九年級數學限時訓練

一、選擇題（共10小題）

1.下列方程中，關于X的一元二次方程是（）

A.2x-3=xB.2x+3y—5C.2x-x2—1D.x+—=7

x

2.一元二次方程3x2-6x-4=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）

A.3,6,4B.3,-6,4C.3,6,-4D.3,-6,-4

3.已知。。的半徑為2,OA=4,則點/在（）

A.。。內B.。。上C.。。外D.無法確定

4.一元二次方程/+5x+l=0根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數

根D.沒有實數根

5.已知機、”是一元二次方程/+2x-5=0的兩個根，則加+"的值為（）

A.2B.-2C.5D.-5

6.將方程x2+4x+2=0配方后，原方程變形為()

A.(X+4)2=2B.(X+2)2=2C.(x+4)2=—3D.(x+2)2=—5

7.如圖，00的弦AB=8,M是AB的中點，且OM=3,則00的半徑等于()

A.2B.5C.8D.10

8.關于x的一元二次方程x2-fox+c=0的兩根分別是4、-2,貝防、。的值分別是（）

A.-2、4B.4、-6C.-2、6D.2、-8

9.實數4，b,c滿足。-6+。=0,則（）

A.Z?-4ac>0B.b2-4ac<0

C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

10.如圖，四邊形P4OB是扇形OW的內接矩形，頂點P在弧九W上，且不與N重合,

當P點在弧上移動時，矩形尸/02的形狀、大小隨之變化，則尸才+尸笈的值（）

試卷第1頁，共4頁

A.變大B.變小C.不變D.不能確定

二.填空題（共8小題）

11.一元二次方程x2-4=0的解是.

12.已知關于x的一元二次方程/-x+左=0的一個根為-1,貝！）后=.

13.如果關于x的一元二次方程4--加x+l=0有相等的實數根，那么機的值

是.

14.已知機是關于x的方程--2x-5=0的一個根，則2加2_4川=.

15.梭梭樹因其頑強的生命力和防風固沙的作用，被稱為“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠

2020年有16萬畝梭梭樹，經過兩年的人工種植和自然繁殖，2022年達到25萬畝，求這兩

年的平均增長率.

16.如圖，AB是的直徑，弦CDJLAB于點E,OC=5cm,CD=6cm,則AE=

17.若菱形的兩條對角線長分別是方程x2-10x+24=0的兩實根，則菱形的面積為—

18.如圖，CD是。。的直徑，點A在。C的延長線上，//=18。,/后交。。于點5,且

AB=OD.則.

三、簡答題:

試卷第2頁，共4頁

19.解下列方程:

(l)(x-l)2-25=0；

(2)2X2-3X-2=0；

(3)X2+2X-8=0；

(4)3X(X-4)=2(4-X).

20.陽湖水蜜桃是常州特產，有“太湖仙果”的美譽.某農場2022年種植水蜜桃20畝，平均

畝產量是1000kg.2023年該農場擴大了種植面積，并引進新品種，使總產量增長到

33800kg.已知種植面積的增長率與平均畝產量的增長率相同，求平均畝產量的增長率.

21.關于x的一元二次方程/-3x-后=0有兩個不相等的實數根.

(1)求左的取值范圍；

(2)設匹，無2是方程的兩個實根，是否存在左值使2X]+占％+2苫2=10,若存在，求出左值，若

不存在，請說明理由.

(3)若方程兩實數根為西也，且滿足3網+2%=2,求實數左的值.

22.某超市銷售一批月餅，這批月餅每盒進價為80元，售價為120元，平均每天可售出20

盒.為了增加盈利，商場采取了降價措施.假設在一定范圍內，月餅的單價每降1元，商場

平均每天可多售出2盒，降價后商場消售這批月餅每天盈利1200元.求降價后該月餅每盒

的售價.

23.若關于x的方程N+6x+c=0有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大2,那么稱這樣

的方程為“隔根方程”.例如,方程N+2x=0的兩個根是肛=0,切=-2,則方程N+2X=0

是“隔根方程”.

⑴方程N-x-20=0是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由;

(2)若關于x的方程N+mx+m-1=0是"隔根方程”,求加的值.

24.如圖，在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦48交小圓于點C、D.

(1)求證NC=2D；

(2)若NC=3,大圓和小圓的半徑分別為6和4,則CD的長度是

試卷第3頁，共4頁

25.我們在八年級上冊曾經探索：把一個直立的火柴盒放倒（如圖1）,通過對梯形

面積的不同方法計算，來驗證勾股定理.。、權c分別是和Rt^CDE的邊長，易知

AD=6C，這時我們把關于x的形如ax2+42cx+b=0的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請解決下列問題：

⑴方程f+2x+l=0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；

（2）求證：關于x的“勾氏方程”辦2+&cx+6=0必有實數根；

⑶如圖2,的半徑為10,/反CD是位于圓心。異側的兩條平行弦，AB=2m,

CD=2〃,機力".若關于x的方程“2+10缶+〃=0是“勾氏方程"，連接求/BOD

的度數.

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可.

【詳解】4方程2x-3=x為一元一次方程，不符合題意；

B、方程2x+3y=5是二元一次方程，不符合題意；

C、方程2x--=i是一元二次方程，符合題意；

D、方程x+1=7是分式方程，不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的問題，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

2.D

【分析】根據一元二次方程的一般式可直接進行求解.

【詳解】解：一元二次方程31-6x-4=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是3,

—6,—4；

故選D.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式是解題的關

鍵.

3.C

【分析】本題考查了點與圓的位置關系，判斷點與圓的位置關系，根據點在圓上，則〃=廠；

點在圓外，則d>r；點在圓內，則d<r（d即點到圓心的距離，『即圓的半徑）進行判斷

是解決問題的關鍵.

【詳解】解：???。/=4>2,

???點A與OO的位置關系是點在圓外，

故選：C.

4.A

【分析】利用一元二次方程根的判別式進行判斷即可得.

【詳解】解：一元二次方程V+5x+l=0中的。=1/=5,c=l,

則這個方程根的判別式為A=52-4xlxl=21>0,

所以方程有兩個不相等的實數根，

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關

答案第1頁，共12頁

鍵.

5.B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，關于x的一元二次方程

a，+6x+c=0(a*0)的兩個實數根X],%和系數。，b,c,有如下關系：x+x^--,

x2a

再由此即可得出答案，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解此題的關鍵.

a

【詳解】解："是一元二次方程/+2x-5=0的兩個根，

:.m+n=—2,

故選：B.

6.B

【分析】方程常數項移到右邊，兩邊加上2變形即可得到結果.

【詳解】試題分析：:x2+4x+2=0,

.??x2+4x=-2,

???x2+4x+4=-2+4,

(x+2)2=2.

故選B.

7.B

【分析】由題意連接OA,根據垂徑定理求出OM1AB,求出AM長，根據勾股定理求出

OA即可.

【詳解】解：連接OA,

??,OO的弦AB=8,M是AB的中點，OM過O,

??.AM=BM=4,OM1AB,

???由勾股定理得：OA=NAM2+OM2="2+3,=5.

故選：B.

【點睛】本題考查勾股定理、垂徑定理，能構造直角三角形是解答此題的關鍵，注意掌握垂

直于弦的直徑平分這條弦.

答案第2頁，共12頁

8.D

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系

bc

數的關系，X1+x2=--,X產2=上，據此解答即可.

aa

【詳解】???一元二次方程--法+c=0的兩根分別是4、—2,

bc

?，.X]+=—=4+(-2)=6=2,玉=——4x(—2)—c——8,

???6=2,c=-8.

故選：D.

9.C

【分析】首先由〃—6+。=0得至解=。+。，然后化簡4〃c求解即可.

【詳解】解：,??〃-6+。=0

??b—cic

???b2-4QC

=(Q+C)2-4ac

=Q?+2cle+c2—4。。

="—Zac+c?

=(a-0)2.

>0

???b1-4ac>0.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

10.C

【分析】P/O8是扇形OMN的內接矩形，根據矩形的性質N5=OP=半徑，所以長度不

變.

【詳解】???P/O8是扇形OACV的內接矩形,以8=。「=半徑,當尸點在弧肱V上移動時，半

徑一定，所以N3長度不變，又PA2+_PB2=AB2,故選C.

【點睛】本題主要考查了圓周角的相關知識，而本題用到的知識點：90。的圓周角所對的弦

是直徑，垂直于非直徑的弦的直徑平分弦，三角形的中位線等于第三邊的一半.

11.x=±2

答案第3頁，共12頁

【詳解】移項得X2=4,

?-?x=±2.

故答案是：x=±2.

12.-2

【分析】把x=-l代入方程/-x+左=0得到關于后的一元一次方程，解方程即可得到答

案.

【詳解】解：根據題意得：

12-(-1)+^=0,

解得：k=-2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的解法

是解題的關鍵.

13.±4

【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等

的實數根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0,方

程沒有實數根.

由已知方程有兩個相等實數根，得到根的判別式等于0,列出關于m的方程即可求得m的

值.

【詳解】解：???方程4/一切》+1=0有相等的實數根，

A=(-機-4x4x1=機？-16=0,

解得：m=±4,

故答案為：±4.

14.10

【分析】根據一元二次方程的解的定義得出十一2加=5,代入代數式，即可求解.

【詳解】解：?.?〃?是關于x的方程/-2x-5=0的一個根，

2m2-4m=2("/-2加)=2x5=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的

關鍵.

答案第4頁，共12頁

15.25%

【分析】設這兩年的平均增長率為x,利用新疆北部某沙漠2022年梭梭樹的種植面積=新

疆北部某沙漠2020年梭梭樹的種植面積x（1+這兩年的平均增長率即可得出關于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【詳解】解：設這兩年的平均增長率為x,依題意得：16（1+無y=25,

解得：々=0.25=25%,無2=225（不符合題意，舍去），

.?.這兩年的平均增長率為25%.

故答案為：25%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

16.9

【分析】根據垂徑定理推出CE=ED=3,再利用勾股定理求出OE即可解決問題.

【詳解】解：,.,ABLCD,AB是直徑，

CE=ED=3cm,

在RtAOEC中，OE=7OC2-EC2=752-32=4（cm）,

AE=OA+OE=5+4=9（cm）,

故答案為9.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

常考題型.

17.12.

【分析】先解出方程的解，根據菱形面積為對角線乘積的一半，可求出結果.

【詳解】x2-10x+24=0

x=4或x=6.

所以菱形的面積為：（4x6）+2=12.菱形的面積為：12.

【點睛】本題考查菱形的性質和面積的求法、根與系數的關系，解題的關鍵是掌握菱形的性

質和面積的求法、根與系數的關系.

18.54°##54度

【分析】本題主要考查了圓的基本性質，等腰三角形的性質，根據圓的基本性質，可得

答案第5頁，共12頁

NOEB=4OBE,ZAOB=180,從而得至1]NOEB=NOBE=N4+/40B=36。,進而根據三

角形的外角的性質，即可求解.

【詳解】解：連接30,

???c。是。。的直徑,

0D=OE=0B,

:.Z0EB=A0BE,

?/AB=0D,

AB=OB,

AAOB=N4,

???//=18。，

.\ZA03=18°f

/OEB=/OBE=//+ZAOB=36°,

/.ZEOD=ZOEB+ZA=54°.

故答案為：54°

19.(1)再=6,x2=-4

(2)西=一；，X2=2

(3)X]=—4,4=2

2

(4)占=4,9=一§

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

（1）先移項，然后利用直接開方法解一元二次方程即可；

（2）利用十字相乘法進行因式分解得出（2x+l）（x-2）=0,然后得出兩個一元一次方程，

再解一元一次方程即可；

（3）利用十字相乘法進行因式分解得出（x+4（x-2）=0,然后得出兩個一元一次方程，再

答案第6頁，共12頁

解一元一次方程即可；

(4)先移項，然后利用提公因式法進行因式分解得出(x-4)(3x+2)=0,再得出兩個一元

一次方程，最后解一元一次方程即可.

【詳解】(1)解：(XT)?-25=0,

移項得：(x-以=25,

開平方得：x-1=±5,

再=6,X?~—4?

(2)解：2X2-3X-2=0,

因式分解得：(2x+l)(x-2)=0,

???2%+1=0或％-2=0,

解得：再=一：，X2=2；

(3)解:X2+2X-8=0,

因式分解得：(X+4)(X-2)=0,

.?.x+4=0或工一2=0,

解得：再=-4,x2=2；

(4)M：3x(x-4)=2(4-x),

移項得：—4)—2(4—x)=0,

分解因式得：(x-4)(3x+2)=0,

x-4=0或3x+2=0,

2

解得：占=4,x2=--.

20.平均畝產量的增長率為30%

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據等量關系列出方程，設平

均畝產量的增長率為x,根據2022年種植水蜜桃20畝，平均畝產量是1000kg,2023年總

產量增長到33800kg,種植面積的增長率與平均畝產量的增長率相同，列出方程解方程即

可.

【詳解】解：設平均畝產量的增長率為x,由題意得：

答案第7頁，共12頁

20(l+x)xl000(l+x)=33800.

解得X1=0.3,x2=—2.3(舍).

答：平均畝產量的增長率為30%.

9

21.

⑵不存在，理由見解析

(3)A=28.

【分析】本題考查了一元二次方程的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵能夠正確運用

判別式的表達式以及根與系數的關系式.

(1)根據一元二次方程的判別式△>(),然后解不等式即可；

(2)假設存在，代入兩根和，兩根積，求出左，再作出判斷.

(3)聯立再+無2=3,3再+2%=2可解得方程的一個根，再將這個根代入原方程即可求得k

的值.

【詳解】(1)解：?.?關于x的一元二次方程-4=0有兩個不相等的實數根，

A=9+4Z;>0,

99

解得：左〉-不即人的取值范圍為《>-不

44

(2)解:X],%是方程/-3x4=0的兩個實數根，

X]+%=3,-x2=-k,

'：2xj+xrx2+2X2=2(1+x2)+x1x2=10,

.16—后=10,

解得人=-4,

9

???方程有實數根時k的取值為后〉-二，

4

二不存在k值使得2匹+xtx2+2X2=10.

(3)解：由國+々=3,得再=3-.，

代入3占+2X2=2中得，3(3—x2)+2X2=2

答案第8頁，共12頁

解得：尤2=7,

把“2=7代入原方程得,7—3x7-左=0,

解得：上=28.

22.100元或110元

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意并找出題目中的等量關

系列出方程.設月餅每盒降了x元，根據降價后的銷量x每件的利潤=1200,根據等量關系

列出方程并求解即可.

【詳解】解：設月餅每盒降了x元.根據題意，得：

(20+2x)(120-80-x)=1200,

解得：甌=20或％=10,

120-x=100或110,

答：降價后該月餅每盒的售價為100元或110元.

23.(1)不是，理由見解析；(2)加=0或%=4.

【分析】(1)不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為切=5,心=

-4,二者做差后可得出5-(-4)=9#2,進而可得出方程--x-20=0不是“隔根方程”;

(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為々=-1,x2=l-m,結合

關于x的方程/+妙葉〃?-1=0是“隔根方程”，可得出關于m的含絕對值符號的一元一次方

程，解之即可得出”的值.

【詳解】解：(1)不是，理由如下：

"X2-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0,

■■xi—5,X2=-4.

?■?5-(-4)=9先，

二方程/-x-20=0不是“隔根方程”.

(2)'-x2+mx+m-1=0,即(x+1)[x+(w-1)]=0,

'?X1-1,X2~~1-加.

又???關于x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”，

.'.|1-m-(-1)|=2,

解得：加=0或加=4.

答案第9頁，共12頁

【點睛】本題考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定義，理解題意是解題的關鍵.

24.(1)見解析；(2)y

【分析】(1)作CH1CD于H,如圖，根據垂徑定理得到AH=BH,利用等量減等

量差相等可得到結論；

(2)連接OC,如圖，設CH=x,利用勾股定理得到。82=℃2-CHX42

O^OA2-AH2=62-(3+x)2,則42--=62-(3+x)2,然后解方程求出x即可得到CD的

長.

【詳解】(1)作C〃1C。于〃，如圖，???O//1CD,：.CH=DH,AH=BH,

：.AH-CH=BH-DH,；.AC=BD；

(2)連接。C,如圖，設C"=x.在RtZkOC〃中，OgOC?-Cg42-x2.在RgON”中,

OH2=OA2-AH2=62