第1章空間向量與立體幾何（單元重點綜合測試）

一、單項選擇題：每題5分，共8題，共計40分。

1.已知向量商=（2,-1,3）,5=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若少，方，工共面，則實數4=（）

62-64—60—65

A.—B.—C.—D.—

7777

2.已知向量M=（l/,0）,5=（-1,0,2）,且依+B與22-B互相垂直，則上的值是（）

75

A.—B.2C.—D.1

53

3.如圖，在平行六面體ABCD-A耳60中，E,尸分別在棱8月和。2上，且。尸=）。2.記

1BE

EF=xAB+yAD+zAAi,z="則為=（）

C-ID.1

4.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉麻，在鱉膈A-3co中，A3,平面BCD

BCVCD,且AB=3C=CD,M為的中點，則異面直線與CD夾角的余弦值為（）

A.立B.立C.走D.立

3434

5.己知矩形A8CZ）,尸為平面ABC。外一點，且尸4,平面ABCD,",雙分別為尸。,尸口上的點，

PM=2MC,PN=ND,NM=xAB+yAD+zAP,貝”+y+z=（）

P

5

ABC.1D.

-4-16

6.空間內有三點尸（1,2,-3）,E（2,4,0）,—0,4,2）,則點P到直線跖的距離為（）

A.72B.3亞C.6D.2A/3

7.已知正方體ABC。-4400的棱長為4,點E是棱CG的中點，動點尸在正方形乃8田內（包括邊界）

運動，且PR〃平面3DE,則PC長度的取值范圍為（）

B.[40,6]

D.[266]

8.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AC1BC,AC=2,BC=1,M=2,點。在棱AC上，點E在棱

2月上，給出下列三個結論:

G

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為:；

②4。+DB的最小值為應+6；

③點。到直線GE的距離的最小值為卓.

其中所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

二'多項選擇題：每題5分，共4題，共計20分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選

錯的不得分。

9.已知向量々=（4,-2,-4），1=（6,-3,2）,則下列結論不正確的是（）

A.ct+b=（10,—5,—2）B.ct—b=（2,—1,6）

C.a.5=10D.同=6

10.下列說法錯誤的是()

A.若空間向量；〃)，則存在唯一的實數4,使得石=幾￡

___k?1___.1___,

B.A,B,C三點不共線，空間中任意點O,^OP=-OA+-OB+-OC,則P,A,B,C四點共面

488

C.a=(x,2,l),B=(4,-2+x,x),￡與B夾角為鈍角，則x的取值范圍是卜巴。

D.若｛函，屈，元｝是空間的一個基底，則。，A,B,C四點共面，但不共線

11.如圖，正方體48。-4與￡旦的棱長為1,E是。2的中點，則()

A.直線2(〃平面42。B.B.C1BD1

C.三棱錐G-BCE的體積為gD.異面直線8。與應＞所成的角為60。

12..如圖，在菱形ABCD中，AB=*?,/BAD=60。，沿對角線8。將△ABD折起,

使點A,C之間的距

3

離為2&,若尸,。分別為直線32上的動點，則下列說法正確的是()

A.無論P運動到哪，NAPD都是銳角

B.線段PQ的最小值為亞

C.平面ABD_L平面BCD

D.當P,Q分別為線段3QC4的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為邁

4

三'填空題：每題5分，共4題，共計20分。

13.已知向量元=(2,0,1)為平面a的法向量,點A(T2,1)在a內，則點尸(1,2,2)到平面a的距離為.

14.已知向量2=(0,-2,2),向量5=(#,3,1),則向量％在向量方方向上的投影為.

15.41,-1,3),8(7,0,2)為空間直角坐標系中的兩個點，沆=(2,4〃)，若而〃而，則4+〃=.

16.如圖，棱長為3的正方體的頂點A在平面a內，三條棱A3,AC,AD都在平面a的同側.若頂點8,C到

平面a的距離分別為&,括，則平面ABC與平面a所成銳二面角的余弦值為

四、綜合題：共6題，共計70分。

17.(本題10分)如圖，在空間四邊形。4BC中，2麗=成，點E為AD的中點，設礪=￡，OB=b，OC=c-

(2)若CM=OC=3,OB=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求反工的值.

18.(本題12分)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條

坐標軸不垂直,那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°,

我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60。坐標系”下向量的斜60°

坐標：i,j,k分別為“斜60。坐標系”下三條數軸(了軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量力=3+行+z〃,

則萬與有序實數組(無，y,z)相對應，稱向量為的斜60。坐標為[尤，y,z],記作為=[x,y,z].

⑴若々=[1,2,3],=[-1,1,2],求a+5的斜60。坐標；

⑵在平行六面體A28-A3CQ中,AB=AD=2,AA/=3,ZBAD=ZBAAl=/〃叫=60",如圖，以｛麗，麗，可｝

為基底建立“空間斜60。坐標系”.

101以

B

①若BE=EBx，求向量EDt的斜60。坐標；

②若加=[2j,0],且前求麗.

19.(本題12分)如圖，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,ADYAB,AB=AD=2,AE=BC=4.

E

;

B

⑴求證：郎〃平面ADE；

(2)求直線CE與平面所成角的正弦值；

(3)若二面角尸的余弦值為g,求線段CF的長.

20.（本題12分）如圖，四棱錐尸-ABC。的底面為正方形，PZ〃底面ABCD設平面外。與平面P2C的交

線為/.

（1）證明：平面POC；

（2）已知PD=AD=1,。為/上的點，求PB與平面所成角的正弦值的最大值.

1

21.（本題12分）已知三棱柱ABC-AgC1中，ZACB=90°,,AC=AAi=4,BC=2.

（1）求證：平面AACC】_l_平面ABC；

⑵若ZAAC=60°,在線段AC上是否存在一點P