專題11反比例函數壓軸3模型6類題型

模型速覽

題型一：網模型

題型二：面積模型四大類

題型三：矩形模型

宜恤例精講

題型一：網模型

1.在平面直角坐標系中，反比例函數的部分圖象如圖所示，軸于點3,點P在x

X

軸上，若的面積為2,則上的值為（

A.-2B.4C.2D.-4

2.如圖，點A在雙曲線y工■上,A3,無軸于B,且△A03的面積SAAOB=2,則k的值為（）

A.2B.4C.-2D.-4

題型二：面積模型四大類

證明：:S4A8=Syq邊形40VB—S&gv

S悌形.出VW=S四邊形/ojyj-S"O"

；S&BON=S40.W

一S&A°B=S悌&心VM?

集理二

結論：①AO=BO,AB關于原點對稱，②SAABC

類型三

=

結論：①ABCD為平行四邊彩，②Smi，ABCD4SAAOB

矣型四

3.如圖，過無軸正半軸任意一點尸作x軸的垂線，分別與反比例函數/=2和”=2的圖象

XX

交于點A和點艮若點。是y軸上任意一點，連接AC、BC,則AABC的面積為（）

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，A,B是函數y=2的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BC〃尤軸，AC〃y軸，△

X

A3C的面積記為S,則（）

5.如圖，A、8是第二象限內雙曲線上的點，A、8兩點的橫坐標分別是a、3a,線段

)

A.-3B.-4C.-5D.-6

6.如圖，過x軸正半軸上的任意一點P,作y軸的平行線，分別與反比例函數y=一2和y

X

=2的圖象交于A、8兩點.若點C是y軸上任意一點，連接AC、BC,則AABC的面積

X

為()

A.3B.4C.5D.10

7.如圖，點A在雙曲線上，點8在雙曲線y=K(ZW0)上，A8〃x軸，分別過點A、

8.已知反比例函數)=一2(x<0)與y=2(x>0)的圖象如圖所示，過y軸正半軸上的

XX

任意一點尸作X軸的平行線，分別與這兩個函數的圖象交于M,N兩點.若點A是％軸

上的任意一點，連接AM,NA,則SzxAMN等于()

A.8B.6C.4D.2

9.兩個反比例函數Cl：y』?和C2：y=l在第一象限內的圖象如圖所示，設點P在C1上,

XX

PC_Lx軸于點C,交C2于點A,PDLy軸于點。，交C2于點B,則四邊形出。8的面積

C.3D.4

k

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，軸于點8,函數yq(%>0,x

>0）的圖象與線段AB交于點C,且AB=3BC.若△A03的面積為12,則k的值為（）

11.雙曲線Cl：y=M（k關0）和C2：y=」的圖象如圖所示，點A是G上一點，分別過

XX

點A作軸，ACLy軸，垂足分別為點3,點C,AB與C2交于點。，若△AOO的

A.3B.5C.-3D.-5

12.如圖，函數y」（x>O）和y.（x〉O）的圖象分別是A和江設點P在/2上，PA

XX

〃y軸交/1于點A,尸5〃％軸交/1于點8,則△B43的面積為（）

A.1B.4C.9D.旦

84

13.如圖，在平面直角坐標系中，過了軸正半軸上任意一點尸作y軸的平行線，分別交函數

尸旦00）、y=-反（彳>0）的圖象于點A、點若C是y軸上任意一點，則△ABC

xx

的面積為（）

14.如圖，在平面直角坐標系中，△。48的頂點A在x軸正半軸上，0C是△CM2的中線,

點、B、C在反比例函數y=2（x>0）的圖象上，則△0AB的面積等于（）

A.2B.3C.4D.6

15.反比例函數>=」與y=Z在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于x軸的直線分別

交雙曲線于A、B兩點，連接0B,則△AOB的面積為（

2

16.如圖，點P在y軸正半軸上運動，點C在x軸上運動，過點尸且平行于x軸的直線分

A.3B.4C.5D.6

17.如圖，點A是反比例函數>=旦(比>0)的圖象上任意一點，軸交反比例函數y

X

=-2的圖象于點8,以AB為邊作平行四邊形ABC。，其中C、D在x軸上，則S平行四邊

18.如圖，點A在函數y=2(x>0)的圖象上，點2在函數>=當(x>0)的圖象上，且

XX

A8〃x軸，軸于點C,則四邊形ABCO的面積為()

A.1B.2C.3D.4

19.如圖，過點P（2,3）分別作PC,無軸于點C,軸于點。，PC,尸。分別交反比

例函數y=K（尤＞0）的圖象于點A,B,△048的面積為足，則上的值是（

B.雪C.1D.3

A.2

題型三：矩形模型

lr

如圖.A.B是反比例函數尸一圖象上任意兩點，過A、B作x軸、y軸垂線段

x

線段比（共線的線段之比為定值）

____*ADCE

===

證明一：VSc.OADFStf?iOOEC?AOx,4DCExCOW??-------

ABCB

證明一.??§珈丹汕產0_S即晚EgADCE

S班mo^^iVtABcoCB

結論：理=生

ABCB

20.如圖，在以。為原點的直角坐標系中，矩形043。的兩邊OC、分別在x軸、y軸

的正半軸上，反比例函數y=K（比＞0）與A3相交于點。，與3C相交于點E,若BD=

3AZ）,且△ODE的面積是9,貝lj%=（

c-fD.12

21.如圖，在平面直角坐標系中，軸于點A,軸于點C,函數y=K(x>0)

X

的圖象分別交84,BC于點。，E.當AZ)：50=1：3,且△瓦汨的面積為18時，則左

的值是()

A.9.6B.12C.14.4D.16

22.如圖，已知矩形48CQ的對角線8。中點E與點8都經過反比例函數y工■的圖象，且

)

C.6D.8

23.如圖，矩形A8CD的頂點A和對稱中心在反比例函數y=K(20,x>0)上，若矩形

x

D.4

尸3、尸4,它們的橫坐標依

次為1,2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從

左到右依次為S1、52、S3,則Sl+S2+S3=()

D.無法確定

25.如圖，己知雙曲線yl■（尤>0）經過矩形0ABe的邊43的中點E交BC于點E,且

四邊形OE8F的面積為2.貝醍=（）

26.如圖，四邊形048c是矩形，四邊形所是正方形，點A、。在x軸的正半軸上，點

C在y軸的正半軸上，點尸在AB上，點2、E在反比例函數y=K的圖象上，。4=1,

X

OC=6,則正方形跖的面積為（）

A.2B.4C.6D.12

27.如圖，A、8兩點在雙曲線>=芻上，分別經過A、8兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰

影=1.7,則S1+S2等于（）

X

A.4B.4.2C.4.6D.5

專題11反比例函數壓軸3模型6類題型

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題型一：網模型

題型二：面積模型四大類

題型三：矩形模型

宜恤例精講

題型一：網模型

1.在平面直角坐標系中，反比例函數y上的部分圖象如圖所示，軸于點8,點P在x

軸上，若的面積為2,則上的值為（）

A.-2B.4C.2D.-4

【答案】D

【解答】解：連接04如圖，

軸，

S^OAB=S/\PAB~2J

S^OAB=~\k\

2f

??.工因=2,

2

而k<0,

:?k=-4.

故選：D,

2.如圖，點A在雙曲線y工上，ABLx軸于3,且△AOB的面積S?OB=2,則上的值為

【答案】D

【角軍答】解：*，?SAAOB—2,

???因=4,

??,函數在二、四象限，

:?k=-4.

故選：D.

題型二：面積模型四大類

證明：:S4Aog=Syq造形—S&MV

S悌/Lvw=Syq或形40yB-S“OM

**S&BON=S40M

一S-4OB=S怫用@?

類理二

結論：?AO=BO,AB關于原點對稱，②S^ABC-4W

類型三

結論：①為平行四邊附，②

ABCDS^.ABCD=4SAAOB

矣型四

3.如圖，過x軸正半軸任意一點P作x軸的垂線，分別與反比例函數yi=2和”=&的圖象

XX

交于點A和點艮若點。是y軸上任意一點，連接AC、BC,則△ABC的面積為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解答】解：設線段。尸=x,則尸AP=2,

XX

四邊形ACOP=』(OC+AP)X。尸=工。。+1；SBCOP=—(OC+BP)義。尸=三。。+2，

2222

?'?S^ABC=S四邊形5c。尸-S四邊形ACO尸=1?

故選:A.

4.如圖，A,B是函數y=2的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BC〃x軸，AC〃y軸，△

X

ABC的面積記為S,則()

A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>4

【答案】B

【解答】解：設點A的坐標為（無，y）,則2（-無，-y）,xy=2.

?.AC=2y,BC=2x.

：.△ABC的面積=2xX2y+2=Ny=2X2=4.

故選:B.

5.如圖，A、8是第二象限內雙曲線y上上的點，A、8兩點的橫坐標分別是a、3a,線段

43的延長線交x軸于點C,若SAA0C=6.則上的值為（)

A.-3B.-4C.-5D.-6

【答案】A

【解答】解：分別過點A、B作AF±y軸于點F,ADLx軸于點D,BG±y軸于點G,

軸于點E,

?.?反比例函數>=區的圖象在第二象限，

X

k<0,

??,點A是反比例函數圖象上的點，

|I

S/\AOD=S4AoF=-——k-，

2

VA>B兩點的橫坐標分別是a、3a,

：.AD=3BE,

.,.點2是AC的三等分點，

:,DE=2a,CE=a,

:.S叢AOC=S梯形ACOF-S2AOF=—(OE+CE+AF)XOF-〔卜i_=工x5ax-Ls_L-JjS.

222a2

6,解得k--3.

故選：A.

6.如圖，過x軸正半軸上的任意一點P,作y軸的平行線，分別與反比例函數y=一旦和y

X

=馬的圖象交于A、8兩點.若點C是y軸上任意一點，連接AC、BC,則△ABC的面

A.3B.4C.5D.10

【答案】C

【解答】解：方法一：

設P(a,0),a>0,則A和8的橫坐標都為a,

將x=a代入反比例函數丫=-g中得：y=-旦，故A(a,-2)；

xaa

將x=a代入反比例函數y=&中得：y=A,故BQ,冬)，

xaa

：.AB=AP+BP=—+—=—,

aaa

貝!JS/\ABC=-AB*XP的橫坐標=--XIQX〃=5?

22a

方法二：

連接AO,BO,

因為同底，所以SZMOB=SAABC,根據人的函數意義，得出面積為：3+2=5.

故選：C.

7.如圖，點A在雙曲線>=匹上，點8在雙曲線>=區（ZWO）上，A8〃x軸，分別過點A、

若矩形ABCD的面積是8,則k的值為（

C.8D.6

【答案】A

【解答】解：???雙曲線y=K（左wo）在第一象限,

x

”>0,

延長線段84,交y軸于點

???A3〃x軸，

?\AEA.y軸，

???四邊形AEOO是矩形，

???點A在雙曲線y=匡上，

x

??S矩形AEOD~4,

同理S矩形。攵,

?S矩形ABCD—S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8,

"=12.

故選：A.

8.已知反比例函數丁=-旦(x<0)與y=2(x>0)的圖象如圖所示，過y軸正半軸上的

任意一點尸作x軸的平行線，分別與這兩個函數的圖象交于M,N兩點.若點A是兀軸

上的任意一點，連接MA,NA,則S/xAMN等于()

C.4D.2

【答案】C

【解答】解：連接ON、OM,

’「MN〃無軸，

:.S^AMN=S叢OMN=S^OPM+SAOPN,

S/XOPM=^-x6=3,SZ\OPN=/x2=1，

SAAMN=SAOMN=SM)PM+SAOPN=3+1=4,

9.兩個反比例函數Cl:y上和C2:y,在第一象限內的圖象如圖所示，設點尸在C1上,

PCLc軸于點C,交C2于點A,PDLy軸于點。，交C2于點則四邊形出。8的面積

D.4

【答案】A

【解答】解：軸，軸,

/.S^AOC—S/^BOD=—I=—,S矩形PC。。=121=2,

22

四邊形PAOB的面積=2-2?!=1.

2

故選：A.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，軸于點8,函數y*。＞0,x

＞0）的圖象與線段AB交于點C,且AB=3BC.若△AOB的面積為12,則k的值為（）

C.8D.12

【答案】C

【解答】解：連接OC,如圖,

軸于點8,AB=3BC,

SAAOB=3SABOC,

**?SABOC——X12=4,

3

??.工因=4,

2

而攵＞0,

故選：c.

（k：/：0）和。2：y=」的圖象如圖所示，點A是C1上一點，分別過

11.

X

點A作軸，軸，垂足分別為點8,點C,A8與Q交于點。，若△A0。的

C.-3D.-5

【答案】D

【解答】解:*.*S^AOD=S^AOB-S^DOB,

1

=2

22

???因=5,

??,反比例函數位于第三象限,

:?k=-5,

故選：D.

12.如圖，函數y」（x〉o）和y=2（x>0）的圖象分別是/1和72.設點P在/2上，PA

x

〃y軸交/1于點A,尸3〃x軸交/1于點5,則的面積為（）

A.1B.4C.且D.2

84

【答案】C

【解答】解：如圖，延長B4、尸8分別交x軸，y軸于點C、D,連接04、0B,

設點A的橫坐標為x,則點A的縱坐標為』，點P的縱坐標為名,

XX

：.PA=PC-AC=—-

XXX

..?點B在反比例函數y=工的圖象上，點B的縱坐標為4，

XX

點8的橫坐標為工x,

4

即BD=^x,

4

：.PB=PD-BD=x-

44

.'.S^PAB=—PA*PB

2

2x4

-_--9-,

8

故選：c.

13.如圖，在平面直角坐標系中，過無軸正半軸上任意一點尸作y軸的平行線，分別交函數

y=—（x>0）、y=--（尤>0）的圖象于點A、點8.若C是y軸上任意一點，貝UZXABC

的面積為（)

【答案】C

【解答】解：連接。4、OB,

：C是y軸上任意一點，

SAAOB=S/\ABC,

?"△AOP=』X3=§,SABOP=—X|-6|=3,

222

?3Q

??S/\AOB=S/\AOP~^~S/\BOP=—+3——9

22

?_9

??S^\ABC—一，

2

故選：C.

14.如圖，在平面直角坐標系中，△Q4B的頂點A在x軸正半軸上，0C是△048的中線,

點、B、C在反比例函數y=2(x>0)的圖象上，則△。48的面積等于()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解答】解：如圖，過點8、點C作x軸的垂線，垂足為￡）,E,則8O〃CE,

.CE=AE=AC

■'BDADAB'

,/OC是△042的中線，

?CE=AE=AC=1

"BDADAB2"

設CE=m,則BD=2m,

；.C的橫坐標為2,8的橫坐標為

mm

：,OD=^,OE=2,

mm

：.DE=OE-OD=^,

m

：.AE=DE=^,

m

：.OA=OE+AE=^-,

m

：.SAOAB=—OA-BD=-^X^-X2m=3.

22m

故選：B.

15.反比例函數y=工與y=2在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于x軸的直線分別

XX

交雙曲線于A、B兩點,連接。4、0B,則AAOB的面積為（）

A.AB.2C.3D.1

2

【答案】A

【解答】解：由于AB〃x軸，設A點坐標是(a,c),2點坐標是(6,c),那么2=工，

ab

即O=Lz,

2

.\AB—\a-b\—^a,

??「一

?c———2■>

a

S^AOB=—AB9c=-X—aX-=—.

222a2

故選：A.

16.如圖，點P在y軸正半軸上運動，點。在x軸上運動，過點P且平行于x軸的直線分

【答案】A

【解答】解：設點尸的縱坐標為

則—-=a,—=a,

xx

解得％=--,x=—,

aa

所以點A(-—,a),B(—,a),

aa

所以45=2-(-A)=2，

aaa

VAB平行于x軸，

點C到AB的距離為a,

：.AABC的面積=」?2?〃=3.

2a

故選：A.

17.如圖，點A是反比例函數>=旦(尤>0)的圖象上任意一點，AB〃彳軸交反比例函數y

X

=-2的圖象于點8,以A8為邊作平行四邊形ABC。，其中C、。在x軸上，則S平行四

x

【答案】D

【解答】解：連接。4、OB,交y軸于E,如圖,

軸，

軸，

.".SAO￡A=—X3=—,5OBE=—X2=l,

22A2

.'.5AOAB=1+—=—,

22

?..四邊形ABC。為平行四邊形，

S平行四邊形ABCD=2SAO4B=5.

故選：D.

18.如圖，點A在函數y=2(x>0)的圖象上，點8在函數y=&(x>0)的圖象上，且

AB〃x軸，BCLr軸于點C,則四邊形A8C。的面積為()

【答案】c

【解答】解：如圖，延長交y軸于￡>,則四邊形。C2D為矩形.

:點A在雙曲線y=2上，點B在雙曲線上，

XX

S/^OAD=1,S矩形OCBD—^9

???四邊形A3co的面積=S矩形OCBO-SAOAD=4-1=3.

19.如圖，過點尸（2,3）分別作軸于點C,軸于點。，PC,尸。分別交反比

A.2B.C.心D.3

33

【答案】A

【解答】解：由題意8（―,3）,A（2,上），

32

??Q_8

?S/^AOB——，

.?.2X3-K-K-工《2-K)(3--)=—,

222323

解得k=2或-2(舍棄)，

故選：A.

題型三：矩形模型

k

如圖.A.B是反比例函數y=一圖象上任恚兩點，過A、B作x軸、y軸垂線段

x

線段比(共線的線段之比為定值)

20.如圖，在以。為原點的直角坐標系中，矩形042c的兩邊OC、Q4分別在x軸、y軸

的正半軸上，反比例函數y=K(x>0)與A2相交于點。，與BC相交于點E,若BD=

245

【答案】C

【解答】解：?..四邊形OCA4是矩形，

：.AB=OCfOA=BC,

設8點的坐標為（a,b）,

*：BD=3ADf

：.D（包，b）,

4

???點0,E在反比例函數的圖象上，

??.也=億：.E（a,K）,

4a

VS^ODE=S矩形。C3A-S/\AOD-S^OCE-S^BDE=ab--w———k-—-區）=9,

24224a

故選：C.

21.如圖，在平面直角坐標系中，軸于點A,BCLx軸于點C,函數y=N（x>0）

X

的圖象分別交R4,BC于點、D,E.當A。：BD=1：3,且△8DE的面積為18時，則左

的值是（）

A.9.6B.12C.14.4D.16

【答案】D

【解答】解：如圖，過點。作O尸，工軸于點R過點E作EGJ_y軸于點G.

設3（4〃，b）,E（4〃，d）.

'：AD：BD=1：3,

?,.￡）（〃，b）.

又的面積為18,

:?BD=3a,BE=b-d,

AAx3a(b-d)=18,

2

:?a(b-d)=12,BPab-ad=12,

???o,6都在反比例函數圖象上，

??ab=4ad,

??4ad-〃d=12,

解得：ad=4,

.??Z=4ad=16.

22.如圖，已知矩形ABC。的對角線3。中點￡與點B都經過反比例函數y能的圖象，且

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解答】解：過點E作EMLAD于點M,過點E作ENLAB于點N,

y

A\~~

------------?

設B(a,b),

?\AB=a,

,**S矩形ABCD=S，

.?.AD=B,

a

???點E為矩形ABC。對角線3。的中點，EMLAD,ENLAB,

：.ME//ABfEN//AD,

^B=—,EN=LQJ,

???點E與點3都經過反比例函數y—的圖象，

X

:(b+^)=ab，

Za

ab=4,

由圖可知，反比例函數y」Z的圖象經過第一象限，

??]c~~ab=4.

故選：B.

23.如圖，矩形A3C0的頂點A和對稱中心在反比例函數y=K(ZWO,x>0)上，若矩形

A.8B.3MC.272D.4

【答案】D

設A點的坐標為(m,w)則根據矩形的性質得出矩形中心的縱坐標為二，

2

\?矩形A8CZ)的中心都在反比例函數＞=區上，

X

?Y-2k

n

.,?矩形ABCD中心的坐標為(圓,2)

n2

：.BC=2(次-口)=--2m,

nn

,