浙江省兩校2024-2025學年高三第一模擬考試數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等比數列{4}的前幾項和為S”，且滿足2s"=2""+4,則X的值是()

A.4B.2C.-2D.-4

2.復數Zj在復平面內對應的點為(2,3)0=-2+z；則五=()

Z2

18.18,18.18.

A.------\--iB.------------1C.-1+—zD.-1——I

555555

3.若復數z滿足2z—Z=3+12i,其中i為虛數單位，N是z的共朝復數，則復數忖=()

A.3#>B.2A/5C.4D.5

4.設集合A={1,2,3},B=[^-2x+m=6\,若AcB={3},則3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

5.點以在曲線G:y=31nx上，過以作x軸垂線/,設/與曲線y=,交于點N,OP^OM+ON,且P點的縱坐

x3

標始終為0,則稱M點為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的“水平黃金點”的個數為()

A.0B.1C.2D.3

x

6.已知函數/(%)=%—?(x>0),g(x)=x+e9=%+的零點分別為玉，/，W，則()

A.x1<x2<x3B.x2<xr<x3

C.x2<x3<xrD.x3<Xj<x2

7.設等差數列｛a“｝的前”項和為S“，若2+%=4+%,貝!J$7=()

A.28B.14C.7D.2

8.集合{2,0,1,9}的真子集的個數是()

A.13B.14C.15D.16

9.函數/(x)=sin@c(o>0)的圖象向右平移二個單位得到函數y=g(x)的圖象，并且函數g(x)在區間［工，工］上

1263

單調遞增，在區間［］,(］上單調遞減，則實數。的值為()

735

A.-B.-C.2D.-

424

10.已知a為銳角，且6sin2a=2sintz,則cos2戊等于()

2214

A.—B.-C.—D.----

3939

x+y>-l

1L若實數MV滿足不等式組卜―2yV—1，則2x—3y+4的最大值為()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

12.已知函數/(%)是定義在R上的偶函數，且在(0,+8)上單調遞增，則()

066

A./(-3)</(-log313)</(2-)B./(-3)</(2°-)</(-log313)

66

C./(2°-)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在長方體ABCD—4片￡。］中，AD=DD［=1,AB=BE,F,G分別為的中點，點尸在

平面A5CZ>內，若直線2尸//平面E/G,則線段長度的最小值是.

14.已知函數/(x)=lnx+x2,則曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為

15.已知函數/(九)是定義在R上的奇函數，且周期為2,當時，/(x)=x+［,則〃a)的值為

21,?

16.已知x>0,y>0,且一H—=1,則x+2y的最小值是

冗y

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知5=3,c=8,角4為銳角，AABC的面

積為6^3.

(1)求角A的大小；

(2)求。的值.

22

18.(12分)已知橢圓石：上+上=1,過Q(-4,0)的直線/與橢圓E相交于A,3兩點，且與y軸相交于尸點.

62

—.3—.

(1)若求直線/的方程；

(2)設A關于x軸的對稱點為C,證明：直線8C過x軸上的定點.

19.(12分)在AA8C中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,V3sin(A+B)=4sin2.

(1)求cosC；

(2)若b=7,。是5c邊上的點，且AAC。的面積為66,求sin/AOB.

20.(12分)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸(。，c)，(c>0)關于直線l:x-y-2=0的對稱點為M,且|FM|=3&.

若點P為。的準線上的任意一點，過點尸作C的兩條切線K4,PB,其中4B為切點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求證：直線恒過定點，并求△243面積的最小值.

21.(12分)已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為4(0,1)、8(0,-1),焦距為2百.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線了=根與橢圓C有兩個不同的交點"、N,設。為直線AN上一點，且直線班)、的斜率的積

為-證明：點。在x軸上.

4

22.(10分)在平面直角坐標系X0V中，已知橢圓C的中心為坐標原點。焦點在x軸上，右頂點4(2,0)到右焦點的

距離與它到右準線的距離之比為工.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩點，設P(-4,0),連接PM交橢圓C于另一點E.求證：直線NE過

定點8,并求出點3的坐標；

(3)在(2)的條件下，過點3的直線交橢圓C于S,T兩點，求麗?麗的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用先求出。“，然后計算出結果.

【詳解】

4+2

根據題意，當〃=1時，2S]=2〃]=4+X,4=—-—,

故當〃22時，氏=S，—

???數列｛aJ是等比數列，

則q=1,故?~4=1,

解得4=—2,

故選C.

本題主要考查了等比數列前幾項和S“的表達形式，只要求出數列中的項即可得到結果，較為基礎.

2.B

【解析】

z.

求得復數Z1,結合復數除法運算，求得」的值.

Z2

【詳解】

Zl_2+3i_(2+3/)(-2-0_(2+3/)(-2-0-l-8z18.

易知12+3,,則，=Wr(-2+')(一2一1—5—=『=一丁『

故選：B

本小題主要考查復數及其坐標的對應，考查復數的除法運算，屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據復數的四則運算法則先求出復數z,再計算它的模長.

【詳解】

解：復數z=a+6i,“、6GR；

?23=3+12"

.,.2(a+bi)-(a-bi)—3+12z,

2a-a=3

即4,

2b+b=12

解得。=3,6=4,

?*.z=3+4/,

,,lzl=y)3~+42=5?

故選D

本題主要考查了復數的計算問題，要求熟練掌握復數的四則運算以及復數長度的計算公式，是基礎題.

4.A

【解析】

根據交集的結果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，從而可求3.

【詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32—2x3+〃z=0,解得機=—3,由V—2光—3=0,解得x=—l,3.

本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.

5.C

【解析】

設M?,31nt),則則成=+即可得ln/+J=0,設g⑺=+\利用導函數判斷g(7)的零

\t)I33tj3t3t

點的個數，即為所求.

【詳解】

設M?,31n/),則N、［，所以屈+—)

依題意可得ln/+'=0,

3t

設g⑺1，則g'⑺=；-5=

當0</<g時,g'?)<。，則g(t)單調遞減；當/〉；吐g'Q)>。，則g?)單調遞增,

所以g(f)mm=gm=l—ln3<0,且=-2+：〉0,g(l)=g〉0,

g(/)=In/+g=0有兩個不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點”的個數為2.

故選:C

本題考查利用導函數處理零點問題，考查向量的坐標運算，考查零點存在性定理的應用.

6.C

【解析】

轉化函數/(%)=x-y/x(x>0),g(x)=x+eJ,/7(x)=x+lnx(x>0)的零點為丁=%與y=Vx(x>0),y=-ex,

y=—lnx(x>0)的交點，數形結合，即得解.

【詳解】

函數/(x)=>0),g(x)=x+e',"(x)=x+lnx(x>0)的零點，即為y=x與>=&(x〉0),>=-/,,

y=—In尤(x>0)的交點，

作出V=%與y=?(X〉0),y=—e*,y=—lnx(x>0)的圖象，

故選：C

本題考查了數形結合法研究函數的零點，考查了學生轉化劃歸，數形結合的能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據等差數列的性質4+。3=%+。5并結合已知可求出為，再利用等差數列性質可得§7=7"%)=7%,即可求

出結果.

【詳解】

因為。6+%=。4+。5，所以2+%=。4+。5，所以。4=2,

所以S7=7(4；%)=7%=]4,

故選：B

本題主要考查等差數列的性質及前幾項和公式，屬于基礎題.

8.C

【解析】

根據含有“個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子集，計算可得；

【詳解】

解:集合｛2,0,1,9｝含有4個元素，則集合｛2,0,1,9｝的真子集有元—1=15(個)，

故選：C

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有〃個元素的集合，有2〃個子集，有2"-4個真子

集，屬于基礎題.

9.C

【解析】

由函數/(x)=sina>x(o>>0)的圖象向右平移個單位得到g(x)=sz力、■)]=sin(,函數g(x)在

jrITJrjr

區間上單調遞增，在區間

_63J|_32_

上單調遞減，可得x=0時，g(x)取得最大值，即—爸)=春+2丘，ZeZ,口>0,當k=0時，解得69=2,

故選C.

點睛：本題主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據平移變換“左加右減，上加下減”

的規律求解出g(x),根據函數g(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減可得x=g時，g(x)取

得最大值，求解可得實數。的值.

10.C

【解析】

由Gsin2a=2sina可得cosa=~^~‘再利用cos2。=2cos2a—1計算即可.

【詳解】

因為2A/^sinacosa=2sina，sinawO,所以cosa=

221

所以cos2o=2cosa-l=——1=——.

33

故選：C.

本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.

11.C

【解析】

作出可行域，直線目標函數對應的直線/,平移該直線可得最優解.

【詳解】

作出可行域，如圖由射線AB，線段AC,射線CD圍成的陰影部分(含邊界)，作直線/:2尤-3y+4=0,平移直線

I,當/過點C(LD時，z=2x—3y+4取得最大值1.

故選：C.

本題考查簡單的線性規劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形.

12.C

【解析】

06

根據題意，由函數的奇偶性可得/(—3)=〃3),/(-log313)=/(log313),Xi2-<2<log313<log327=3,

結合函數的單調性分析可得答案.

【詳解】

根據題意，函數/(%)是定義在R上的偶函數，則/(—3)=/⑶，/(-log313)=/(log313),

有2°6<2<log313<log327=3,

又由/(%)在(0,+8)上單調遞增，則有/(2°6)</(—log313)</(—3),故選C.

本題主要考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意函數奇偶性的應用，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.叵

2

【解析】

如圖，連接2AAe證明平面AC。//平面EPG因為直線2尸//平面EFG,所以點尸在直線AC上.當

AC時.線段2P的長度最小，再求此時的2P得解.

【詳解】

如圖，連接2AAe，

因為E,F,G分別為AB,BC,G01的中點，

所以AC//EF,跖a平面AC。1，

則EE//平面ACA.因為EG//AD],

所以同理得EG//平面ACR,又EFCiEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因為直線2尸//平面EFG,所以點尸在直線AC上.

在"3中，9="數=2,3="-；x&x

也

故當RPJ.AC時.線段DXP的長度最小，最小值為-2-=也.

1x22

2

故答案為：立

2

本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

14.3x-y-2=0

【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.

【詳解】

因為/(X)=-+2%,

x

所以左=/g)=3,

又/'⑴=1,

故切線方程為y—1=3(尤—1),

整理為3%—y_2=0,

故答案為：3x-y-2=Q

本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.

15.0

【解析】

x+—,0<^<1

3

由題意可得:/(%)=<0,x=0,周期為2,可得=可求出。=0,最后再求/(a)的值即可.

%--,-l<x<0

3

【詳解】

解：?.?函數/(%)是定義在H上的奇函數,

x+—,0<%<1

3

〃x)=<0,大=0

x—,—1?尤<0

3

由周期為2,可知=二1+1=1—I，,。=0.

/(?)=/(o)=o.

故答案為：0.

本題主要考查函數的基本性質，屬于基礎題.

16.8

【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

x+2y=(x+2y)—+—=2+—+—+2>4+2I---=8,

(x切yx\yx

x4y

當且僅當一=一時等號成立.

yx

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

兀

17.(1)-；(2)7.

3

【解析】

分析：(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進而求得A；(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求

得a.

詳解：⑴

VSMflC=^csinA=—x3x8xsinA=6^3,

???A為銳角,

(2)由余弦定理得:

=,9+64-2x3x8xg=7.

a=y/b2+c2-2bccosA

點睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩

7,22_2

種形式：(1)a2^b2+c2-2bccosA；(2)cosA="^一土，同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解

2bc

與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住30°,45。,60°等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.

18.(1)>=走了+走或y=—正X—正；(2)見解析

■82■82

【解析】

一3—.

(1)由已知條件利用點斜式設出直線/的方程，則可表示出點尸的坐標，再由=的關系表示出點A的坐標,

而點A在橢圓上，將其坐標代入橢圓方程中可求出直線的斜率;

(2)設出A,3兩點的坐標，則點C的坐標可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯立成方程，消元后得到關

于x的一元二次方程，再利用根與系數的關系，再結合直線的方程，化簡可得結果.

【詳解】

(1)由條件可知直線/的斜率存在，則

可設直線/的方程為y=?%-4),則尸(0,4k),

__3__3

由PA=-AQ,有（xA,yA-4k）=~（-4-xA,-yA）,

128k

所以與

由一"’,二)在橢圓E上，則，解得左=±立，此時P0,+

在橢圓E內部，所以滿足

+——=181

2、

直線/與橢圓相交,

故所求直線I方程為y=￡x+?或yV2V2

----x------

82

(也可聯立直線/與橢圓方程，由/〉0驗證)

（2）設4（和％）,5（々，%）,則C（X|,-%）,

直線8C的方程為（%+為）%+（%-々）丁一（々%+石％）=。?

y=k（x+4）,.,,,

由〈，,得（1+3左2）12+2442%+48左2—6=0,

x2+3y2=6

22

由△=（24/）-4（1+3k）（48左2—6）〉0,

1

解得左29<j，

24k24842—6

X,1+X,=---------7，%1%2=--------7

-1+3421+342

當y=0時,

_xy+xy2_%2%(石+4)+%/(%2+4)_2kxx+4%(藥+x)

x——211————r22

%+，2+%2+%2

k(x1+8)k(x1+8)

48左2—6-24k2

2k-+4k-

1+3公1+3公2(48左2—6)—96汰23

(-24左282

'11+342+8

/

「3、

故直線BC恒過定點一二,0.

I2)

此題考查的是直線與橢圓的位置關系中的過定點問題，計算過程較復雜，屬于難題.

19.(1)-；(2)其羽.

713

【解析】

(1)根據誘導公式和二倍角公式，將己知等式化為角W關系式，求出tan?,再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

(2)在△ACD中，根據面積公式求出。長，根據余弦定理求出AO，由正弦定理求出

sinZADC,即可求出結論.

【詳解】

(1)5/3sin(A+B)=4sm2^-,2^sinyCOSy=4sin2y,

oC.C

廠廠cos-----sin2——in2mj_

「2C.C22

cosC=cos-----sin2—=-------3---------W

2J.2。l+t"7；

22cos——I-sin——

222

(2)在AACD中，由(1)得sinC=±正，

7

S,rn=-x7xCDx^=6A--.CD=3.

△Ac。27，

由余弦定理得

AD2=Z?2+CD2-2Z?-CD-COSC=49+9-2X7X3X-=52,

7

.?.AD=2而，在AACD中，

74#)

ADAC

sinCsinZADC

2、麗

sinZADB=sinZADC=——

13

本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)%2=4y(2)見解析，最小值為4

【解析】

(1)根據焦點產到直線/的距離列方程，求得c的值，由此求得拋物線的方程.

(2)設出A,B,P的坐標，利用導數求得切線PA,PB的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點F.求得三角形？

面積的表達式，進而求得面積的最小值.

【詳解】

(1)依題意d-°一二2|=乎,解得c=l(負根舍去)

2

拋物線。的方程為必=4y

(2)設點A&，M),B(X2，%)，P"，T),由兀2=4、，

即y=得y

42

A拋物線C在點A處的切線PA的方程為y—%=5(x-玉)，

1X

???乂???'%：點尸CT)在切線上，

-1=?/-%①，同理，-1=^%②

綜合①、②得，點的坐標都滿足方程T=，-%

即直線A8：y=$+1恒過拋物線焦點F（O,1）

當f=0時，此時P（O,—1）,可知：PF±AB

2

當，。0,此時直線p尸直線的斜率為左"=-7,得PFLAB

于是刊4|AB|,而|。尸|=^?-0）2+（-1一1）2牧2+4

把直線y=；x+l代入犬=今中消去x得y2—Q+/）y+i=o

AB="]+%+2卜4+/，即：S=g（4+〃）J'4+1。=g（4+產）5

當方=0時，S/4B最小，且最小值為4

本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題,

考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.

21.（1）—+y2=1；（2）見解析.

4

【解析】

（1）由已知條件得出力、c的值，進而可得出a的值，由此可求得橢圓。的方程；

（2）設點”（而,m），可得N（—%,加），且求出直線物/的斜率，進而可求得直線3D與AN的

方程，將直線直線3。與AN的方程聯立，求出點。的坐標，即可證得結論.

【詳解】

b—\

故橢圓。的方程為三+>2=1；

4'

（2）設加（石,相），則N（-石,加），石。0,-l<m<l.

機一（―1）771+1

所以直線的斜率為一一二——，

石一0xx

因為直線、8M的斜率的積為-工，所以直線的斜率為一

44“（加“+1一）?

l-m.再1

直線AN的方程為y=——％+1,直線3。的方程為y=一%—1.

石4（m+nlJ

1-m1

>=丁'+1一蘇+i

%]A1

聯立《

,解得點D的縱坐標為yD=—：-----------

y=7^~—xi+-1

4（m+1）4

因為點M在橢圓。上，所以互+m2=1,則”,=0,所以點。在x軸上.

4

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.

22__2

22.(1)亍+1_=1；⑵證明詳見解析，8(—1,0)；⑶4

，4

【解析】

⑴根據題意列出關于口力,C的等式求解即可.

(2)先根據對稱性，直線NE過的定點B一定在x軸上，再設直線PM的方程為y