U18聯盟校月考一?數學

注：1.本卷總分150分，考試時間120分鐘；

2.考試范圍；集合與常用邏輯用語、一元二次函數、方程和不等式、函數的概念與性質、指數

函數與對數函數、導數及其應用

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷無效。

3.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是正確的。請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。）

1.若集合/={xeZ|lnx<l},則下列關系成立的是（）

A.OeAB.eeAC.{1,2]^AD.0EA

2.已知命題?：VxeR,%>x3；命題q：eR,x2-x<0,則（）

A.p和q都是假命題B.p和q的否定都是假命題

C.p的否定和q都是假命題D.p的否定和夕的否定都是假命題

3.“log[V>bg]x”是“0<%<1，，的（）

33

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

In（?.?

4.函數/（x）=—~的圖象大致為（）

C.

5.已知函數/(x)=-/-,則()

A/4-X2

A./(V3)>/(V2)>/(-l)B./(V2)>/(V3)>/(-l)

C./(V2)>/(-l)>/(V3)D./(-l)>/(V3)>/(V2)

6.已知曲線/(x)=x—lnx在點0(萬(加))處的切線過點(0,0),則/(加)+1=()

A.—B.ec.lD.e2

e

13

7.已知實數4,b均大于1,且滿足31ga+lgb=2,則■;--「■的最小值為()

IgaIgb

A.4B.6C.8D.12

8.已知函數/(》)=[在'6<”,若存在三個不相等的實數再

‘毛,使/(石)=/(%)=/(%3)成

[-x+l,x>a

立，則實數。的取值范圍是()

(1、

A.(~°°?—1]B.(-1,0)C.-1,1H_一D,l+-,+oo

1e7e

二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。)

9.命題“王；e[1,4],使得用《二+!”為真命題的一個充分不必要條件是()

2x

A.m<0B.m<V2C.m<2D.m<3

10.設函數/(x)=——6底+9x—4,則()

A./(x)的極小值點為3B.當0<x<l時，/(X3j>f(x)

C.當l<x<2時，-4</(x+l)<-2D./(x)有3個零點

11.已知函數/(x)是定義域為R的奇函數，且/(x+l)+/(x+2)=—/(%),則()

A./(l)=lB./(X)的一個周期是3

(3\

C./(x)的對稱中心是-,0D./(10)+/(ll)+/(12)=0

12J

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)

12.已知集合/=卜eNR-i2x+20<0}，8={xeN|x2a},若/PlB)中恰好有2個元素，貝!Ja

的取值范圍是

13.已知函數,若函數/(x)的定義域為{x|xW加或xNl},則加=；若函數

/(X)在［L+8)上單調遞增，則a的取值范圍是.

(1、

14.方程e"6"-1+--2ea=lnx-x+1有且僅有一個正根，則。的取值集合為_______.

Ie7

四、解答題(本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

己知集合M=|x|(x-l)(x-4)>oj>N={x［2(a-l)<x<a+3}.

(1)當a=2時，求(?M)nN；

(2)“％6河”是“工6"”的必要條件，求實數a的取值范圍.

16.(本小題滿分15分)

已知函數/(x)=eA+x2-(ar+l),xeR的圖象在x=0處的切線方程為y=—x.

(1)求。的值；

(2)證明：/(x)>x2-l.

17.(本小題滿分15分)設函數/(x)=3、—3一1

(1)求不等式/(I—2x)+/(2—必)〉0的解集；

(2)若/7(x)=［/(x)T+2的(尤)+2在口,內)上的最小值為11,求實數加的值.

18.(本小題滿分17分)

已知函數/(%)=2履2-41nx,g(x)=ln-，其中xe(o,e］,k>0.

k

⑴若/(x)在x=3處取得極值，求左的值；

(2)討論函數/(x)的單調性：

(3)若對任意再,/e(O,e］,當左>1時，不等式/(』)>g(X2)+4恒成立，求上的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)

區間［2,4是函數y(x)的定義域。的一個子集，若/(X)在區間以應］內單調，且當xe［夕⑷時，/(%)

的值域也是［夕應］,貝I稱［P應］是函數/(%)的“封閉區間”.

⑴求函數/(%)=一%3+1的一個“封閉區間”；

(2)若函數g(x)=M+?存在“封閉區間”，求實數加的取值范圍；

(3)求證；函數〃(x)=2-不---存---在“封閉區間二

x

U18聯盟校月考一?數學答案

1——5：CBCAA6—8：BBC9—11：ABC,AC,BCD

12.(4,5)解析：={xeN|x2-12x+20<0)={xeN|2<x<10}={3,4,5,6,7,8,9}.

而Q5={xeN|x<a},若/。(電可中恰好有2個元素，

所以/。([8)={3,4},則a的取值范圍是(4,5].

13.1；[2,^0)

解析：由題意ax?一3%+120的解集為{%帆<x<,則。<0,

且1是方程a/一3工+1=0的一個根，可得a=2,

由根與系數關系得加x1=工=工，所以加=工；

a22

a>0

3

當〃。0時，函數/(“在[L”)上單調遞增，所以T五<1,解得Q22,

/(I)>0

當Q=0時，f(x)=y/—3x+1,不符合題意，

綜上，6Z>2,故Q的取值范圍是[2,+8).

14.{1}

解析：觀察方程先分析右側，設g(x)=lnx—x+1,則g，(x)=L-i=4

XX

當xe(O,l)時,g,(x)>0,g(x)單調遞增，

當xe(l,+oo)時,gr(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)Wg(l)=0,即》=1時g(x)3=°.

又e(exT+二]-2ea>eax21.x上)-2ea=2efl-2ea,

當且僅當x=l時等號成立，即x=l時,

所以2e"—2ea=0,即Ina—。+1=0,

由上可知a=1,故。的取值集合為{1}.

15.(13分)解：⑴因為M={x1x<l或x>4},=|x|l<x<4},

當a=2時N=[x\2<x<5},所以(QM)nN={x\2<x<4}.

(2)由“xe"”是“xeN”的必要條件，所以N=M,

當N=0時，2(a—1)2a+3,解得a?5,

~fa<5fa<5,-

當Nw0時，《或《，解得3WQ<5或。<—2.

2(。-1)24[〃+3<1

綜上，實數a的取值范圍是(F,-2]U[3,W).

16.(15分)解：(1)f'(x)=ex+2x-a,貝⑼=l—a,/(0)=0,

則過切點(0,0)的切線方程為歹―0=(1—a)(x—0),

即y=(l—a)x,所以1—a=—1,即a=2.

(2)要證：/(x)>x2-l,即證：ex-2x>0,

設〃(x)=e*-2x,/(x)=e*-2,

令〃'(x)=0,解得x=ln2,

當xe(Yo,ln2)時，/z(x)單調遞減，xe(ln2,+。。)時，/z(x)單調遞增，

所以力(x)2〃(ln2)=e1"?—21n2=2—ln4=Ine?—ln4>0,

所以f(x)>x2-l.

17.(15分)解：(1)因為/(—x)=3f—3、=—(3工—3T)=—/(x),

所以/(x)是R上的奇函數，

又歹二壬和歹二一3一、在R上均為增函數，所以/(x)在R上為增函數.

不等式/(I—2x)+/(2—/)〉0,可轉化為/(2——)〉一/(i—2%),

所以f(2-x2)>/(2x-l),

則2—/>2x-l,BPx2+2x-3<0,

所以不等式的解集為卜卜3<x<1}.

(2)h(x)=(3x-3-x)2+2?1(3"-3^)+2,令/=3'—3一工(X21),則t2g,

(8、

令g?)=/+2加，+2t＞-,拋物線開口向上，對稱軸為直線方=一加,

88(、⑻6416c,,

當一m＜一,即冽〉——時，g(/)1rfn=g7=77+77加+2=11，

331nm⑶93

解得加=—.

48

當-強|,即於］時，^(zLn=g(-w)=w2-2m2+2=ll,

解得加2=-9,無解.

綜上，當a=*時，/z(x)在［1,內)上的最小值為11.

44AX2-4

18.(17分)解：由題意/'(x)=4Ax--=-------xe(O,e].

XX

由己知/(3)=0,解得上='

-%2-4-(x-3)(x+3)

此時/(x)=9——=己—2—1

XX

易知在區間(0,3)上/(x)單調遞減,

在(3,”)上/(x)單調遞增，即函數/("在x=3處取得極小值,

因此左=L

9

(、

4人12_：4kx+

(2)由題意廣(x)=7

X

其中xe(0,e],k>0,

([7、上單調遞減,在悟』上單調遞增.

入4k,m)在聯

①當je,即左＞1

ke

7

y/k

②當fe,即0〈發《二，則/(x)在(o,e］上單調遞減.

ke

綜上，當0＜七m1時，/(X)的單調遞減區間為(0,e|；

e

(、

當上＞4時，/(X)的單調遞減區間為0,-^，單調遞增區間為悟e

e

(3)當上＞1＞］時，由(2)可知當x=；—時，函數/(X)取得最小值，

ek

(［7\

即/V=2+21n左，

由g(x)=In,=Inx-In4,可得g(x)在(0,e］上單調遞增,

即當％=e時，g(x)raax=g(e)=l-toA;,

對任意玉e(°，e］，當左＞1時，不等式/(再)＞8(%2)+4恒成立，

則必有/(x)1nl口＞g(x)1rax+4,即2+21n左＞1—In上+4,解得左〉e,

所以人的取值范圍是(e,4w).

19.(17分)解：(1)因為/(X)=—X，+1在(―oo,+oo)上是減函數，

P＜Q

xe［夕應］時，有｛-p3+］=q,

--+1=7

所以2=0,q=1,

所以函數/(X)=—丁+1的一個“封閉區間”是［0』.

(2)函數/(切=加+石的定義域是［0,"o),若此函數存在“封閉區間”,

所以存在區間［夕應仁］。,+00),

使〃x)=加+4在［?應］上的值域也為［?應］,

因為/'(X)=」戶＞0,所以/(封=加+&在［0,上時上單調遞增,

27x

=m+@

P即p,q是方程％=陰+6的兩個相異實根，且夕＜鄉,

所以

=m+y1~q

q

x2-(2m+l)x+m2=0

也就是<x20的兩個相異實根,

x>m

令g(x)=f-(2m+l)x+m2,

2m+1_

----->0

2

1

①當初40時，滿足題意的不等式組為《△=(2m+1)2-4m2>0,解得m>---