人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第二課時橢圓的方程及性質的應用課標要求素養要求1.鞏固橢圓的簡單幾何性質.2.會判斷直線與橢圓的位置關系.3.能利用弦長公式解決相關問題.通過運用橢圓的幾何性質解決問題，提升邏輯推理及數學運算素養.自主梳理1.點與橢圓的位置關系點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系：點P在橢圓上?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；點P在橢圓內部?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1.2.直線與橢圓的位置關系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系判斷方法：聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一個關于x(或y)的一元二次方程位置關系解的個數Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ＝0相離無解Δ<03.弦長公式設直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)，所以|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（kx1－kx2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1－x2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y1－\f(1,k)y2))\s\up12(2)＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1－y2）2)＝__eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯立消去y(或x)后得到關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系求得.利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)若直線的斜率一定，則當直線過橢圓的中心時，弦長最大.(√)(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與點P(b，0)，過點P可作出該橢圓的一條切線.(×)〖提示〗因橢圓中a>b>0，所以點P(b，0)在橢圓的內部，故無法作橢圓的切線.(3)直線y＝k(x－a)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的位置關系是相交.(√)(4)直線與橢圓的位置關系有：相離、相切、相交三種.(√)2.已知F1，F2是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個焦點，P為橢圓上一動點，則使|PF1|·|PF2|取最大值的點P為()A.(－2，0) B.(0，1)C.(2，0) D.(0，1)或(0，－1)〖答案〗D〖解析〗由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝4，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝2，即P點坐標為(0，－1)或(0，1)時，取“＝”.故選D.3.過橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于A，B兩點，則|AB|等于()A.4 B.2eq\r(3) C.1 D.4eq\r(3)〖答案〗C〖解析〗因為eq\f(x2,4)＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦點坐標為(eq\r(3)，0)，將x＝eq\r(3)代入eq\f(x2,4)＋y2＝1得，y＝±eq\f(1,2)，故|AB|＝1.故選C.4.已知點P(m，1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，則實數m的取值范圍是________.〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(6),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，＋∞))〖解析〗由題意可知eq\f(m2,4)＋eq\f(1,3)＞1，解得m＞eq\f(2\r(6),3)或m＜－eq\f(2\r(6),3).題型一直線與橢圓位置關系的判斷〖例1〗當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144分別滿足下列條件：(1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點？解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)當Δ＝0時，得m＝±5，此時直線l與橢圓有且僅有一個公共點；(2)當Δ>0時，得－5<m<5，此時直線l與橢圓有兩個公共點；(3)當Δ<0時，得m<－5或m>5，此時直線l與橢圓無公共點.思維升華判斷直線與橢圓的位置關系，可以直接由直線方程和橢圓方程聯立后，通過消元得到關于x(或y)的一元二次方程，然后利用判別式判斷即可；有些題目也可注意直線所恒過的點與橢圓的位置關系，從而得到所求范圍.〖訓練1〗若直線y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1有兩個公共點，求m的取值范圍.解把直線方程y＝x＋m與橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－eq\r(5)<m<eq\r(5).故m的取值范圍為(－eq\r(5)，eq\r(5)).題型二直線與橢圓的相交弦問題〖例2〗已知橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1和點P(4，2)，直線l經過點P且與橢圓交于A，B兩點.(1)當直線l的斜率為eq\f(1,2)時，求線段AB的長度；(2)當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程.解(1)由已知可得直線l的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－4)，即y＝eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1))可得x2－18＝0，若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（x1－x2）2＋\f(1,4)（x1－x2）2)＝eq\f(\r(5),2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(5),2)×6eq\r(2)＝3eq\r(10).所以線段AB的長度為3eq\r(10).(2)由題意易知l的斜率存在.設l的斜率為k，則其方程為y－2＝k(x－4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，,y－2＝k（x－4），))消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(32k2－16k,1＋4k2)，由于AB的中點恰好為P(4，2)，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，且滿足Δ>0.所以直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.思維升華研究直線與橢圓相交的關系問題的通法是通過解直線方程與橢圓方程構成的方程組，利用根與系數的關系或中點坐標公式解決.涉及弦的中點，還可使用點差法：設出弦的兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點坐標與斜率的關系.〖訓練2〗在橢圓x2＋4y2＝16中，求通過點M(2，1)且被這一點平分的弦所在直線的方程.解法一如果弦所在直線的斜率不存在，即直線垂直于x軸，則點M(2，1)顯然不可能為這條弦的中點.故可設弦所在直線的方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓方程得x2＋4〖k(x－2)＋1〗2＝16，即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直線與橢圓有兩個交點，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.設弦的兩端點的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，滿足Δ>0.∴弦所在直線的方程為x＋2y－4＝0.法二設弦的兩個端點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓上，故有xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵點M(2，1)是PQ的中點，故x1≠x2，兩邊同除以(x1－x2)得，(x1＋x2)＋4(y1＋y2)eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－eq\f(1,2).∴弦所在直線的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0(經檢驗符合題意).題型三最短距離問題〖例3〗在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1上求一點P，使它到直線l：3x－2y－16＝0的距離最短，并求出最短距離.解設與橢圓相切并與l平行的直線方程為y＝eq\f(3,2)x＋m，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0得m2＝16，∴m＝±4，故兩切線方程為y＝eq\f(3,2)x＋4和y＝eq\f(3,2)x－4，顯然y＝eq\f(3,2)x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它們之間的距離即為所求最短距離，且y＝eq\f(3,2)x－4與橢圓的切點即為所求點P.故所求最短距離為d＝eq\f(|16－8|,\r(32＋（－2）2))＝eq\f(8,\r(13))＝eq\f(8\r(13),13).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,7)＝1，,y＝\f(3,2)x－4))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(7,4)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,4))).思維升華本題將求最小距離問題轉化為直線與橢圓的相切問題.此類問題的常規解法是直線方程與橢圓方程聯立，消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程，根據判別式Δ＝0建立方程求解.〖訓練3〗已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離.解設與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切的直線方程為x－y＋a＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0))消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴與直線l距離較近的切線為x－y＋3＝0，它們之間的距離即為所求最短距離，且x－y＋3＝0與橢圓的切點即為所求點P.故所求最短距離為d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(1,3))).1.一種思想——方程思想解決直線與橢圓的位置關系解決直線與橢圓的位置關系問題，一般采用代數法，即將直線方程與橢圓方程聯立，通過判別式Δ的符號決定位置關系.同