專題02：橢圓-2021年高考三輪圓錐曲線專題突破(全國通用)

一、單選題

22

1.己知橢圓C：\+:=1(?！等恕?)的左、右焦點分別為￡(-。，0),耳(c,o),若橢圓C上存在一點尸，

ab

sin/PFFc

使得=一，則橢圓C的離心率的取值范圍為()

s；m/D：」a

APFXF2

A.jo,jB.^0,A/2—ijC.—1,1)D.

【答案】C

【分析】在△尸片場中，由正弦定理可得,結合已知條件得到同尸耳|=°忸閶，設

smP耳smPF,F[

點尸(七,%)，得至1]|尸好=。+勿0，|。月|=。一次0,整理得到/=半—4="e,根據橢圓的幾何性

1111e(c+a)e{e-1)

質可得%>-。，化簡得到e?+2e—1>0，即可求解.

【詳解】在工中，由正弦定理可得「尸[1=,

sinP耳與smPF2Fx

sinZPF^Ecac....

又由./D/=一,即?/pg=?，即。附=CPM,

二/灰芍1111

sm/P耳工asinAPFXF2sm/P鳥耳

設點尸Oo，%),可得|珍|=a+氣,|尸鳥|=a—ex(),

/、、a(c-a)a(e-l)

則”(a+e%0)=c(za—e/),解得-----=-~~—,

e(c+a)e(e-1)

a(e—1)

由橢圓的幾何性質可得%>—〃，即——W>—a,

e(e-l)

整理得e?+2e—1>0，解得e〈-夜-1或e>0-1，

又由ee(0,l),所以橢圓的離心率的取值范圍是

故選：C.

【點評】在心中，由正弦定理和結合己知條件得到。歸娟=。歸耳],設點尸(%,%),結合橢圓的焦

a(c-a)a(e-Y)

半徑公式，得到%=———7=4—E，根據橢圓的幾何性質可得玉)>-〃，列出關于離心率e的不等式

e(c+a)e(e-1)

是解答的關鍵.

2.橢圓C的焦點分別為￡（—1,0）,乙（1,0）,直線/與。交于A,3兩點，若麗=2耶，離?記=0,

則C的方程為（）

2222222

.%21nxy1rxy_1nxy

A.---1-y=]B.----1--------=1C.---1---------1D.----1—1

2324354

【答案】D

【分析】根據所給條件可得出點A,B的坐標間的關系，代入橢圓方程求出。即可的解.

【詳解】因為而?祗=0,所以Ag,大名，過3作于C,

由麗=2用知，過點耳，且46=256，如圖，

所以

設則5(—2,一

代入橢圓方程可得，〈年,解得.=5,

又c=l，所以廿=4,

所以橢圓的方程為土+乙=1，

54

故選：D

【點評】本題考查了橢圓基本量的運算，考查了橢圓的定義，關鍵點是把幾何關系轉化為數量關系，考查

了轉化思想，有一定的計算量，屬于基礎題.

22

3.已知點可、B是橢圓二+y=1(?！?〉0)的左、右焦點，點尸是橢圓上位于第一象限內的一點，經

a

過點尸與鳥的內切圓圓心/的直線交x軸于點Q,且百=2匝，則該橢圓的離心率為()

1112

A.—B.-C.一D.-

2343

【答案】A

s=四=也必—比

【分析】由題意可知為/耳的角平分線，推導出《"

PQ明|四'可得出闋閨Q'

^APF2Q

\PI_\PF\PIa—.―.

2利用比例關系可得出一，再結合尸/=2/Q可求得橢圓的離心率的值.

\iQ一陽0'IQC

【詳解】如圖，連接陽、IF2,/是心的內心，可得有、心分別是NP￡鳥和NP6片的角平分

線，

由于經過點P與APg的內切圓圓心/的直線交了軸于點Q,

則PQ為/耳尸鳥的角平分線，則。到直線「耳、尸叢的距離相等,

尾竺2=四=也因.絲色.四

n7J

S°|P6|\QF2\''\IQ\KQ'IQ\F2Q\

由比例關系性質可知■\PI\=就\PFX+身\PF2\-IP^I+IP^I—2aa

\FA\2cc

一一c\IQ\1

又因為尸/=2/Q,所以橢圓的離心率e=一=局=彳，

a\PI\2

故選：A.

【點評】求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據離心率的定義求解離心率e的值;

(2)齊次式法：由已知條件得出關于。、C的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解；

（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

4.已知橢圓C：二+4=1（。>匕>0）的左、右焦點分別為用，工，直線/過橢圓。的左頂點且與橢圓C

ab

TT

相切，P為直線/上任意一點.若的最大值為一，則橢圓。的離心率是（）

6

A.—B.-C.—D.立

2322

【答案】A

【分析】由橢圓對稱性不妨設P為第二象限的點，即尸（―。/）,/>0,設直線「耳，「鳥的傾斜角分別為

a,/3,則g=，-a,得出tan/^PK關于/的表達式，利用基本不等式結合已知條件可得關于〃,

c的關系，進一步得出橢圓的離心率.

由題意可知，/（-。,0）,月（G。），C>0,直線/的方程為x=-a,

設直線「與，尸工的傾斜角分別為a,B,

由橢圓的對稱性不妨設尸為第二象限的點，即尸（-a/）,/〉0,

則tana=---,tanQ=--—：：公寸&=/3-a,

C—QC+〃

(c\tan/?-tandz

tanZFPFtan(/?-6Z)=-----------------

l21+tandztan0

當且僅當t=—,即/=6時取等號.又tanNRPF2的最大值為￡=tan-=^；

tb63

c11

???b=&，即°2=3C2,整理得一=三，故橢圓C的離心率是7.

a22

故選：A.

【點評】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：根據題目的條件，找到。、氏c的關系，消去b,構造離心

率e的方程或（不等式）即可求出離心率.

2

5.己知橢圓￡：=+[=1（?！?〉0）的右焦點尸與拋物線C2-.y=2px（p＞0）的焦點重合,P為橢圓G

ab

與拋物線G的公共點，且P尸，1軸，那么橢圓G的離心率為（）

A.72-1B.3C.也D.73-1

32

【答案】A

2

C4c2

【分析】利用橢圓的右焦點與拋物線的交點重合得到P（c,2c）,將其代入橢圓方程得到二+—L卞=1,

aa-c

根據離心率公式得到/+2e-1=0，解方程可得結果.

【詳解】由丁=2內得e（§0）,

不妨設P在第一象限，因為PFLx軸，F或,0）,所以P（^,p）,

22

又在橢圓G：=+二=l（a〉6〉0）中，/9,。），

ab

所以C=g,即p=2c,所以尸（G2C）,

4c24c2

所以J+咚=1，所以=+^^=1,

abaa-c

c244

---1------=1e2H------=1

所以//,，所以11,

--1

ce

整理得e?+2e—1=0,解得e=0—1或e=—/―1（舍），

故選：A

【點評】本題考查求橢圓的離心率，解題關鍵是找到關于“,瓦c的等量關系.利用橢圓的右焦點與拋物線

2

C4c2

的交點重合得到P（C,2c）,將其代入橢圓方程得到二+—L方=1,根據離心率公式可得關于的等

aa-c

量關系.

二、多選題

22

6.已知點A（—1,—3）,3（2,0）和2（蒼丁）（—1＜兀＜2,?。?）在橢圓。：土+匕=1（〃2〉0,〃〉0）上，

mn

則（

A.c的焦點為(土2"0)B.C的離心率為逅

3

C.直線K4的斜率小于1D.△243的面積最大值為3

【答案】BCD

【分析】將A,3的坐標代入橢圓的方程可求出牡〃的值，從而可得橢圓方程，進而可求出a/,c的值，

于是對A,B選項可進行判斷；對于C,由題意可知，P點在曲線段之間，從而可求出直線K4的斜率

的范圍；對于D,求出與A5平行且與橢圓相切的直線，從而可得點尸的坐標，進而可求出△Z43的面積

的最大值

194

【詳解】解：將A,3的坐標代入橢圓的方程得一+—=1且一=1,得772=4,〃=12,所以橢圓的方

mnm

22

程為土+匕=1,其焦點為(0,±2四)，故A錯誤.

412

離心率為坐=46,故8項正確.

2V33

根據題意，可知尸點在曲線段A3之間，因為直線A3的斜率為1,所以直線E4的斜率小于1,故C項正

確.

,0-(-3),

由于直線48的斜率為左=1所以設與A6平行且與橢圓相切的直線為y=x+L將其代入橢

2;—二(一1)

圓方程整理得4爐+2比+產—12=0，由A=4產—16(產—12)=0得/=4或方=又，當/=4時，切點為

(-1,3)不合題意，舍去，當/=Y時，切點為(1,-3),即當尸取(1,-3)時，△PA3的面積最大，因為直

線為y=x—2,所以直線A3與切線y=x—4間的距離為4=7言=拒，所以△9的面積最大

值為工|AB|d=工J(_1_2)2+(—3—0)2義0=3,故。項正確.

故選：BCD

【點評】此題考查橢圓方程的方程及幾何性質，解題的關鍵是根據題意求出橢圓方程，考查計算能力，屬

于中檔題

22

7.已知圓錐曲線C：土—匕=1,若三個數1,7成等差數列，則C的離心率為()

4b

C.叵D.72

2

【答案】BC

【分析】首先求得6=±2,根據匕的不同值，分橢圓和雙曲線，求離心率.

【詳解】由三個數1,〃，7成等差數列，得2。2=8，解得人=岸.若6=-2,則圓錐曲線。：—-^=1

4b

22IyB22

即為橢圓C：—+^=1,可得離心率為J1—4=注；若力=2,則圓錐曲線C：L—匕=1即為雙

42V424b

曲線C：三—$=1,可得離心率為￡=巫.

42V42

故選：BC.

【點評】易錯點睛：本題容易因忽略萬的正負性或誤將/的值當作是6的值而致錯.

8.已知橢圓三+二=1的左、右焦點分別是耳，居，左、右頂點分別是A,A?，點P是橢圓上異

2520-

于A，4的任意一點，則下列說法正確的是()

A.附|+|%卜5

4

B.直線24與直線尸&的斜率之積為-w

C.存在點P滿足N￡PE=90°

D.若△耳「耳的面積為4百，則點P的橫坐標為土石

【答案】BD

【分析】根據橢圓的定義判斷A,設P(x,y),計算斜率之積，判斷B,求出當尸是短軸端點時的/耳「巴

后可判斷C,由三角形面積求得尸點坐標后可判斷D.

【詳解】由題意"=5/=2石,°=6，耳(-百,0),6電,0),A(-5,0),4(5,0),短軸一個頂點

為(。，6，

|尸耳|+|尸周=2。=10,A錯;

222

設P(x,y),則L+2L=1,/=20(1-—),

252025

2214

所以左左PA,上x上號?=2。(1q)義不?—,B正確;

x+5x-55

因為tanNOBM—=—j==—<1,所以。。</。員工<45。，從而g=2/0耳心<90。,

…1OBJ2452

而尸是橢圓上任一點時，當尸是短軸端點時/月尸鳥最大，因此不存在點尸滿足/耳「瑪=90。，C錯;

i2]A

P(x,y)，S△,=.|耳閶屏|=3g=4行,g=4,則紅+上=1,xp=±5D正確.

22520

故選：BD.

【點評】本題考查橢圓的標準方程，橢圓的定義及橢圓的性質.有結論如下：橢圓上的點與兩焦點連線的

斜率為定值，橢圓上的點對兩焦點的張角最大時，點為短軸端點.

22

9.已知｛4｝是公比為4的等比數列，且4=1,曲線Q：—+-=1,zieN*.()

anan+l

A.若q>0且qwl,則C”是橢圓

14

B.若存在“eN*，使得G表示離心率為不的橢圓，則￡=—

23

C.若存在〃eN*，使得C“表示漸近線方程為x±2y=0的雙曲線，則^=一；

D.若q=-2,4表示雙曲線Q的實軸長，則4+/+…+%=6138

【答案】ACD

【分析】由等比數列的定義判斷項的正負，并結合橢圓、雙曲線的方程及其幾何性質，逐項判定，即可求

解.

【詳解】因為q>0且所以?！啊?,a“+i〉0且?！?i彳，所以C”表示橢圓，所以A正確.

當表示橢圓時，顯然4>0且4W1,若9>1,則為+1〉4，e=卜+…卜_'口,令

V-v-vq

r~fi-4

若0<q<l,則4〉。用，e=AA+,令g=:,解得q=2,所以故B錯誤.

"~"=L^±L=A/T7,

Va?Van24

若G表示雙曲線.顯然q<0,故雙曲線G的一條漸近線方程為y==

令G=5,解得4=—彳，所以C正確.

若q=-2,當"為偶數時，。“<0,an+,>0,雙曲線Q的焦點在V軸上，則￡=2點二；當”為奇數時,

??>0,4+1<0，雙曲線c”的焦點在X軸上，則2=2月，

所以

b1+b2-\---\-b20=2(8"+y[a^H---F5y^")+2+H卜=4(屈"+H1')-2+2〃^"

1-210

=4x------2+2x1x210=3x2"—6=6138，所以D正確.

1-2

【點評】解決本題的關鍵有兩個：（1）能根據公比4的取值情況判斷4+1，4的正負；（2）能根據橢圓、

雙曲線的方程和幾何性質建立氏+1，a,的數量關系.

10.下列關于圓錐曲線的命題中，正確的是（）

A.設A、3為兩個定點，左為非零常數，|西卜|而卜左，則動點P的軌跡為雙曲線

B.設定圓C上一定點A作圓的動弦AB，。為坐標原點，若麗=:（如+礪），則動點P的軌跡為橢

圓

C.方程2爐-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

222

D.雙曲線上—匕=1與橢圓匕+＞2=1有相同的焦點

25935.

【答案】CD

【分析】根據雙曲線的定義可判斷A選項的正誤；根據直角三角形的幾何性質可判斷B選項的正誤；求出

方程2爐-5%+2=0的兩根，結合橢圓和雙曲線離心率的取值范圍可判斷C選項的正誤；求出雙曲線與橢

圓的焦點坐標，可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，若動點尸的軌跡為雙曲線，則卜所卜|而卜＜|通即冏＜|通

但可與|通|的大小關系未知，A選項錯誤；

對于B選項，由麗=g（函+而）可得而-d=g（厲+礪）—函=:（礪—函），

可得Q=!通，所以，點尸為線段A6的中點，

2

如下圖所示：

當為圓。的一條直徑時，P與C重合；

當A6不是圓。的直徑時，由垂徑定理可得CPLA5,

設AC的中點為M，由直角三角形的幾何性質可得1PMi=g|AC|（定值）,

所以，點P的軌跡為圓，B選項錯誤;

對于C選項，解方程2f—5x+2=0，可得%=g，々=2,

所以，方程2/—5%+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，C選項正確；

對于D選項，雙曲線的焦距為2后工？=2用，焦點坐標為(土回0),

橢圓余+/=1的焦距為2Am=2屬，焦點坐標為(土國,o),D選項正確.

故選：CD.

【點評】求與圓有關的軌跡方程時，常用以下方法：

(1)直接法：根據題設條件直接列出方程；

(2)定義法：根據圓的定義寫出方程；

(3)幾何法：利用圓的性質列方程；

(4)代入法：找出要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.

三、填空題

22

11.已知《，工是橢圓二+與=1(a>b>0)的左，右焦點，過B的直線與橢圓交于P，Q兩點，

ab

若PQ，P片且|Q周=P周，則APFFZ與AQFFZ的面積之比為.

【答案】A/2+I

【分析】根據橢圓的定義，運用勾股定理、三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】設歸用=和,二|。制="/2,由橢圓的定義可知：|尸聞=2。一加,二.依圖=2。一同,

所以|PQ|=4a-(及+l)m,因為尸。，期,所以|「耳『+=依耳『,

即m2+[4a-(V2+l)m]2=(V2m)2(A/2+l)m2-4(72+l)ma+8cz2=0,

解得m=(4-2回a或加=20a，

當機=2夜o時，|QE|=2a—瓜<0,所以不符合題意，故舍去，

因此機=(4-26a,所以|=(2夜-2)a,|Q閭=(6—4回a,

,/ZPF2Fi+NQB4=7i.:.sinZPF2Fi=sinZQF2Fx,

△尸耳耳與AQ不居的面積之比為:

2M用,sin/桃耳_2行—2_6—1_血—1_]_忘+]

；M&HQg|,sinNQ￡-6-4423-2^2(A/2-I)2拒-1

故答案為：6+1

【點評】關鍵點睛：根據橢圓的定義結合勾股定理，選擇合適的三角形面積公式是解題的關鍵.

12.已知定點4(0,2),3(0,—2),C(3,2),以C為一個焦點作過A,3兩點的橢圓，則橢圓的另一個

焦點F的軌跡方程是.

2

【答案】y2-^-=l(y<-l)

【分析】由題可得|AC|+|”|=忸C|+忸同，進而可得|人典-191=2,可判斷R的軌跡為以A8為焦點

的雙曲線的下支，根據雙曲線的定義即可求解.

【詳解】A,3在以C,E為焦點的橢圓上，

.?.|4。|+|"|=忸4+忸典,

.'.|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=732+42-V32+02=2，

則可得R的軌跡為以A,8為焦點的雙曲線的下支，

22

設雙曲線方程為與—a=1(”—a),

則可得2a=2,即a=l,c=2,.-.b1=c2-a2=3.

則焦點F的軌跡方程是y2-y=l(y<-1).

2

故答案為：＞2—、=l(yW—1).

【點評】關鍵點睛：本題考查雙曲線定義的理解，解題的關鍵是得出|A4-忸同=2,判斷出R的軌跡為

以A,3為焦點的雙曲線的下支.

X2

13.已知點A為橢圓C：一=l(a〉〃〉0)的左頂點，F(c,0)為橢圓的右焦點,B,E在橢圓上,

a+方

四邊形Q43E為平行四邊形(。為坐標原點)，點E到直線A石的距離等于叵，則橢圓。的離心率為

2

【答案】Vio-2

3

【分析】根據橢圓的對稱性先求出點E的坐標，從而求出直線AE的方程，根據點E（c,O）到直線AE的距

離建立方程，從而求出離心率.

【詳解】由四邊形Q43E為平行四邊形，則AO/ABE,且忸閔=a

不妨設3,E在％軸上方，點E在第一象限.

由橢圓的對稱性可得=|，則yB=b

Cb

-2~

所以E

所以直線AE的方程為：y=),即3ay-6bx-#>ab=0

|-^Z?c-V3(?Z?|6b

所以點E（c,O）到直線AE的距離為：d=

J9a2+3后

化簡得3c2+4ac—2a2=0，即3e?+4e—2=0

解得e=±W—2,所以取e=W—2

故答案為：加-2

3

【點評】關鍵點睛：本題考查求橢圓的離心率，解答本題的關鍵是根據托奧運的對稱性得出J,

,、I—A/SZJC—y/3ab\、5人

然后得出直線AE的方程，根據占.到百續4斤的距禽得方程d—1「一1—屬于中

檔題.

14.己知橢圓G：「+與=10〉。〉0）的右頂點為P,右焦點F與拋物線。2的焦點重合，。2的頂點與G

ab

的中心O重合.若G與02相交于點A,B,且四邊形QAPfi為菱形，則G的離心率為.

【答案】-

3

【分析】設拋物線的方程為y2=2px,得至U/=4cx，把A（g代入橢圓的方程化簡即得解.

【詳解】

設拋物線的方程為=2px,；T=c,.1p=2c,.1V=4u.

a2

由題得4幺,、河），代入橢圓的方程得五2ac,

2示k

所以8ac=3b°—3（cz2—c2）,3c2+Sac—3a2-0,

所以3e?+8e—3=0，

所以（3e—l）（e+3）=0,

因為0<e<l,

所以e=L

3

故答案為：-

3

【點評】求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（根據已知求出代入離心率的公式即得解）；（2）

方程法（直接由已知得到關于離心率的方程解方程即得解）.要根據已知條件靈活選擇方法求解.

15.已知橢圓「+4=1（。〉6〉0）,左、右焦點分別為匕，B，設以線段月月為直徑的圓和此橢圓在

ab

qi

第一象限和第三象限內的公共點分別為M，N,四邊形”片”的面積為S,周長為/,若1=方，則

該橢圓的離心率.

【答案】B

2

【分析】由橢圓的定義知/=4a,由圓的性質以及橢圓的對稱性知四邊形片為矩形，則有

C1

|加片|2+|〃8|2=|耳6『求|町|,|/6|,再由S=|"E|-|A/g|求面積，結合]=以及橢圓參數關系

即可求離心率.

【詳解】由題意知：l=\MF1\+\MF2\+\NF]\+\NF2\=4a,且引，由對稱性知:

四邊形為矩形,

...設|=7〃>|M片|=2。一根，即（2。一相）2+/=4。2,得病—2am+2b2=0,

二解得：m=a+y/a2-2b2^m=a—y/a2-2b2（舍），

2222

|MR\=a+y/a-2b,\MF2\=a-^cr-2b,有S=|M片|?||=2b,

222

?52b1Bna-c.21milA/3

又方=77T=，即—;—=l~e=--貝=」一

2=2iJe

I16a-32a42

故答案為：晝

2

【點評】利用圓的性質，橢圓的對稱性及定義求出焦點相關的四邊形的周長和面積，根據它們的比例關系

以及橢圓參數關系，列齊次方程求離心率.

四、雙空題

22

16.已知耳、工分別是橢圓1+:=1（。〉6〉0）的左、右焦點，過耳的直線與橢圓交于尸、Q兩點，

ab

若歸￡]:歸名|:|。制=2:3:1,則cos/^PB=,橢圓的離心率為.

【答案】-叵

915

【分析】設耳|=1，得到|「耳|=2,|「卜=3,根據橢圓的定義,求得出閭=4,在。尸0居中,由余弦

定理求得cosN耳尸耳，在耳中，由余弦定理求得閨耳|,結合離心率的定義，即可求解.

【詳解】如圖所示，不妨設|Q￡|=1,

因為周=2:3:1,所以|「耳|=2,|尸閭=3,

由橢圓的定義可得|「￡|+|尸耳|=|。￡|+|。閭=5,所以|。閭=4,

在APQK中，由余弦定理可得cosN￡P月二閘[*IT平=32+32—42」,

22x|Pg|x|PF,|2x3x39

在月中，由余弦定理可

|^|=J附「+附「-2x|P訃質|cos"P6=^22+32-2X2X3X1=^

[35_

所以離心率cvTVio5.

e————--=---

a515

故答案為：,；叵.

915

【點評】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：

1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得心。得值，根據離心率的定義求解離心率e；

2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于e的一元二次方程求解;

3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

22

17.已知橢圓c：——+2了=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為耳,工，點？在橢圓上，且西?耳瓦=0,

ab

I尸周=:，|P閭=3,則c的標準方程為；若過點1,1]的直線/與橢圓C交于A,B兩

點，且點A6關于點M對稱，則/的方程為.

22

【答案】Ul2x-3j+6=0

94

【分析】記橢圓的半焦距為c,根據橢圓的定義，由題中條件，得到。=3；再由勾股定理，根據

麗?司瓦=0,求出C,得到戶，即得橢圓方程；設A（/x）,3（%,%），根據題中條件，由中點坐標

公式，得出《「，再將坐標代入橢圓方程，兩式作差整理，求出直線/的斜率，即可求出直

［乂+%=2

線方程.

【詳解】記橢圓的半焦距為c,

根據橢圓的定義可得，2a=|Pf；|+|PF,|=|+y=6,則。=3,

又兩?戰=。，則咫坨工，所以帆周=亞丁二所=』1"^=26=2c,

則,=占；所以尸=4—02=4,因此橢圓。的方程為土+2L=i；

94

|，1）對稱，所以＜%+%2=-3

設A（%，X）,B（x2,y2）,因為點A,3關于點M

71+%=2

[22

-%----------1-------------1JL

94II-I-ZZ2^—r：gX1~-X,"丫|"一c

由題意可得《、、,兩式作差可得」——二+二~工=0,

94

I94

_1一為_網+=2__132

則^AB_i

%一%29%+%9

2（312

所以直線45的方程為,_1=§[^+5）=§》+1,即2%—3y+6=0.

22

故答案為：—+—=1；2x—3j+6=0.

94

【點評】求解橢圓中的中點弦問題時，一般需要先設弦端點的坐標，代入橢圓方程，兩式作差整理，求出

弦所在直線方程，進而即可求解.

五、解答題

18.已知點P（J5,點）在橢圓C：M+4=l（a〉6〉o）上，且橢圓C的離心率為Y2,若過原點的直線

a-b-2

交。于A,3兩點，點A在第一象限，軸，垂足為。，連接并延長交C于點E.

（1）求橢圓。的方程；

（2）證明：AB^AE.

V22

【答案】（1）—+《v=1；（2）證明見解析.

63

【分析】（1）先求出a、b,寫出橢圓。的方程；

（2）設直線A6的斜率為左，則其方程為，=區（左＞0）.

用設而不求法表示出直線AE的斜率，整理化簡后為-工，即可證明1

k

【詳解】（1）因為點在橢圓c上，所以^+==1①，

ab

又因為橢圓。的離心率為自，所以母=0二]②，

22

由①②得，a2=6,b2=3.所以橢圓C的方程為工+匕=1

63

（2）設直線A5的斜率為左，則其方程為丁二"（左＞。）.

設A(H,成),B(-u,-uk),D(w,0).

k.、

y=-(x-u)

kk

于是直線跳;的斜率為,，方程為丁=5（%—〃）.由《22

二+匕=1

得（2+左2）尤2_2沈上2%+左2〃2_]2=0（§）

設石（七,%）,貝卜"和再是方程③的解，故％—〃=上竺

乙十K

,,u(3k2+2，由此得％=＜。一切=$

故石二色———

12+1C乙乙十K

uk37

----z—uk1

2+左之1

從而直線AE的斜率為〃3.+2)—=一%'所以

-....

2+k2

【點評】（1）待定系數法可以求二次曲線的標準方程；

（2）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.

22]

19.已知橢圓C：T+2=l（a〉b〉0）的離心率為$,。為坐標原點，尸是橢圓C的右焦點，A為橢圓C

3

上一點，且Ax軸，|ARI=]-

（1）求橢圓C的方程;

⑵過橢圓C上一點尸（%,%）（%H0）的直線/：笄+誓=1與直線AF相交于點M,與直線x=4相交

ab

于點N.證明：7777為定值?

\NF\

【答案】(1)三+匕=1(2)證明見解析

43

3

【分析】(1)設尸(c,O),A(c,%),根據離心率及|Ab|二］列方程求出。力即可求解;

(2)求出交點M,N的坐標，計算并化簡，即可求解.

22

【詳解】(1)設尸(c,O),A(c,%),則4+4=1,

ab

又因為￡=工，所以|%|=走6,

a2702

3

因為|A尸|=—,

2

所以|Ab1=1%|=￥6=g，

所以b=，

'^-b2=c2U=2

C?,解得

因為《—=—<b=6

a2

c=1

b=A/3

22

所以橢圓c的方程為工+匕=1

43

(2)由(1)知直線/的方程為替+管=1(%工。)，

12-3xx

即丁=一1—o―(y*°).