知識點(diǎn)一函數(shù)的概念：定義域

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定義域的一般方

法有：

(1)分式的分母不為;

(2)偶次根式的被開方數(shù)；

(3)y=x°要求；

(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù),對數(shù)函數(shù)的底數(shù),真數(shù)；

(5)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公

共部分的集合；

(6)由實(shí)際問題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問題的要求.

2.已知/(%)的定義域，求/[g(x)]的定義域，其實(shí)質(zhì)是由g(x)的取值范圍，求出x的取值范圍；

3.已知/[g(x)]的定義域，求/(幻的定義域，其實(shí)質(zhì)是由x的取值范圍，求g(x)的取值范圍.

【例題分析】

3%2

例1.函數(shù)/(%)="：的定義域是.

1

例2.函數(shù)/(x)=(1-%)-2+(2x-l)°的定義域是------------

例3.已知"X)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?

例4.若函數(shù)y=f(3-2x)的定義域?yàn)閇―1,2],則函數(shù)y=/(x)的定義域是.

例5.已知函數(shù)的定義域?yàn)閇—2,3],則函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?

【變式訓(xùn)練】

1.函數(shù)/(%)=，+6的定義域?yàn)?

X—1

2.函數(shù)/(x)=(x-1)°+VI+2的定義域?yàn)?

3.已知函數(shù)八力的定義域?yàn)?-M)，則函數(shù)8(力=/]￡|+小一2)的定義域?yàn)?

4.已知/(x2-1)定義域?yàn)閇0,3],則/(2^-1)的定義域?yàn)?

知識點(diǎn)二函數(shù)的概念：對應(yīng)法則

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

一次函數(shù)解析式：;

二次函數(shù)解析式：;

三次函數(shù)解析式：;

反比例函數(shù)解析式：;

指數(shù)函數(shù)解析式：;

對數(shù)函數(shù)解析式：;

幕函數(shù)解析式：.

2換元法求函數(shù)解析式

換元法，已知/'他⑺)?。：)，求/(X),令/=g(x),解出X,代入Mx)中，得到一個(gè)含/的解析式，即

為所求解析式.

3.配湊法求函數(shù)解析式

配湊法，已知〃g(x))=/7(x),求/(%),從/(g(尤))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示

/?(%)，然后將解析式中的g(x)用X代替即可.利用這兩種方法求解時(shí)一定要注意g(x)的取值范圍的限定.

4.解方程組法求函數(shù)解析式

已知了(無)與滿足的關(guān)系式，要求/(無)時(shí)，可用g(x)代替兩邊所有的X,得到關(guān)于/(尤)與

/但⑺)的方程組，消去"g(無))解出了(無)即可.常見的有“X)與/(—%),/(無)與/

【例題分析】

例1.已知二次函數(shù)“尤)滿足/(x+l)+/(x—1)=2/—2x,試求：求〃無)的解析式；.

1Y

例2.已知/(一)=——，則/(x)的解析式為.

X1-x

例3.已知函數(shù)/(《-1)=冗-1,則函數(shù)/(九)的解析式為.

例4.已知/(XH)=---,則f(x)=.

XX

例5.已知/(%二)=/+二，則/(x+1)的解析式為.

XX

例6.已知函數(shù)/(X)滿足/(%)+2/(-%)=3.x+X2,則f(x).

例7.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),且=-則/(X)=

【變式訓(xùn)練】

1.已知2/(x—1)—"1—x)=2f—1,求二次函數(shù)“力的解析式；

2.若函數(shù)/(?+1)=x—?,則/(x)的解析式為.

3.已知/(xH|=H了,求/(%)的解析式.

VJCJJC

4.已知函數(shù)/(%)滿足/(x)-=x,則〃x)=.

知識點(diǎn)三函數(shù)的概念：值域

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.觀察法:主要針對一些簡單函數(shù)，或作簡單變形后觀察，即可求出值域或最值.

2.配方法(對稱軸法)：對于型如/(x)=依2+bx+c,x&[m,n\的形式的二次函數(shù)，利用配方法或直接利用對稱軸

b

x=--完成，可以結(jié)合圖象討論單調(diào)性完成求值域或最值.

2a

3.換元法:代數(shù)換元法，三角換元法，運(yùn)用換元法解題時(shí)要注意確定新元的取值范圍和整體置換的策略.

使用換元法時(shí)，一般來說，需求兩次值域，一次在換元時(shí)求新元的取值范圍，一次在換元后求新函數(shù)值域.

(1)y=ax+b+kjcx+d,令1=Jcx+d.

(2)y=afM,令"=/(x),則y=a".

⑶y=logaf(x),令u=f(x).

(4)y=/(優(yōu))，令t=a，,則y=/(/).

(5)y=/(logax),令t=log°x,則y=/?).

(6)y-a~x+o-2',令a*+a-*=/,則y=『—2.

______________產(chǎn)一2

(7)令y/l-x+y/l+x=t,貝!JJl-X2=-----.

2

21

(8)y=ax+b+yjc-x,ax=csin1,aG(或令x=ccosa,ae[0,?]).

1

(9)令sinx+cosx=f,貝i|sinxcosx=----

2

4.圖象法(數(shù)形結(jié)合法)

①一些簡單函數(shù)及分段函數(shù)的求值域或最值常利用圖象完成.

②求/(x)=max{/(x),力(%),...,力(x)}或/(x)=min{<(x)/(x),.../(x)}的值域，可先分別作出其中所含函

數(shù)：/(x),力(x),.，力(x)的圖象，再利用它們的交點(diǎn)分段確定/(x)的圖象，從而確定值域或最值.

③根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的幾何意義【分式轉(zhuǎn)化為斜率，平方和(平方根)轉(zhuǎn)化為距離等】，作出圖象，求出值域或最值.

5.單調(diào)性法：若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值.(優(yōu)先考慮！)

6.有界性法：含丁、同、?、〃晨sinx、cosx的函數(shù)，若可用y表示它們，則常利用其有界性來求值域或最

值.（先分離常數(shù)，再利用有界性分析）

7.基本（均值）不等式法：利用。+b22必（一正二定三相等）等公式來求值域或最值，一定要看等號能否成立，

否則用數(shù)形結(jié)合法、單調(diào)性法完成.

8.判別式法：用于y=/（無）=+..（片+團(tuán)W0,分子、分母無公因式，且x無人為限制.）

a2x+b2x+c2

先化成（。2丁—％）/+（2丁一仇）》+（。2丁—。1）=0,再運(yùn)用A?0求值域（但要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）.

9.導(dǎo)數(shù)法：通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值與端點(diǎn)值，從而得出值域或最值.

10.分類討論法：對于含參數(shù)的函數(shù)求值域或最值，最常用的方法是數(shù)形結(jié)合、分類討論。

通常先作出函數(shù)的一般圖象（形狀），再由函數(shù)圖象左右移動(dòng)悟出討論標(biāo)準(zhǔn)！

二次函數(shù)/（幻=。f+6%+。，xe[/必川的最值問題（對稱軸含參數(shù)問題、區(qū)間含參數(shù)問題）是最典型的，注意是

否需要討論開口方向

6

-

端

S兩

①對稱軸X五加，九的三種位置關(guān)系;

-

。-

中

T^'A占

~小

五”士的三種位置關(guān)系;

②對稱軸Xrr

_2

同理:對于函數(shù)/（x）=H]-4+b,xe[和,川的最值問題（對稱軸含參數(shù)問題），可參照上述思路解決.

【例題分析】

例1.y^x2-4x+6,xe[1,5]的值域?yàn)?

1

例2.函數(shù)y=2-31的值域是

例3.函數(shù)/（%）=（5*+2,的值域?yàn)?

例4.函數(shù)y=x+2五+3的值域?yàn)閛

2-2x

例5.已知函數(shù)〃%）=--（x>l）,則它的值域?yàn)椤?/p>

x+1

無2+4

例6.已知函數(shù)/(%)=-----，則該函數(shù)在(1,3]上的值域是

x

+2Y+2

例7.函數(shù)y=x4的值域是__________-

X+1

【變式訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=—/+4x—2,xe口,4]的值域是

2.函數(shù)/(x)=—2%+3的值域是.

3.函數(shù)y=3/2的值域?yàn)?

4.函數(shù)y=上二，xe[0,+(?)的值域?yàn)開_________.

X+1

5.函數(shù)>=生二xe[2,+9)的值域?yàn)開_________.

X-1

知識點(diǎn)四函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.單調(diào)性的定義：增（減）函數(shù):

一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)锳,區(qū)間/7A.如果對于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個(gè)值X1,%，當(dāng)石＜々時(shí)，都

有，那么就說y=/（x）在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)，/稱為y=/（x）的單調(diào)增區(qū)間。

注意：（1）“任意”、“都有”等關(guān)鍵詞；

（2）單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間是有區(qū)別的；

2.單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性：如果函數(shù)y=/（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/（x）在這一區(qū)間

具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

3.常見函數(shù)的單調(diào)性：

（1）一次函數(shù)丁=履+/?（左wO）,當(dāng)人＞0時(shí)，函數(shù)在H上___________；當(dāng)左＜0時(shí)，函數(shù)在R上____________.

（2）二次函數(shù)y=ox2+bx+c（aw0）,當(dāng)。＞0,函數(shù)開口向,函數(shù)在［一oo,-上_________,函數(shù)

在+上__；當(dāng)a＜0,函數(shù)開口向函數(shù)在,哈一白］上—函數(shù)在

----,+co上_________.

12aJ-

k

⑶反比例函數(shù)y=2（左wO）,當(dāng)左＞0時(shí)，函數(shù)在（—8,0）上_________,在（0,+oo）上_________；當(dāng)左＜0時(shí),

函數(shù)在（73,0）上________,在（0,+8）上__________.

?注意：在（-8,0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上也單調(diào)遞增，在（YO,0）D（0,+。。）上不一定單調(diào)遞增

4.單調(diào)性的求解：（1）導(dǎo)數(shù)法；（2）作差法；（3）作商法.

5.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，注意定義域.

6.單調(diào)性的應(yīng)用：

已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)椤?/p>

（1）若/（%）在定義域上單調(diào)遞增，且只需滿足且

（2）若“X）在定義域上單調(diào)遞減，且只需滿足且

【例題分析】

例1.下列函數(shù)值中，在區(qū)間（0,+8）上不星單調(diào)函數(shù)的是（）

A.y=xB.y-x1C.y=x+\[xD.y=|x—1|

例2.求的函數(shù)丁=卜/+2%+1的增區(qū)間,減區(qū)間.

例3.已知函數(shù)“X)為(0,+8)上的增函數(shù)，若a)>/(a+3),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

例4.己知函數(shù)/(%)是定義在區(qū)間[0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足—的x的

取值范圍是.

例5.已知函數(shù)/(%)是R上的增函數(shù)，A(0,-3),6(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式—3</(%+1)<1的解

集的補(bǔ)集是(全集為R).

例6.函數(shù)y=J-2X+8的單調(diào)增區(qū)間為.

例7.函數(shù)/(x)=--~-的單調(diào)增區(qū)間是.

1+x-x

【變式訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=3x—2/+1的單調(diào)遞增區(qū)間是.

X+1]20

2.函數(shù)/(%)=<的單調(diào)減區(qū)間為.

—x—1x<0

3.函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)，若a=fV,Z?=/(1.5),c=/((g]),則大小關(guān)系為.

》x<2

4.設(shè)函數(shù)/(無)={2'，若/(a+l)2/(2a—1),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_______.

[x,x>2

5.已知函數(shù)/(x)=lnx+x,若/(a?-〃〃+3),則正數(shù)。的取值范圍是.

6.函數(shù)/(x)=&_4X+3的單調(diào)遞減區(qū)間為.

7.設(shè)/(X)為定義在R上的減函數(shù)，且/(x)>0,則下列函數(shù)：

(1)y=3-2/(%)；(2)y=l+-^—；(3)y=f\x)-,(4)y=2+/(x)

/(x)

其中為R上的增函數(shù)的序號是.

知識點(diǎn)五函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.函數(shù)的奇偶性

一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有,那么函數(shù)尤)就叫做偶函數(shù).

一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有,那么函數(shù)/(九)就叫做奇函數(shù).

2.函數(shù)具有奇偶性的條件

(1)①首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；

②在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，進(jìn)一步判定/(-X)是否等于土/(X).

(2)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說明了(-x)與/(尤)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系

時(shí)，才能判定函數(shù)的奇偶性.

(3)若奇函數(shù)的定義域包括o,則y(o)=o.

3.判斷奇偶性的步驟

(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，

(2)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的情況下，判斷與之間的關(guān)系

4.利用奇偶性求解析式

利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法

是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代

入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

5.利用奇偶性求參數(shù)

(1)定義法：若/(%)為奇函數(shù)，則,若/(x)為偶函數(shù),則o

⑵特殊值法：若〃尤)具有奇偶性，則定義域關(guān)于對稱；若"可為奇函數(shù)，則/(0)=，

(3)常見的兩個(gè)函數(shù)：若一次函數(shù),=履+人為奇函數(shù)，則；

若二次函數(shù)y為偶函數(shù)，則；

6.利用單調(diào)性、奇偶性比較大小

利用奇偶性比較大小，通過奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間

上的單調(diào)性相反，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較大小.

【例題分析】

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

]_________

(1)f(x)=2x-\--；(2)_f(x)=2—|x|；(3).(x)=J*_]+J_.2；(4)_f(x)=----.

XX1

例2.已知/'(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=3x2+2x-l,則當(dāng)尤<0時(shí)，f(4=.

例3.已知函數(shù)y=/(力在R上為偶函數(shù)，且當(dāng)行。時(shí)，f(x)=x2-2x,則當(dāng)x<0時(shí)，/(力的解析式是

例4.若函數(shù)“X)=公2+(24-a-1卜+1為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

例5.若函數(shù)/(x)=藝三(。eR)是奇函數(shù)，則a的值為()

A.1B.0C.-1D.±1

例6.若函數(shù)丁=/(幻(》6火)是偶函數(shù)，且/(1)</(3),則/(—3)與/(—1)的大小關(guān)系為.

例7.設(shè)偶函數(shù)/(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，且/(2)=0,則不等式,(x)+/(—%)>o的解集為()

A.(―2,0)U(2,+8)B.(—，―2)U(0,2)C.(-<?,-2)U(2,+<?)D.(-2,0)U(0,2)

例8.若函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在xe(-oo,0]上是減函數(shù)，且/(2)=0,則使得/(x)<0的x的取值

范圍是.

【變式訓(xùn)練】

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

3_2i

⑴/(x)=X_%；(2)/(x)=x---;(3)/(X)=X2-X3；(4)/(x)=|x+2|+|x-2|.

x-1X

2.已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=f—2x+3.則/(%)在R上的表達(dá)式為

3.已知偶函數(shù)/(%)在x>0時(shí)的解析式為/(x)=d+d,則尤<o時(shí)，/(力的解式為.

4.已知函數(shù)/(力=%2+"(/?€尺)為偶函數(shù)，則的值為.

5.已知偶函數(shù)/(幻在區(qū)間[0,+8)單調(diào)遞增，則滿足了(2尤—)的x取值范圍是()

2、」I2、「「12、

A(B.[一，一)C.(一,一)D.[-9一)

r小332323

6.已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)xe(—叫0]時(shí)，/(x)=x+2,則/(x)〉0的解集為()

A.(—8,-2)B.(2,+8)C.(-2,0)U(2,+°°)D.-2)U(0,2)

7.若/(幻為奇函數(shù)，且在xe[0,+oo)內(nèi)是增函數(shù)，又/(—3)=0,則W(x)<0的解集為.

知識點(diǎn)六函數(shù)的性質(zhì)：周期性與對稱性

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.周期性：對任意的尤e。，都有/(x+T)=/(x),則T叫做函數(shù)/(x)的周期.

①若f(x+a)=f(x)，周期T=；

②若/(x+a)=—/(x)(相反)，周期T=；

③若/(x+a)=—'―(。工0)(互倒)，周期T=_____________；

/(x)

④若/(x+a)=——L(awO)(反倒)，周期T=_____________；