學軍中學新高一分班考數學卷

一、選擇題：本大題有8個小題，每小題3分，共24分.

1.下列四個命題：

①平分弦的直徑垂直于弦；②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；

③三角形有且只有一個外接圓；④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.

其中真命題的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】根據圓周角定理、確定圓的條件、垂徑定理，分別判斷即可.

【詳解】①平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故①錯誤；

②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補，故②錯誤；

③三角形有且只有一個外接圓，是真命題；

④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，是真命題，

所以③④是真命題.

故選：B.

2.如圖，在2014年的體育中考中，某校6名學生的體育成績統計如圖，則這組數據的眾數、中位數、方差

依次是（）

A.28,28,1B.28,27.5,3C.28,28,3D.28,27.5,1

【答案】A

【解析】

【分析】根據統計圖，列出這組數據，利用眾數、中位數、方差的定義和計算公式即得.

28+28

【詳解】由統計圖可知，這組數據27,27,28,28,2830,顯然眾數為28,中位數為-------=28,

2

_11

平均數為：%=-（27+27+28+28+28+30）=28,則方差為：52=-（12+12+22）=1.

66

故選：A.

3x—2y=3〃-4

3.已知方程組I。。八.的解滿足則〃的取值范圍是（）

2x-3y=2a-l

A.a>lB.a<lC.a>5D.a<5

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，用。表示出九一y即可列出不等式求解得結果.

3%-2y=3。-4

【詳解】由方程組4ccc1,得5x—5y=5〃—5,即%—y=a—1,而

2x-3y=2a-l

因此a—l>0,解得所以。的取值范圍是々>1.

故選：A

4.如圖，在直角ABAD中，延長斜邊8。到點C,使BD=2DC,連接AC,tan3=』，貝han/C4O的值

3

是（）

A.昱B.走C.-D.-

3535

【答案】D

【解析】

【分析】過點。作交AO的延長線于點E，由tanB=*,即空=?,設AT>=5x,則

3AB3

35

AB=3x,可得△CDE~ABZM,進而求得CE=—x,DE=—x,則求得tanNC4D的值.

22

【詳解】如圖，過點C作CELAO交AD的延長線于點E,

因為tanB=3,即絲=*,

3AB3

設AD=5x,貝UAB=3x,

因為NCDE=ABDA,ZCED=ZBAD,

所以ACDE?ABDA,

,CEDECD1

所以===—

ABADBD2

35

所以CE=—x,DE=—x,

22

FC1

所以tanNC4D=2=±.

AE5

故選：D.

5.如圖，在RtAiABC中，AC,BC,ZACB=90°,四邊形〃均為正方形，點E在AC上，點

/在3c上，J為邊。G的中點，則G4的長為（）

60100

A.——B.1C.—D.-----

2177259

【答案】C

【解析】

32

【分析】設GH=x,由勾股定理可得A3=5,利用三角形相似可求得“B=—x,AF=-x,又

43

AB^AF+FG+GH+HB,可得x的方程，求解即可.

【詳解】設GH=x,

因為RtZ\"C中，AC=4,3C=3,ZACB=90°,

所以AB=JAC2+BC2=打+42=5,

因為四邊形DEFG,G〃"均為正方形，所以RSBHZ~RUEK4~RG5C4,

所以型=空BC3333

所以HB=3IH=3GH=±x,

IHAFAC4444

448

因為J為邊。G的中點，所以EG=DG=2x,所以AF=—EF=—EG=—x,

333

o360

又所以A8=+FG+G^Z+HB,所以5=—x+2%+%H—x,解得％=—.

3477

故選：C.

6.如圖，正方形O43C的一個頂點。是平面直角坐標系的原點，頂點A,C分別在y軸和x軸上，P為邊

0c上的一個動點，且BPLPQ，BP=PQ,當點尸從點C運動到點。時，可知點。始終在某函數圖象

上運動，則其函數圖象是（）

C.拋物線的一部分D.不同于以上的不規則曲

【答案】A

【解析】

【分析】首先設正方形Q45c的邊長是則點2的坐標是（。,。），設點。的坐標是（x,y）,點尸的坐標

是。,0）（0W6Wa）;然后根據BPLP。，BP=PQ,推得y=a—>，再根據OwbWa,可得。

所以其函數圖象是線段.

【詳解】設正方形Q46c的邊長是。，則點3的坐標是

設點。的坐標是（工,丁），點尸的坐標是（b,Q）,（,O<b<a）,

PQ±BP,

上x入’一——L19

x-ba-b

a2y2

①,

???PQ=BP,

yl(x-b)2+y1=yj(a-b)2+O2，

22

/.(x-Z?)+y=(a-Z?)2+Q2②，

把①代入②，可得已+4（"4+心

整理，可得V=（0—6）2,

1.,y>0,b<a,

/.y=a-b,

*:G<b<a,

:.0<y<a,

?,?點。在某函數圖象上運動，則其函數圖象是線段.

故選:A.

7.如圖，以點M（—5,0）為圓心，4為半徑的圓與x軸交于A,2兩點，尸是。M上異于A,8的一動點，直

【答案】C

【解析】

【分析】通過證明相似三角形的方法，結合圓的幾何性質求得所.

【詳解】連接NE,設圓N的半徑為r，ON=x,則OD=r—x,OC=r+x,

依題意，04=9,03=1,ZAPB=ZBOD=ZCPD=ZAOC=90°,

對頂角ZPBA=ZOBD,所以ZPAB=ZODB,

匚…人匚…OCOAr+x92c

所以~△AOC4,所以=,----=-----J2—x—9,

OBOD1r-x

由垂徑定理得OE?=OF2=NE2-ON2=r2-x2=9.OE=OF=3,

所以印=6.

故選：C

8.已知二次函數圖象的對稱軸為九=1,且過點A(3,0)與3(0,1.5),則下列說法中正確的是()

①當0?兀＜2應+1時，函數有最大值2；

②當0KxK2j5+l時，函數有最小值一2；

3

③尸是第一象限內拋物線上的一個動點，則APAB面積的最大值為萬；

④對于非零實數相，當兀〉1+工時，y都隨著x的增大而減小.

m

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，求出二次函數解析式，再利用二次函數的圖象、性質逐一判斷即可.

【詳解】由二次函數圖象的對稱軸為九=1,且過點A(3,0),得該圖象還過點(-1,0),

設二次函數的解析式為y=a(x+l)(x—3),由圖象過點3(0,L5),得—3a=L5,解得a=—1，

2

11

因此二次函數的解析式為y=—5(x+l)(x—3)=—Q(x—1y9+2,

對于①，當0?%＜2應+1時，x=l,V取得最大值2,①正確；

對于②，當OWxW20+l時，x=2^2+1,V取得最小值-2,②正確；

3113

對于③，設直線AB方程為y=丘+—,由％=3,y=。，得左二—一,即直線AB：y=——X+—,

2222

3

過點P作直線PQ//y軸交A3于。，設P(x0,%)(0＜與＜3),取/=5，

11391Q273

則尸。二—彳(%—+2—(―彳/+彳)=G,此時△以□&面積為彳X[x3=—^＞彳，③錯誤；

22282o162

對于④，當機＜0時，1當1+工＜%＜1時，y隨著X的增大而增大，④錯誤，

mm

因此說法中正確的是①②.

故選：A

二、填空題：本大題有8個小題，每小題5分，共40分

9.已知。是實數，且滿足(a-3)萬工=0,則代數式2a2—4a+1的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】由根式有意義，求出。的范圍，結合等式特點求出。的值，代入所求式計算即得.

詳解】由(a—3)萬工=0有意義，可得2—即aW2,故a—3#0,

依題意，須使2—。=0,即。=2,

此時，2?2-4?+l=2x22-4x2+1=1-

故答案為：1.

33

10.已知函數y=Z(x+l)(x—：),下列說法：①方程左(x+l)(x——)=—3必有實數根；②若移動函數圖象

kk

使其經過原點，則只能將圖象向右移動1個單位；③當左＞3時，拋物線頂點在第三象限；④若左＜0,則

當尤＜-1時，y隨著x的增大而增大，其中正確的序號是.

【答案】①③

【解析】

【分析】利用二次函數與工軸的交點及二次函數的性質，逐一判斷各個選項即得.

33

【詳解】二次函數y=上口+1)(%——)與x軸交于點(-1,0),(-,0),

kk

333

對于①，方程左(x+l)(x——)=—3化為依(x+1——)=0,解得％=0或X=——1,①正確；

kkk

3

對于②，將函數y=k(x+l)(x—-)圖象向右移動1個單位或向右(左＜0)、

k

向左(左〉o)平移1個單位，所得函數圖象都過原點，②錯誤；

3

32-1

對于③，當左＞3時，一＜1,拋物線開口向上，對稱軸k又與x軸有兩個交點，

kX=27Q

則拋物線頂點在第三象限，③正確；

對于④，取左=—1,拋物線y=—(x+D(x+3)的開口向下，對稱軸為無=—2,

當—24＜—1時，y隨著尤的增大而減小，④錯誤，

所以正確的序號是①③.

故答案為：①③

1L如圖，△COD是AAOB繞點。順時針旋轉40。后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且NA。。的度

數為90。，則的度數是.

【答案】60°

【解析】

【分析】根據等腰三角形、直角三角形的知識求得正確答案.

【詳解】依題意得ZBOC=90°-40°-40°=10°,

1800-40°

而Q4=OC,所以NOAC=-----------=70°

2

由于NAO3=40°+10°=50°，

所以ZB=180°—70°—50。=60。.

故答案為：60°

12.如圖，在5x5的正方形網格中，△ABC為格點三角形（頂點都在格點上），則圖中與△A8C相似的最小

的三角形與最大的三角形的面積比值為.

10

【解析】

【分析】根據相似三角形的知識求的正確答案.

【詳解】不妨設小正方形的邊長為1,則BC=0,AB=2,AC=1再，

則最小的三角形（最短的邊長為1）邊長分別為也

如下圖所示三角形DEF,

最大的三角形（最長的邊長為5虛）的邊長分另!J為1乂癡=&5,0*癡=26,&\何=5忘,

如下圖所示三角形/GH.

1

最小的三角形與最大的三角形的相似比為礪，

所以面積比為2.

10

故答案為：—

13.如圖，邊長為2的等邊VA3C的頂點A、B分別在NMON的兩邊上滑動，當NMQV=45。時，點。與

【答案】1+0+6

【解析】

【分析】取A3中點E,確定OC取得最大值的條件，再結合直角三角形求解即得.

【詳解】取中點E，連接CE,OE,

由7ABe是等邊三角形，得CE，AB,CE=2sin60。=6，

顯然OC<OE+CE,當且O,E,C三點共線時取等號，此時

在OE上取點尸，使石尸=石4=1,連接AF,則AR=J5,NAEE=45°,

在等腰△OA5中，由OELAB,得NAOF=22.5°，則/。4R=45°—22.5°=NAO/，

于是OF=AF=及，所以點。與點C的最大距離是l+0+6.

故答案為：1+J^+G

M,

BA

OAN

14.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點。是對角線AC,5。的交點，點E為邊CD的中點，連接3E,過

點。作。尸，3區垂足為憶連結0死則。尸的長為.

AD

BC

【答案】工而##3?

55

【解析】

【分析】在BE上截取56=5,連接0G,證明△OBGgaOb，從而推出。GLOE,繼而求出相

關線段長，在等腰直角三角形。GF中即可求得答案.

【詳解】在8E上截取BGuCF,連接。G,

AD

K

BC

四邊形ABCD為邊長為4的正方形，即

AB=BC=CD=AD=4,ZBCD=ZABC=ZBAD=ZADC=90°,

在RIABCE中，CF_LBE,ZEBC=ZECF,

則NO3G=NOGF,

在AOBG^OCF中，OB=OC,ZOBG=ZOCF,BG=CF,

故△OBG絲AOCF,：OG=OF,ZBOG=ZCOF,

故ZGOF=ZGOC+ZCOF=ZGOC+ZBOG=90°，故。G，OE,

又BC=DC=4,DE=CE=2,故BE7BC?+CE?=2⑥

由射影定理得BC2=BFBE，即42=275,BF=半，

EF=BE-BF=^-

5

又；CF'=BF?EF，故。/=勺5，則GF=BF-BG=BF-CF=囚"

55

在等腰直角三角形。GF中，OF=^GF=^^~，

25

故答案為：友。

5

15.如圖，矩形ABC。為。。的內接矩形，AB=y[3,BC=3,點E為弧BC上一動點，把弓形沿AE折疊,

使點。恰好落在弧AE上，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】電—走

42

【解析】

【分析】根據題意推出AABO為等邊三角形，可得點B為弧AE所在圓的圓心，進而求出加'的長，結合扇

形面積公式，即可求得答案.

【詳解】連接AC,加，則ACM交于。點,

=J(6『+32=2

得AC=5。

AO=BO=AB=6

故AABO為等邊三角形，點B為弧AE所在圓的圓心；

結合題意把弓形沿AE折疊，使點。恰好落在弧AE上，可知

../山石=NOAE=30°=>3尸=ABtan30°=1，

故陰影部分面積為90[‘3)\后〉<1=3兀6,

360242

故答案為：里一立

42

16.己知A是雙曲線y=2在第一象限上的一動點，連接A。并延長交另一分支于點2,以AB為邊作等邊

X

三角形A3C,點C在第四象限，已知點C的位置始終在一函數圖象上運動，則這函數解析式是.

【答案】y=--(x>0)

X

【解析】

【分析】設根據已知條件求得羽y的關系式,從而求得正確答案.

【詳解】依題意，三角形ABC是等邊三角形，連接OC,

則OC是線段垂直平分線，AB±OC,

設A]。,一],貝！—,oc|=VsOA|,

而+[2],所以10cl=川==[P+7,

過C作CDLx軸于點。，則NAOD=NOCD,設。(羽y),

22

則tanZAOD=tanN。。。,2=二'整理得'=一(％'

a-y

12

在直角三角形COD中，CD2+OD1=OC2即￡+y2=3a2+

2<2A2

將y=—幺》代入上式得/+-—X=36+g,整理得

2I2,aa

C在第四象限，得x=2叵，則y=—￡xZ@=—Ga

a2a

所以孫=-6,則y=_g（x>0）,

所以這函數的解析式是y=--（x>0）.

X

故答案為：y=—（x>0）

x

三、解答題：本大題有5個小題，共56分.

17.如圖，己知/A,請你僅用尺規，按下列要求作圖和計算（保留作圖痕跡，不寫畫法）:

--------------

（1）選取適當的邊長，在所給的/A圖形上畫一個含NA的直角三角形A3C,并標上字母，其中點C為直

角頂點，點8為另一銳角頂點；

（2）以AC為一邊作等邊△AC￡）；

（3）若設/A=30。，8C邊長為a,則8。的長為.

【答案】（1）見解析（2）見解析

(3)幣a或a

【解析】

【分析】（1）在一邊上任取一點C,然后過點C作AC的垂線與另一邊相交于點8,則VA3C即為所求作

的三角形；

（2）分別以A、C為圓心，以AC長為半徑畫弧，相交于點。，連接A。、C。則AACZ）即為所求作等邊

三角形；

（3）根據30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出A2的長度，再利用勾股定理求出AC的長度，然后分

兩種情況①點。在AC的下方時，作。交BC的延長線于點E,求出。E、CE的長度，然后求出

8E的長度，再利用勾股定理列式計算即可得解，②點。在AC的上方時，求出44。=30°,根據等邊

三角形的性質可得AB,CD，再根據對稱性可得△A8D與VA3C關于AB成軸對稱，根據軸對稱的性

質可得BD=BC.

【小問1詳解】

如圖所示，VA3C為所求作的直角三角形（答案不唯一）；

小問2詳解】

如圖所示，AACD為所求作的等邊三角形，有點。在AC的上方與下方兩種情況；

【小問3詳解】

ZA=30°>3c邊長為.?.AB=28C=2a,

根據勾股定理，AC=^AB2-BC2=7（2a）2-a2=也a,

①點。在AC的下方時，作。E1.5C交3C的延長線于點E，

貝,CE=73a.sin60°=4ia^—=-a,

2222

一35

所以，BE—BC=CE=a-\—a=—a,

22

在RtABDE中，BD=飛DE2+BE2=，（亭tz）2+（|a）2=y/la;

②點。在AC的上方時，-.-ZBAC^30°,

,-.zaAD=60°-30°=30°,:.NBAC=NBAD,

:.AB±CD,.?&45￡）與丫48。關于48成軸對稱，..%>=3。，

,/BC=a,:.BD=a；

綜上所述，BD的長度為缶或a.

DE

18.如圖，P8為。。的切線，8為切點，過8做0P的垂線BA,垂足為C,交0。于點A,連接以、AO,

并延長A。交。。于點E,與尸8的延長線交于點D

D

OC2

（2）若——=—,且OC=4,求朋的長和tanD的值.

AC3

【答案】（1）證明見解析；

（2）AP—3^3，—.

12

【解析】

【分析】（1）連接08,利用圓的性質及全等三角形性質證得。4,K4即可推理得證.

（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性質求出上4；連接BE,可得OC/ABE,再利用平行線

推比例式求出3D,進而求出tan。.

【小問1詳解】

連接08,由得。是弦的中點，即0P垂直平分線段

于是9=必，而Q4=OB,OP=OP,則△0Q4絲△0P5,

因此NQ4尸=NOBP,又PB切0。于點3,

則NOA尸=NO6P=90°，即

所以必是。。的切線.

【小問2詳解】

由界=與'OC=4>得AC=6,40=J。。?+3=2屈,

21（-Z3

由（1）知，ZOAP=ZOCA^90°）又ZAOP=NCCM,則

「?PAAC3

因此——所以PA=3jF；

AO~OC2

由（1）得尸5=尸4=3而，OP=y/A（f+AP-=13-連接盛，

由AE為的直徑，得ZEBA=90°=ZOCA，則BEHOC,BE=2OC=8,

<bBDBEm8即解BD得8皿=卷2受4J13

于是——=——

PD0P

ta3%=#=?

在RtZkOBD中,BD24而12.

5

19.已知：如圖,菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，且AC=12cm,16cm.點尸從點8出

發，方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，直線EF從點。出發，沿。B方向勻速運動，速度為lcm/s,

EFLBD,且與ADBD,CD分別交于點E,Q,F；當直線所停止運動時，點尸也停止運動.連接PR

設運動時間為f(s)(0</<8).解答下列問題:

(1)當f為何值時，四邊形APED是平行四邊形？

(2)設四邊形APFE的面積為y(cm2).求出y與/之間的函數關系式；

(3)是否存在某一時刻f,使S四邊彩APFE：S菱形ABCD=17：40?若存在，求出f的值，若不存在，請說明理

由.

40

【答案】(1)當/=—s時，四邊形APFO是平行四邊形

9

3,6

(2)y=——廠+T+48

■45

(3)存在，t=4

【解析】

【分析】(1)當AP=D尸時，四邊形APED為平行四邊形，用/表示出AP=10-乙DF=-t,列等式

4

計算；

(2)作高CM,利用面積相等求出。0的長，由圖可知：四邊形APEE的面積=四邊形APED的面積

—△灰D的面積；代入求出V與1之間的函數關系式;

(3)先計算菱形ABC。的面積，再將(2)得到的丁代入到式子S四邊形位FE：S菱形ABS=17:40中，解出

即可.

【小問1詳解】

四邊形A3CD為菱形,

:.BO=-BD^-X16=8,AO=-AC=-xl2=6,AC1BD,

2222

AB-\/62+82=10，

由題意可知：BP=t,DQ=t,則AP=10-r,

.理=嗎FQ.3

-,-FQ//OC=Lt

OCOD684

;EF_LBD，由勾股定理得:

?：AB//CD,:.AP//DF,

當/時，四邊形APED為平行四邊形，

54040

貝1]10-=乙t=--；所以當f=一時，四邊形APED是平行四邊形;

499

【小問2詳解】

過C作。/14?于“，則S〃BC=LACBO=LABCM,

ZA/iQL22

:.AC.BO=AB.CM,/.12x8=10CM,CM=9.6,

133

貝Uy-S四邊形4尸—%皿=/x9.6x(10-)+1—x—fx2xf=—產+1.2/+48?

244

【小問3詳解】

存在，

S菱形ABCD=gxACx5￡)=gxl2xl6=96,

32

,S四邊形AP五E:S菱形A5CO—17:40,貝|4]J_，

96-40

19

5?—8/—48=0,解得：％=4,t2=——(舍去)，

<8,/1=4符合題意，

當，=4時，S四邊形4P莊：S菱形A5CD=17:40.

C

20.為控制H7N9病毒傳播，某地關閉活禽交易，冷凍雞肉銷量上升.某公司在春節期間采購冷凍雞肉60箱

銷往城市和鄉鎮.已知冷凍雞肉在城市銷售平均每箱的利潤yi（百元）與銷售數量x（箱）的關系為

\x+5,(0<x<20)

M=<,在鄉鎮銷售平均每箱的利潤為（百元）與銷售數量/（箱）的關系為

-----x+7.5,(20<x<

[401

6,(0<Z<30)

%=11

--Z+8,(30<Z<60)

（1）f與尤的關系是：將為轉化為以尤為自變量的函數，則%等于？

（2）設春節期間售完冷凍雞肉獲得總利潤W（百元）當在城市銷售量x（箱）的范圍是0〈尤<20時，求

W與x的關系式；（總利潤=在城市銷售利潤+在鄉鎮銷售利潤）

（3）經測算，在20<x430的范圍內，可以獲得最大總利潤，并求出此時尤的值.

—x+4,（0<x430）

【答案】（1）Z=60-x,%=卜5''；

6,（30<x<60）

1,

（2）W=-—+5X+240；

30

（3）x=30,最大382.5

【解析】

【分析】（1）將"60—X代入解析式為可得;

（2）根據自變量范圍，選擇相應解析式計算最大利潤即可;

（3）根據自變量范圍，選擇相應解析式表示出W,然后由二次函數性質可得.

【小問1詳解】

6,(0<60-%<30)6,(30<x<60)

由題知，t=6Q-x,則1/、/、1.、，即

-(60-%)+8,(30<60-%<60)+4,(0<x<30)

+4,(0<xK30)

%=1

6,(30<x<60)

【小問2詳解】

當在城市銷售量x（箱）的范圍是0〈尤<20時，在鄉鎮銷售量為60—xe（40,60）,

、1,

所以W=+5x)——x+5%+240.

)30

【小問3詳解】

卬=［，x+7.5卜+代工+4］（60—x）=—需/+小+240,

當20<x430時,

由二次函數性質知，函數開口向下且對稱軸為x=——>30,

11

1,3

當x=30時，最大值^一一X302+-X30+360=382.5（百元）.

402

21.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2,2）,點2的坐標為（6,6）,拋物線經過A、0、B三

點，連接。4、OB、AB,線段AB交y軸于點E.

（1）求點E的坐標；求拋物線的函數解析式；

（2）點尸為線段。2上的一個動點（不與點。、B重合），直線跖與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸

右側），連結ON、BN,當點廠在線段。3上運動時，求A30N的面積的最大值，并求出此時點N的坐

標；

（3）連結⑷V,當ABON面積最大時，在坐標平