第11講曲線運動及運動的合成與分解

——劃重點之精細講義系列

'。有點導航①

考點1物體做曲線運動的條件與軌跡分析

考點2運動的合成與分解的應用

考點3小船渡河問題

考點4關聯速度問題

應考點剖析理重點

考點1:物體做曲線運動的條件與軌跡分析

1.曲線運動

運動軌跡是曲線的運動叫做曲線運動。

(1)速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。

(2)運動的性質:

(3)直線運動和曲線運動的條件及分類

L39―L勻速直線運動

3叟涯LI勻變速直線運曠

L空為LI變加速直線運用一

磔甄陽I勻變速曲線送可一

L/竺重皂JI勻速圓周運動I

(尸合或"變)~變加速曲線運動―

----------(非勻變速曲線運動)

2.合力、速度、軌跡

合外力方向與軌跡的關系

①物體做曲線運動的軌跡一定夾在合力方

向與速度方向之間

曲線②合力一定指向物體運動軌跡的凹側

運動速率變化情況判斷

①當合力方向與速度方向的夾角為銳角時,

物體的速率增大

②當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時,

物體的速率減小

③當合力方向與速度方向垂直時，物體的

速率不變

(1)合力方向與軌跡的關系：合力的方向總是指向軌跡的"凹”側。曲線運動軌跡始終夾在合

力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，而且向合力的方向彎曲，但是特別注意速度的方向

只會向著合外力方向趨近，而不可能趨近到與合外力方向相同。

(2)合力、速度、軌跡之間的關系：做曲線運動的物體，其速度方向與運動軌跡相切，所受的

合力方向與速度方向不在同一條直線上，合力改變物體的運動狀態，據此可以判斷：

①已知運動軌跡，可以判斷合力的大致方向在軌跡的包圍區間(凹側)，如圖所示。

②運動軌跡在速度方向與合力方向所夾的區間，根據受力方向和速度方向可以判斷軌跡的大致

彎曲方向。

③根據合力方向與速度方向的夾角，判斷物體的速率變化情況：夾角為銳角時，速率變大；夾

角為鈍角時，速率變小；合力方向與速度方向垂直時，速率不變，這是勻速圓周運動的受力條件。

期即

【考向1】下列說法正確的是()

A.在恒力作用下，物體不可能做曲線運動

B.兩個勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動

C.做曲線運動的物體，速度可能不變，加速度一定不斷地改變

D.力與速度方向的夾角為銳角時，物體做加速曲線運動

【考向2】如圖所示，一個劈形物體A,各面均光滑，放在固定的斜面上，上表面呈水平，在水平

面上放一個小球B,劈形物體從靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是（）

A.沿斜面向下的直線

B.豎直向下的直線

C.可能為圖中箭頭所示的直線

D.為一曲線

【考向3】（2024?浙江?一模）如圖所示，某運動員主罰任意球時，踢出快速旋轉的“落葉球”，貝獷落

葉球”（）

A.在空中的運動軌跡是對稱的B.運動到最高點時速度為零

C.相比正常軌跡的球，下落更快D.在最高點時加速度方向一定豎直向下

【考向4】如圖所示為質點做勻變速曲線運動軌跡的示意圖，且質點運動到。點時速度方向與加速

度方向恰好互相垂直，則質點從/點運動到E點的過程中，下列說法中正確的是（）

A.質點經過C點的速率比。點的大

B.質點經過/點時的加速度方向與速度方向的夾角小于90°

C.質點經過。點時的加速度比3點的大

D.質點從B到E的過程中加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小

【考向5】（多選）（2024?海南?一模）如圖是“玉兔二號”巡視探測器在月球背面執行任務時的軌跡照

片，AB段為曲線，對沿AB段運動的探測器，下列說法正確的是()

A.速度的方向在不斷變化B.所受合力為0

C.加速度一定不為0D.一定做勻變速曲線運動

痂考點剖析理重點

考點2：運動的合成與分解的應用

1.合運動與分運動的關系

等時性分運動與合運動經歷時間相等(不同時運動不能合成)

獨立性一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響，此為運動的獨立性原理

等效性各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果

同體性各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生的運動

2.運動的合成與分解的運算法則

(1)原則：根據運動的實際效果分解，也可采用正交分解。

(2)運動的分解優點：將不易研究的復雜曲線運動分解為簡單的熟悉的直線運動。

(3)分解實際運動

物體(或物體上某點)的實際運動為合運動，即以地面為參考系的運動，只分解實際運動。看

物體同時參與了哪兩種運動，而后確定分解的方向再進行分解。

3.合運動性質的判斷

/恒定：勻變速運動

加速度

合運動1變化：非勻變速運動

性質共線：直線運動

加速度方向與速度方向

不共線：曲線運動

4.兩個直線運動的合運動性質的判斷

分運動的性質合運動的性質

兩個分運動均為勻速①當兩個分速度修、功等大反向時，合速度V=0,保持靜止

直線運動②其他情況時，合速度大小、方向均不變，物體做勻速直線運動

一個分運動為勻速直

@Vo與。共線時，物體做勻變速直線運動

線運動，另一個分運

②為與a不共線時，物體做勻變速曲線運動

動為勻變速直線運動

①v、a共線時，物體做勻變速直線運動(含尸0)

②V、Q不共線時，物體做句變速曲線運動

兩個分運動均為勺變IV跡

速直線運動

右”也益一^也

△劃里點(?)

(1)合運動的速度大小不一定比每一個分運動的速度都大。

(2)兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。

劃重盍，

寧寺向5g燃苣

【考向6】如圖所示，一小球置于光滑水平桌面上，某時刻起受一水平恒力的作用開始運動，先后

經過。、6兩點，速度方向偏轉90。。已知經過a點的速度大小為V、方向與連線夾角為30。，ab

連線長度為乙對小球從。到6的運動過程，下列說法正確的是()

、、、y

￡30?H

J、i

江、、、

A.小球在b點的速度為gu

B.所用的時間為爭

2v

C.恒力大小為甯

D.若僅改變小球在。點的速度大小，小球下一次經過連線時的速度偏轉角也發生變化

【考向7】兩個相同的正方形鐵絲框按圖所示放置，它們沿對角線方向分別以速度v和2V向兩邊運

動，則兩線框的交點M的運動速度大小為（）

A.當B.零〃C.SD.馬

2222

【考向8］（多選）某小組同學用如圖所示的裝置研究運動合成規律，長方體物塊上固定一長為L的

豎直桿，物塊及桿的總質量為2機，質量為小的小環套在桿上，當小環從桿頂端由靜止下滑時（忽略

小環與桿的摩擦力），物塊在水平拉力的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右勻加速運動，小環落

至桿底端時，物塊移動的距離為23重力加速度大小為g,則小環從頂端下落到底端的過程中（）

-r-nri

L

2L

A.小環通過的路程為2￡

B.小環落到底部的時間為目

79

C.水平拉力大小為37ng

D.小環受到桿的作用力大小為2zng

【考向9】（多選）質量為0.2kg的物體在水平面上運動，其兩個正交分速度隨時間的變化圖像如圖所

示，貝!1（）

A.0?6s內物體始終做曲線運動

B.0?4s內物體的位移大小為8V^m

C.0?4s內物體做曲線運動，4s末物體的速度與加速度方向相反

D.0~4s內物體做直線運動，4~6s內物體做曲線運動

【考向10］（多選）一物體在如圖甲所示的xOy平面上運動，其x方向的力;-t圖像如圖乙所示，y方

1

向的軌跡方為：y=-t2-2t+3（m）,已知t=0時物體的位置坐標為下列說法正確的是

A.1=0時，物體的速度大小為癡m/s

B.t=2s時，物體的位置坐標為（8m,1m）

C.前2s物體在y方向的加速度越來越小

D.物體在前2s做加速度大小V^m/s2的曲線運動

后考點曲勝斤理重點

考點3：小船渡河問題

1.模型構建

在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動，其中一個速度大

小和方向都不變，另一個速度大小不變，方向在180°范圍內（在速度不變的分運動所在直線的一側）

變化.我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題進行研究.這樣的運動系統可看作“小船

渡河模型”。

2.模型特點

（1）兩個運動：船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。

（2）三種速度：船在靜水中的速度?八水的流速v*、船的實際速度v合。

（3）三種情景

①渡河時間最短（船頭垂直河岸渡河）

(

三

小

個

船

直

渡②渡河位移最短。聞＞1冰）

角

河

三

模

角

型

形

)

船頭與河岸成e角指向上游

③渡河位移最短（r船C冰）由s加。=9=強

t=—

“合

船頭與河岸成（90。￡）角指向上游

3.求解小船渡河問題的3點注意

(1)解決小船渡河問題的關鍵是：正確區分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭所指方

向的運動，是分運動；船的運動方向是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一

致。

(2)渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關，與水流速度無關。

(3)船渡河位移的最小值與v船和v水的大小關系有關，vQv水時，河寬即為最小位移；v船勺水

時，應利用圖解法求極值的方法處理。

:盒

【考向11】(2023?陜西商洛?一模)一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大

小為V、方向垂直于平直河岸，小船在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線為直線。小船

相對于水面分別做勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。由此可以確定()

CBD

〃〃/〃/7〃〃〃〃/〃〃/

水流方向

----------?----

\\y\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

A.船沿N2軌跡運動時，相對于靜水做勻加速直線運動

B.船沿NC軌跡過河所用的時間最短

C.船沿三條不同路徑渡河的時間相同

D.船沿軌跡到達對岸前瞬間的速度最大

【考向12】解放軍某部在某次登島演習過程中，要渡過一條寬度為d的小河。現有甲、乙兩個戰斗

小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是6角，兩船在靜

水中的速率都為v,水流速率為噸,此時甲船恰好能到小河正對岸的/點，則()

A

-----------?------------------------------------------------------

屈於____

甲乙

A.甲船渡河時間為三

1/COSC7

B.乙船比甲船更早到達對岸

c.靠岸時兩船間距增大了高Ocose+%)

D.如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達/點

【考向13】（多選）如圖所示，河的寬度為力水速恒定，甲、乙兩船以大小相同的速度（相對靜水）

同時開始渡河。出發時兩船相距2d,甲、乙船頭與河岸的夾角均為45。，且乙船恰好能直達正對岸

的/點。下列說法正確的是（）

A.甲船正好也在/點靠岸B.甲船在/點的左側靠岸

C.甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇D.甲、乙兩船到達對岸的時間相等

【考向14］如圖所示，小船從河岸的。點沿虛線勻速運動到河對岸的尸點，河水的流速"水、船在

靜水中的速度"靜與虛線的夾角分別為a、6。河寬為d,且u靜、u水的大小不變，下列說法正確的是

（）

A.渡河時間由。靜、S以及河寬"決定

B.當a+￡=45。，渡河的時間為聾

C.f靜、U水在垂直虛線方向的分量等大反向

D.船的實際運行速度。="水sina+"靜sin￡

【考向15］如圖所示，一條小河河寬d=60m,水速v/=3m/s,甲、乙兩船在靜水中的速度均為

v*4m/s,兩船同時從4點出發，且同時到達對岸，其中甲船恰好到達正對岸的2點，乙船到達對岸

的C點，則下列說法錯誤的是（）

A.a=￡B.兩船過河時間為竿s

C.兩船航行的合速度大小不同D.2c的距離為90m

而考點甄!析理重點

考點4：關聯速度問題

1.模型特點：用繩、桿相牽連的物體，在運動過程中，其兩物體的速度通常不同，但物體沿繩

或桿方向的速度分量大小相等。

2.原則：V1與藝的合成遵循平行四邊形定則。

3.解題方法

把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據沿繩（桿）方向的

分速度大小相等求解。繩繃緊，則其兩端的速度在沿繩方向上的分量相等，即Vlx=V2x,垂直于繩方

向的分量使繩轉動。常見的模型如圖所示。

4.繩（桿）牽連物體的分析技巧

（1）解題關鍵：找出合速度與分速度的關系是求解關聯問題的關鍵。

（2）基本思路：

①先確定合速度的方向（物體實際運動方向）

②分析合運動所產生的實際效果：一方面使繩或桿伸縮；另一方面使繩或桿轉動。

③確定兩個分速度的方向：沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度，而沿繩或桿方

向的分速度大小相同。

5.解決繩（桿）端速度分解問題的技巧

明確分解對象卜“怎樣分解卜一［列等式］

30

不沿繩（桿）方向沿繩（桿）方向和沿繩（桿）方向的速

運動的物體垂直繩（桿）方向度分量大小相等

一含

工相邀W

【考向16］如圖所示，豎直平面內固定一根乜”形足夠長的細桿。。球套在豎直桿上，6球套在水平

桿上，a、6通過錢鏈用長度為乙的剛性輕桿連接，。球向下滑且輕桿與豎直桿夾角為30。時，。球與

1

C.—D.

2

【考向17］如圖所示，輕質不可伸長的細繩繞過光滑定滑輪C與質量為加的物體A連接，A放在

傾角為。的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接。現B、C連線恰沿水平方

向，從當前位置開始B以速度V。勻速下滑。設繩子的張力為尸r，從此后的運動過程中，下列說法正

確的是（）

A.物體A做勻速運動B.物體A做減速運動

C.尸/■一定大于%gsindD.尸7■可能小于wjgsinO

【考向18】第十一屆全國雜技展演于2023年3月在山東省舉辦，如圖所示，水平固定的細長桿上

套有一遙控電動小車P,跨過懸掛于O點的輕小光滑圓環的細線一端連接P,另一端懸掛一雜技演

員Q。設初始時細線的右邊部分與水平方向的夾角為仇現在遙控作用下使電動小車P開始向左勻

速運動，電動小車和演員均可視為質點，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（）

A.當8=90。時，雜技演員Q速度為零，處于平衡狀態

B.當8=60。時，P、Q的速度大小之比是2：1

C.在，向90。增大的過程中，繩子的拉力始終等于演員的重力

D.在。向90。增大的過程中，演員Q一直處于失重狀態

【考向19］（多選）一根細繩通過定滑輪且兩端分別系著A和B兩個物體，如圖所示，物體A在外力作

用下，向左以外勻速運動，當連A的繩子與水平方向成a角，連B的繩子與水平方向成￡角，B物體的

C.B物體保持為不變做勻速運動D.B物體的速度越來越大做加速運動

【考向20】（多選）如圖所示，一根長為/的輕桿。4。端用錢鏈固定，另一端固定著一個小球A,

輕桿靠在一個高為力的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當物塊以速度v向右運動至桿與水平方

向夾角為。時，物塊與輕桿的接觸點為8,下列說法正確的是（）

A

B./、8的角速度相同

C.輕桿轉動的角速度為更譬

D.小球A的線速度大小為管受

【考向21】（多選）如圖所示，斯特林發動機的機械裝置可以將圓周運動轉化為直線上的往復運動。

連桿N8,可繞圖中/、B、。三處的轉軸轉動，連桿。8長為R,連桿N3長為乙（L>R）,當

。5桿以角速度。逆時針勻速轉動時，滑塊在水平橫桿上左右滑動，連桿N5與水平方向夾角為a,

桿與桿的夾角為在滑塊向左滑動過程中（）

A.滑塊A從右向左先做加速度減小的加速運動，后做加速度減小的減速運動

B.當08桿與。/垂直時，滑塊的速度大小為3R

C.當桿與。/垂直時，滑塊的速度大小為華

D.當3=90。時，滑塊的速度大小為皿產

.第1真題辭麻規范維

【真題1】（2023?遼寧?高考真題）某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃

【真題2】（2021?遼寧?高考真題）1935年5月，紅軍為突破“圍剿”決定強渡大渡河。首支共產黨員

突擊隊冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強突。若河面寬300m,水流速度3m/s,木船相對

靜水速度lm/s,則突擊隊渡河所需的最短時間為（）

A.75sB.95s

C.100sD.300s

【真題3］（2023?江蘇?高考真題）達?芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直

線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾

何圖形是（）

【真題4］（2023?浙江?高考真題）圖為“玉兔二號”巡視器在月球上從。處行走到2處的照片，軌跡

段是直線，段是曲線，巡視器質量為135kg,則巡視器（）

A.受到月球的引力為1350NB.在段運動時一定有加速度

C.CM段與48段的平均速度方向相同D.從。到8的位移大小等于軌跡長度

一、單選題

1.（2024?陜西寶雞?二模）體育課上兩位同學在室內羽毛球場進行羽毛球比賽，羽毛球在空中上升的

運動軌跡如圖中虛線所示，羽毛球加速度方向示意圖可能正確的是（）

2.（2023?浙江溫州?一模）越野車在冰原上留下的車轍如圖所示，則越野車轉彎做曲線運動過程中

A.慣性變大B.速度不變

C.可能處于平衡狀態D.所受的合外力一定不為零

3.（2024?山東荷澤?一模）一貨車水平向右勻加速直線運動，沿途從貨車尾部連續漏出玉米，忽略空

氣阻力，則下列說法正確的是（）

A.空中玉米排列成一條豎直的直線B.空中玉米排列成一條傾斜的直線

C.空中玉米排列成一條曲線D.玉米在空中做勻變速直線運動

4.（2023?上海金山?二模）如圖，；圓弧型管道"N置于水平面上，一光滑小球從管道M端進入，它

4

A.aB.bC.cD.d

5.2022年11月第十四屆航天博覽會在珠海盛大開幕，在開幕式上殲擊機進行了華麗的表演，如圖

所示，其軌跡為曲線，設飛行路徑在同一個豎直面內，則下列說法中正確的是（）

A.殲擊機在豎直方向上的加速度有可能豎直向下

B.殲擊機處于超重狀態

C.地球對殲擊機引力大于殲擊機對地球的引力

D.殲擊機的速度有可能不變

6.如圖所示，這是質點只在重力作用下所做的曲線運動軌跡的示意圖，己知2為軌跡的最高點，則

下列說法正確的是（）

A.質點在8點時的加速度方向與速度方向不垂直

B.質點在/點時的加速度比在8點時的加速度小

C.質點在C點時的速率大于在3點時的速率

D.質點從/點到C點，加速度方向與速度方向的夾角先減小后增大，速度先增大后減小

7.（2024?遼寧?一模）如圖所示，平靜的湖面上一龍舟正以外=40m/s的速度向東行駛，另一小摩托

艇正以以=30m/s的速度向南行駛，則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度"的大小和方向為

（）（sin37°=0.6,cos37°=0.8）

=

Iv230m/s

A.v-40m/s,向東行駛

B.v=30m/s,向北行駛

C.v=50m/s,向東偏北37。方向行駛

D.v=50m/s,向西偏南37。方向行駛

8.（2023?海南?一模）一條兩岸平直的寬為d的小河如圖所示，河水流速恒定。一人駕駛小船從上游

渡口/前往下游渡口及已知全程船在靜水中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速

大小之比為g：1,行駛中船頭始終垂直河岸，則/、3兩渡口沿河岸方向的距離為（）

B

水流方向

-----?

A

A.當dB.爭

C.V2dD.V3d

9.（2024?遼寧葫蘆島?一模）在廣東珠海舉行的第十四屆中國國際航空航天博覽會上，身披七彩祥云

的“殲-20”驚艷亮相珠海上空。在起飛一段時間內，“殲-20”水平方向做勻速直線運動，豎直向上運動

的"一八圖像如圖所示，則地面上觀眾看到的“殲-20”運動軌跡正確的是（）

10.（2024?全國?二模）游泳是人們很喜愛的運動之一。如圖，某游泳運動員在河中的P點發現正下

游。處有一半徑為r=5m的旋渦，當時水流速度為3m/s.P點與。點的距離d=15m,該運動員為了能

避開旋渦沿直線到達安全地帶，其在靜水中的速度至少為（）

廣工［J漩渦

、—J

A.^^m/sB.lm/sC.2m/sD.■^m/s

11.如圖所示，消防員正在寬度為d=100m,河水流速為%=5m/s的河流中進行水上救援演練，可

視為質點的沖鋒舟距離下游危險區的距離為x=75m,其在靜水中的速度為V2,則（）

II

-------------X------------

d\水流方向.:危險區

II

A.若沖鋒舟以在靜水中的初速度為零，船頭垂直于岸的加速度為a=0.9m/s2勻加速沖向對岸，

則能安全到達對岸

B.為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度V2不得小于3m/s

C.若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30。斜向上游且以速度方=10m/s勻速航行，則恰能到達正對岸

D.沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間仁25s

12.（2023?河北滄州?一模）如圖甲所示為雜技演員正在表演“巧蹬方桌”。某一小段時間內，表演者

讓方桌在腳上飛速旋轉，同時完成拋”“接”“騰空”等動作技巧。演員所用方桌（如圖乙所示）桌面a比d

是邊長為1m的正方形，桌子繞垂直于桌面的中心軸線。0,做勻速圓周運動，轉速約為2r/s,某時刻

演員用力將桌子豎直向上蹬出，桌子邊水平旋轉邊向上運動，上升的最大高度約為0.8m。己知重力

加速度g取10m/s2,則桌子離開演員腳的瞬間，桌角a點的速度大小約為（）

C.V16+8兀2m/sD.V16+167r2m/s

13.質量為機的物體P置于傾角為為,的固定光滑斜面上，輕質細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P

與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。己知重力加速度

為g。當小車和滑輪間的細繩與水平方向成仇夾角時（如圖所示），下列判斷正確的是（）

A.P的速率為VCOS07

B.P的速率為vsin6?/

C.運動過程中尸處于超重狀態

D.繩的拉力始終等于加gsin。/

14.如圖是內燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設置可以繞軸2轉動的輕桿，。軸固定。

工作時高壓氣體驅動活塞在汽缸中做往復運動，再通過連桿驅動滑塊在斜槽中做往復運動，最終驅

動車輪做角速度為。的勻速圓周運動。已知輕桿。/長度為乙運動到圖示位置時2C垂直，

a=￡=60°,那么此時活塞的速度大小為（）