)

p-mmp—mn—rnp—nPn—m

于選項(xiàng)B,〉0,所以公二,故B不正確；對(duì)

p-nnnp-nnp-n

于選項(xiàng)C,由于函數(shù)y=x-p在(0,+8)上為減函數(shù)，且0<m<n<l,所以11rp>rT",故C不正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)p>l,0〈m〈n〈l時(shí)，logmpHognP，故D正確.

(2)(2020臼匕京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)已知關(guān)于x的不等式ax—bWO的解集是［2,+-),

則關(guān)于x的不等式ax'+(3a—b)x—3b〈0的解集是()

A.(—8,-3)U(2,+8)B.(-3,2)

C.(—8,-2)U(3,+8)D.(-2,3)

【答案】A

【解析】由關(guān)于x的不等式ax—bWO的解集是［2,+8),得b=2a且a<0,

則關(guān)于x的不等式ax2+(3a-b)x~3b<0可化為x2+x—6>0,

即(x+3)(x—2)〉0,解得x<—3或x>2,

所以不等式的解集為(-8,-3)U(2,+8).

易錯(cuò)提醒求解含參不等式ax2+bx+c<0恒成立問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)

(1)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論時(shí)分類不完整，易忽略a=0時(shí)的情況.

(2)不會(huì)通過(guò)轉(zhuǎn)換把參數(shù)作為主元進(jìn)行求解.

(3)不考慮a的符號(hào).

1

-

x<2

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知函數(shù)f(x)=<1則不等式Xf(x)+x—2W0的解集是

>

X\2-

【答案】{x1—IWxWl}

【解析】由x?f(x)+x—2W0,得

1x2于

x<5，

或<

3x?+x—2<0X2?-+x-2^0,

Ix

1

>

X\2-

XW1

11

1

/或

11Wx\_2-WxWL

???原不等式的解集為{x|—IWxWl}.

⑵若不等式(a-4)x2+(a+2)x-l20的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A(2,|)B.卜2,|)

「61「6、，、

C.-2,-D.-2,-lu{2}

【答案】B

【解析】當(dāng)a?—4=0時(shí)，解得a=2或a=-2,

當(dāng)a=2時(shí)，不等式可化為4x—120,解集不是空集，不符合題意；當(dāng)a=—2時(shí)，不等式可

化為一120,此式不成立，解集為空集.

當(dāng)a?—4W0時(shí)，要使不等式的解集為空集，

a-4<0,6

則有解得一2<a’.

A=a+22+4a2-4<0,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是一2,|).

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二基本不等式

基本不等式求最值的三種解題技巧

(1)湊項(xiàng)：通過(guò)調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值.

(2)湊系數(shù)：若無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過(guò)湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而利用

基本不等式求最值.

(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi),

即化為y=m+g—+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最

值.

【典例】2(1)下列不等式的證明過(guò)程正確的是()

A.若a,bGR,則2十^\2'?F=2

abMab

4/4

B.右aKO,貝!ja+-2—2、/a?一=-4

aMa

C.若a,b￡(0,+°°),則1ga+lgb^2-\/lga?1gb

D.若a￡R,則2a+2-a2212a.『=2

【答案】D

ba4「(4、1

【解析】由于一，二的符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；???a<0,???a+-=—-a+-—W

abava7

"-a?㈢

=一4(當(dāng)且僅當(dāng)a=-2時(shí)，等號(hào)成立)，故B錯(cuò)誤；由于Iga,1gb的符號(hào)不確定，故選項(xiàng)

C錯(cuò)誤；V2a>0,2^>0,...2!*+2二2a?2一,=2(當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí),等號(hào)成立)，故選項(xiàng)D

正確.

(2)(2019?天津)設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則乂+12y+l的最小值為

【答案】473

x+12y+l2xy+2y+x+l2xy+66

【解析】—2-\/xy+^^=.由x+2y=5得5

255

^2-\/2xy,即即xy^—,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=j時(shí)等號(hào)成立.所以

oZ2g

當(dāng)且僅當(dāng)2y[xy=^=

即xy=3時(shí)取等號(hào)，結(jié)合x(chóng)yW不可知，xy

o

x+1

可以取到3,故

易錯(cuò)提醒運(yùn)用基本不等式時(shí)，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一

正”是指“正數(shù)”；“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值；“三相等”是指滿

足等號(hào)成立的條件.若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，

否則最值取不到.

【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020?北京市中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)模擬)已知a>0,b>0,且a—b=l,

則2a+8的最小值為.

b

【答案】2^2+2

【解析】Va>0,b>0,由a—b=l,得a=l+b,.??2a+!=2+2b+1》2+2x\/2b?(=2

bb\lb

+2y[2,當(dāng)且僅當(dāng)b=當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，；.2a+(的最小值為次p+2.

⑵(2020?江蘇)已知5x2y2+y4=l(x,ydR),則x'+y?的最小值是.

4

【答案】7

0

【解析】方法一由題意知yWO.由5xV+y4=l,

可得十==白，

1A/9

當(dāng)且僅當(dāng)F=4/,即丫=±4時(shí)取等號(hào).

y乙

4

所以x?+y2的最小值為々

U

方法二設(shè)x2+y2=t>0,則X?=t—y2.

因?yàn)?xV+y4=l,所以5(t—y2)y?+y4=L

所以4y4—5ty2+l=0.

由A=25t?—1620,解得tgtW一箭去

4

故x?+y2的最小值為壬

0

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.不等式(-x+3)(x—1)〈0的解集是()

A.{x|—l<x<3}B.{x|l<x<3}

C.{x|x<—l或x>3}D.{x|x<l或x>3}

【答案】D

【解析】不等式即(x—3)(x—1)>0,由二次不等式的解法大于分兩邊可得不等式的解集為

{x|x<l或x>3}.

2.下列命題中正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

…廠db

B.右a>b,c<d,則一>二

cd

C.若a>b,c>d,則a—c>b—d

D.若ab>0,a>b,則

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)a=l,b=0,c=—2,d=—1時(shí)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)a=l,b=0,c=l,d=0時(shí)，a—c=b—d,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由不等式的性質(zhì)知D正確.

3.(2020?北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)己知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<

—2或x>3},則f(l(r)>0的解集為()

A.{x|x〈一2或x>lg3}B.{x|—2<x<lg3}

C.{x|x>lg3}D.{x|x<lg3}

【答案】D

【解析】一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<—2或x>3},

則f(x)>0的解集為{x|-2<x<3},

則f(l(T)〉0可化為一2<10然3,解得x〈lg3,

所以所求不等式的解集為{x|x〈lg3}.

4.若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是()

1b

A.a+m</log2(a+b)

B.亍<log2(a+b)<a+~

D.log2(a+b)<a+~<^

【答案】B

【解析】由題意得a>l,0<b<l,

1,log2(a+b)>log22-\/ab=1,

?+-11

2b>a+~>a+b=>a+->log2(a+b).

5.(2018?全國(guó)HI)設(shè)a=logo,2。.3,b=log20.3,則()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】Va=logo.2O.3>log0.21=0,

b=log20.3<log2l=0,ab<0.

a+b1,1,

logo.30.2+logo.32=logo.3O.4,

abab

1-logo.sO.3>log0,3O.4>log0.31=0,

a+b

.\0<——<1,Aab<a+b<0.

ab

6.已知x〉0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是()

911

A.3B.4C.-D.—

【答案】B

【解析】由題意得x+2y=8—x?2y28—當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立，整理

得(x+2y)?+4(x+2y)—3220,即(x+2y—4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,所以x+2y24,

所以x+2y的最小值為4.故選B.

7.已知a>—1,b>—2,(a+1)(b+2)=16,則a+b的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由a>—1,b>—2,得a+1>0,b+2>0,a+b=(a+1)+(b+2)—32

2yla+1b+2

—3=2X4—3=5,當(dāng)且僅當(dāng)a+l=b+2=4,即a=3,b=2時(shí)等號(hào)成立，所以a+b的最小

值是5.

8-已知正實(shí)數(shù)a，b,c滿足a?-2ab+9b—=0,則吟取得最大值時(shí)，?的最大值

為()

9

A.3B.-C.1D.0

【答案】C

【解析】由正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2—2ab+9b2—c=0.

a22ab9b2、4ab

za—二12，

cccc

2QL..21i

當(dāng)且僅當(dāng);"，即a=3b時(shí)，半取最大值“

又因?yàn)閍2—2ab+9b2—c—0,

所以此時(shí)c=12b2,

.31112

所以l+1工=

當(dāng)且僅當(dāng)b=l時(shí)等號(hào)成立.故最大值為1.

二、多項(xiàng)選擇題

9.設(shè)f(x)=lnx,0〈a<b,若p=f(，盛)，q=f(W)，r=；[f(a)+f(b)],則下列關(guān)系

式中正確的是（）

A.q=rB.p<qC.p=rD.p>q

【答案】BC

【解析】r=；(lna+lnb)=p=ln-^ab,p=lnA/ab<q=ln

10.已知aez,關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a^o的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a

的值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】ABC

【解析】方法一設(shè)y=(—6x+a,則其圖象為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是x=3的拋物線，如

圖所示.

若關(guān)于x的一元二次不等式X?—6x+aW0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，

[22-6X2+a^0,

則3sn解得5<aW8,

[1—6Xl+a/0,

又aUL,故a可以為6,7,8.

方法二分離常數(shù)，得a^—X2+6X,函數(shù)y=—x?+6x的圖象及直線y=a,如圖所示，由

圖易知5<aW8.

11.(2020?威海模擬)若a,b為正實(shí)數(shù)，則a>b的充要條件為()

11

A-I>bB.Ina>lnb

C.alna<blnbD.a-b<ea—eb

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>0,所以工<<，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)閥=lnx在(0,+-)±

ab

為增函數(shù)，所以a>b>0=lna>lnb,故B正確；對(duì)于C,設(shè)f(x)=xlnx,則#(x)=lnx

+l(x>0),令(x)=0,得x=(,當(dāng)x￡(0,時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)+°°j

時(shí)，伊(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，所以a>b>0不能推出alna〈blnb,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,設(shè)

g(x)=x—ex(x>0),貝!Jg'(x)=1—因?yàn)閤>0,所以e">l,所以g，(x)〈0,g(x)在(0,+

8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a>b〉0時(shí)，g(a)<g(b),BPa—ea<b—eb,BPa—b<ea—eb,充分性成

立；當(dāng)a>0,b>0,且a—b<3—e。時(shí)，易證得a>b,必要性成立，故D正確.

12.(2020?新高考全國(guó)I)已知a>0,b>0,且a+b=l,則()

A.a2+b2^-1B.2a-b>-

C.Iog2a+log2b2—2D.

【答案】ABD

【解析】因?yàn)閍>0,b>0,a+b=l,

所以a+b^2y[ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=g時(shí)，等號(hào)成立，即有abW3

對(duì)于A,a2+b2=(a+b)2—2ab=l—2ab21—2><；=；,故A正確；

對(duì)于B,2a-b=22a-1=1x22a,

因?yàn)閍>0,所以22a>1,即2a-b§,故B正確；

對(duì)于C,1og2a+1og2b=1og2ab1og2^=—2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由(-\/a+^/b)2=a+b+2^/ab=l+2^/ab^2,

得故D正確.

三、填空題

13.對(duì)于0<a<l,給出下列四個(gè)不等式：?1oga(1+a)<1oga^l；②loga(l+a)>loga(l+1)；

③a-<a匕；④ai>al+，其中正確的是.(填序號(hào))

a

【答案】②④

【