考研數學三線性方程組

1.【單項選擇題】

已知A=[a],如必‘費」是4階矩陣,牛=(3,1,-2,2)二生=(0.-1.2.1)T是

Ax=0的基礎解系，則下列命題中正確的一共有

①6一定可由線性表示.

②小是A列向量的極大線性無關組.

③秩廠(a1，q+a：.a3—a,)=2.

④如，見是A列向量的極大線性無關組.

A.4個.

B.3個.

C.2個.

D.1個.

正確答案：A

參考解析：由小,”是Ar°的基礎解系?知n—r(A)=2.

有r(a..a2,a.?)=r(A)=2.

又Ajj]=0泊小=0,有

:3。|+a?-2缺+24=0,(1)

I一見+23+a；=0.(2)

⑴+(2)得/=一4，

代人(1)得w+a2-2%=0,(3)

故①正確.

如如，a線性相關,不妨設a,=Mb，由(3)有a：=(2-k)a.

那么r(a1.a：.a.at)=r(板：，(2-公aa?—ka)H2.矛盾.

從而a.a必線性無關，②正確.類似知@正確.

至于③(0，①+a：，a-a.)-?(ai.a2-a).

2.【單項選擇題】設方程組人*點有皿個方程，n個未知數且mWn,則正確命

題是

A.若Ax=O只有零解，則Ax=b有唯一解.

B.若Ax=O有非零解，則Ax=b有無窮多解.

C.若Ax=b有無窮多解，則Ax=O僅有零解.

D.若Ax=b有無窮多解，則Ax=O有非零解.

正確答案：D

參考解析：A是mXn矩陣.

Ax=0只有零解Qr(A)=n

Ax-b有唯一解㈡r(A)=r(A,b)=n

那么當r(A)=〃時，能否保證r(A,b)=〃?若A是”階矩陣，結論肯定正％現在A是加XR

矩陣且川/比考查下面的例子：

11+1?=0jJT|+笈=1I?+1?=1

<X)-x2=0,<J)—x2=2,<i]-4=3

.211+212=0.2?+2圖=3[2JI+2X2=2

顯然Ax=0只有零解.但阻=b可能無解也可能有唯一解,所以(A)不正確.

類似地，依=0有非零解㈡r(A)O.

r(A)<n=kr(A)=r(A,b)<n

例如

；Ji+1：+.r,i=0(?+此+乃=I|Zi+.r：+J3=I

|2XI4-2X2+2X}=0*I2T1+2JJ+2J'J=3’1211+2]1+2/=2

當阻=0有非零解時,Ax6可能無解,也可能有無窮多個解，所以(B)不正確.

方程組公=b有無窮多個解㈡r(A)=r(A,b)O,因r(A)<〃,故恥=()必有非零解，

即⑴)正確.

復習數學要注意學習舉反例.

3.【單項選擇題】已知5,n2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解，€

“一是對應齊次線性方程組Ax=O的基礎解系，L,kz為任意常數，則Ax=b的

通解為().

A.氐察一6(之一金)十歸/

B瓦多?無鰭以)+^^型

「kJ,卜5F)，"

1/?

D防言‘k5一小)+"L尹?’

正確答案：B

參考解析：人X乳的通解為Ax=O的通解加上Ax=b的一個特解，根據非齊次和齊

次線性方程組解的性質與結構，知

7電）=0十Am）=b.

\LtfM\itI

即:（即一小）是舐=o的解,故排除AC

因不能判定小一小是否與卜線性無關，所以不能選D.

事實上，由:（巾+冰）是獨=b的解.且:與自一《.線性無關，所以&十一或是

版=0的基礎解系,故B正確.

4.【單項選擇題】設A是行階矩陣，對方程組（I）Ax=O和（IDA'AxR,必有

（）.

A.（II）的解是（I）的解，（1）的解也是（11）的解

B.（H）的解是（I）的解，但（I）的解不是（H）的解

C.（1）的解不是（11）的解，（II）的解也不是（I）的解

D.（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解

正確答案：A

參考解析：由Ax=O,得A,AX=AT（AX）=O,故Ax=O的解是A『Ax=O的解.

反之,若x是ATAX=O的解，令Ax=b,則bT=（Ax）T=XTAT,從而brb=xTATAx=O.

于是b的各分量的平方和為0,故b=0,從而Ax=0,因此ATAx=0的解是Ax=0的

解.

5.【單項選擇題】設A是n階矩陣，若對任意的n維列向量a,有A*a=0,

則Ax=0的基礎解系所含解向量的個數k滿足（）.

A.k=0

B.k=l

C.k>l

D.k=n

正確答案：c

參考解析：9程組解的判別，關鍵是討論其秩.由已知，對任意n維列向量

a,有A*a=0,故A*a=0的基礎解系有n個，即n-r（A*）=n,故r（A*）=0,由

r（A）與r（A*）的關系，知r（A）〈nT,所以Ax=0有k=n-r（A）>n-（nT）=l個基礎

解系，故C正確.

6.【單項選擇題】

+>!?+/，3=0，

設方程組，?+入=+4=0.的系數矩陣為A,若存在3階矩陣3RO,使得

IX）+4+如=0

AB=O,則必有（）.

A.入=-2且|B|二0

B.入=-2且|B|WO

C.入=1且|B|二0

D.入=1且|B|WO

正確答案：C

參考解析：由AB=O,知B的每一個列向量都是Ax=O的解.

lA1A2

又B￥0.知Ax=0有非零解，從而A=1A1=（入-1）?=0,所以；1=1.

|11A

又若IB|￥0,1B可逆，故ABB?=A=0,與矛盾,所以IBI=0.

2力—8.門+4=仇，

設方程組J乃一212+工3=8，有解?則().

7.【單項選擇題】2.r--3J-b

A.當k#-5時-，(b,,b2,b>為任意非零列向量

B.當k=-5時,(b?b2,bJT為任意列向量

C.當k=-5時，bi+b3=4b2

D.當kW-5時，bi+b3=4b2

正確答案：C

對增廣矩陣無作初等行變換，

[2-31：6,][1-21；b2

01-11仇一2"

A=1-21：h2

I。G+41"一28

參考解析：[2k3：

1-21；仇

—?01—1：b\—2b2

0A+50瓦+優一4b2

由方程組有解,知r（A）=r（不.

當k聲一5時，對任意向量b=("也也)，.有r(A)=r(A)=3；

當k=-5時,r(A)=2,當4+人一4bz=0,即8+8=4>時,r(A)=2.

8.【單項選擇題】設矩陣A-,Bnx4lj().

A.當m>n時一，AB必可逆

B.當m>n時，必有|AB|=0

C.當n>m/時,必有r(AB)〈m

D.當n>m時，ABx=0必有唯一解

正確答案：B

參考解析：對選項B,由r(AB)Wr(A)Wn〈m,而AB為mXm矩陣，故必有

|AB|=0.

9.【單項選擇題】設A是n階矩陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個線性無關的

解，貝k).

A.A*x=0的解均是Ax=0的解

B.Ax=0的解均是A*x=0的解

C.Ax=0與A*x=0無非零公共解

D.Ax=O與A*x=O恰好由一個非零解構成公共基礎解系

正確答案：B

參考解析：

由艙=0有兩個線性無關解=>w-r(A)，2=>NA)<〃-2=>A中〃1階子式

A=。

全王為o川=>A"=0=>A*=0=>#*=0*有〃-5)=〃個.基礎,解..

又AT=.4\4=|A|￡：=()及心=0。/版=(),即阻=0的解均是11=0的

解,故選B.顯然可排除A.

由于阻0與m=().當/■(1))《「(4)+「(/，)<〃時,].=0有非零解，即如=()

與法=0有非零公共解.又

A4-=0=>r(A)+r(A,)<?.

故當r(A)+rGT)<一時加=0與A，x=0有非零公共解，故排除C.

而獨=0與A7=0恰好由一個非零解構成公共基礎解系,需條件

故排除D.

10.【單項選擇題】設A是mXn矩陣，則非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解

的充分必要條件是().

A.r(A|b)<n

B.Ax=O有非零解

C.Ax=b有兩個不同解

D.A的列向量組線性相關

正確答案：C

參考解析：

Ax=b有無窮多解?r(A)=r(A：b)<n.

對于A：由r(A;b)<n^>r(A)=r(A：b),故排除A.

對于B：Ax=0有非零解聲阻=b有無窮多腦.因為阻=0有非零解㈡r(A)O,但

可能r(A)Rr(A：b),即皿=6可能無解.

對于C：設h=b有兩個不同解心皿,則明一。是阻=0的非零解nr(A)O,且

Ax=b有解,即r(A)=r(A2)O,故阻=b有無窮多解,而阻=b有無窮多解時，有

定有兩個不同解，故C正確.

對于D：A的列向量組線性相關GU=()有非零解,這是結論，見；(李林考研數學系列線

性代數輔導講義;第三章.而加=()有非零解力阻=%有無窮多解(可能無解).

T

11.【單項選擇題】浚A，=(a1,a2,-??,aC是nx(nT)矩陣，r(A)=n-l,

Bi,M是與a”a2,…，an—都正交的兩個不同的n維列向量，是是任意常

數，則方程組Ax=0的通解為().

A.k(B「B2)

B.k(P1+P2)

C.k3

D.kP2

正確答案：A

參考解析：由已知，r(A)=r(AT)=n-l,Ax=O的基礎解系有n-r(A)=l個向量.

因為4M與a,-ai都正交,所以a，f=0,a;R=0,i=12…“l1.從而

O,

0

.邛,j—1,2,

fl10

由此可知，力是如0的兩個不同解.故人”月)是心。的通解.

由于PJ可能是零向最故排除C.D；由于同4(也可能是零向世,故排除B.

n,J—=：的基礎解系是

MH小,齊次線性方程組

12.【單項選擇題】?+4-r4=0

A.(-2,2,1,0)T,(1,2,0,1)T.

B.(-1,0,1,1)T,(2,0,-2,-2)T.

C.(-2,2,1,0)T,(2,2,-3,-4)T.

D.(1,-2,0,

正確答案：C

參考解析：【分析】齊次方程組Ax=O的基礎解系有3層含義：(1)齊次方程組

的解；(2)線性無關；(3)解向量個數為n-r(A).

本題(B)中兩個向量線性相關，肯定不是基礎解系，要排除.易見本題秩

r(A)=2,那么，n-r(A)=4-2=2,即解向量個數應為2,故要排除(D).至于(A)和

(C)必有一個正確，因此(-2,2,1,0尸肯定是解.那么(1,2,0,1廠與(2,

2,-3,-4尸中必有一個不是解，故要從解的角度來分析判斷.將(A)中的(1,

2,0,1)「代入方程，知不是方程組的解，故去除(A),(或將(C)的(2,2,-3,

-4)「代入方程，滿足方程知)所以要選(C).

13.1單項選擇題】已知a1=(1,1,-1)T,a2=(1,2,0)，是齊次方程組AX=O

的基礎解系，那么下列向量中Ax=O的解向量是

13\

X7

A.1\

X7T

BC.2,-3

2?\

2,-657

2,\

D.-案71

?B

參考解析：

如果(A)是以0的解，則(D)必是阻。的解.因此(AMD)均不是舐0

的解.

由于a,a是心()的基礎解系，那么a可表示，心。的任何一個解中亦即方程

可見第2個方程組無解，即(2,2,-5)T不能由a.,a線性表示，故(C)不成立,應選(B).

14.【單項選擇題】要使a1=(2,1,1)T,a2=d,-2,-1尸都是齊次線性方程

組Ax=O的解，只要系數矩陣A為

-211'

A._1—2—1.

"13-5"

B.L-1-35

-1-42、

C.L12-1-,

■1-3r

D.L2-62」，

正確答案：B

參考解析：因為a”a2線性無關，所以Ax=O至少有兩個線性無關的解，故n-

r(A)22,即r(A)>3-2=1,因此排除(A)(C).

對于(B)和(D),因為a2不是方程組(D)的解,因此排除(D).

15.【單項選擇題】設向量組a”a2,a3為方程組AX=O的一個基礎解系，下

列向量組中也是方程組AX=O的基礎解系的是().

A.ai+ci2,a2+a3,a3-a!

B.a]+a2,a2+a3,aj+2a2+a3

C.a,+2a2,2a2+3a3,3a3+a1

D.a1+a2+a3,2a^3a2+2a3,3a^5a2-5a3

正確答案：C

參考解析：根據齊次線性方程組解的結構，四個向量組皆為方程組AX=O的解向

量組，容易驗證四組中只有(C)組線性無關，所以選(C).

16.【單項選擇題】設A為mXn階矩陣，且r(A)=m〈n,則().

A.A的任意m個列向量都線性無關

B.A的任意m階子式都不等于零

C.非齊次線性方程組AX=b一定有無窮多個解

D.矩陣A通過初等行變換一定可以化為(E,』0)

正確答案：c

參考解析：【解】

顯然由r(A)=〃iO,得r(A)=r(A)="i，所以方程組AX-b有無窮多個解.

ii(C).

17.【填空題】已知A是三階實對稱矩陣，入尸1和入2=2是A的2個特征值，

對應的特征向量分別是ak(1,a,-1尸和a2=(1,4,5)1.若矩陣A不可逆，則

Ax=O的通解是.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：-3,—2?1)二々GR

【解析】

A是實對稱矩陣，a?和a2是不同特征值的特征向量，相互正交，則

ala：=1+4a-5=0.得a=1.

由矩陣A不可逆，知|A|=0,故;1=0是A的特征值.

設。=(?,工2，工3廠是4=0的特征向此于是

aa,=j|+—一13=0,

aa：=Ji+4.+5-=0,

得基礎解系從而阻=0的通解為￡R

'1?

注意=0a=0,即4=0的特征向業就是Ar=0的解,又A?2=A.有r(A)=

.0.

r(A)=2?n-r(A)=3-2=1,從而a是Ar=0的基礎解系.

18.【填空題】

Xi+212+4=3?

設方程組<2xi+(A+4M—5]3=6,有無窮多解?則k=___.

I1112卜工3

請查看答案解前后媒本題進行判斷:‘答對了答錯了

正確答案：

參考解析：T或。

【解析】

對非齊次線性方程組的增廣矩陣a作初等行變換，

121：3][121：3]

A=2G+4-5：6—>!Ok-750,

I—1—2k：—3J[00k1：0；

由方程組有無窮多解,知r(A)=r(X)V3,故笈=-1或6=0.

19.1填空題j設a”a2,a3,B均為三維列向量，A=(p-a-2a2-3a3,a

1,a2,a3),則方程組Ax=B的一個特解為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(1,1,2,3)T

【解析】

T

設Ax=B有特解a*=(x”x2,x3,X4),則

工，

r\a=(Pa；-2a>-3a.apa；<a)

=a；~2a-3c).力+a”？+a?j;+ar(

=fir+(1?—Ji)a,+(.r,-2xi)a>+(r<-3j])a=fi.

取I[=g=1,i，=2為=2閉=3xi=3,故Ax=0有一個特解為(1.1.2*3),.

20.【填空題】設A=(a”)3X3為實矩陣.且Aij=au(i,j=l,2,3),其中Aij為a”

的代數余子式，

1f01

-3=1?IA1=1?則方程組建'=%的解為________.

111

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:(①*，*<)T=(0?0?1)T.

【解析】

由已知.A,,=a”,知A?=A：,故

電f0lA-[°][0]回」

Xi—A0=-■——r0=A:0=u,.

LaJ[1J1A1IJJ1J[1l2

又A=434+a32A32+a”A”=扁+&+1=1,如a3i=a”=0,所以(為，工2,

r)T=(0?0?1)T

21.【填'W題i齊次線性方程組

Xj-2X2+4X3-7X4=0

<2ii4-x2-2X3+XI=0

3XI—x+2石一4北=0

的基礎解2系是.

請查看答案解析后前本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(0,2,1,0)T

【解析】

對系數矩陣作初等行變換，化為行最簡，有

ri—24—7irioooi

A=21-21f01-20

L3-12-4」LO001J

由「(8=3,"-「(川=4-3=1.基礎解系由1個解向員構成位為自由變址，令工3=1，解

出(0,2,1,0)T為基礎解系.

22.【填空題】

or]-3J?4-3J3=0

已知齊次線性方程組5為+(a+2)4+3乃=。有無窮多解,則“=

[2xi+12-13=0

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：-5或-6

【解析】

齊次方程組Ax=0有無窮多解的充分必要條件是r(A)<n(n是未知量的個數).現

在是三個未知數三個方程的齊次方程組，故可以用系數行列式A|=0

a-33a03

1A|=1a+23=1a+53

21-120-1

a3

=(a+5)=(a+5)(—a—6)=0

2—1

故a=-5或a=-6.

23.【填空題】

為+12=一，

設方程組J'""I有解，則人.切，。3,%滿足的條件是________

+工4=-，

請查看答橐解析后’對本就進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：【解】

11001100

0110a20110a?

=—*

00110011

1001a"0--101a1+a1,

[11001100-a\

0110a20110a

—>—>2

0011-a30011-03

[o

011a1+〃2+a,.0_000a+42+a3+ai

因為原方程組有解,所以r(A)=r(A>.于是ai4-a+*+a1=0.

TT

24.【解答題】已知向量組a廣(已4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,

1,-1,a)1a4=(3,10,b,4＞線性相關.

⑴求a,b的值.

⑵判斷aI能否由a”a2,a3線性表示，如能就寫出表達式.

⑶求向量組a”a2,a3,a,的一個極大線性無關組.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(1)由

12031000

471104-11-2

=(a—1)(6—2)

01—1b01-1b

23a42-1a-2

所以a=1或6=2時.向量組aa,aa線性相關.

(2)當b=2時

■1203"102-r

171101-12

a'a；]=-A

01—12a—10

.23a4_0.

Va,04均可由a.a.a線性表示.

如a#1=2.有a=—ai+2a>;

如a=1,6=2?有a^=(—1—2t)a\+(2+/)如+”為任意常數:

當a=1時

■1203r-1203'

471101—1b

6a，叫aj=—?

01—1bb-2

2314.0.

如〃工2.a；不能由a.a.a線性表示.

若a=1/=2,4可由a；,a,a線性表示，表示法同上.

(3)當a=1且。=2時，r(%,a2,a：＜,a])=2,極大無關組為團.妣；

當a=1且〃W2時，r(q,曲，。3.a,)=3,極大無關組為a},a；a；

當aX1且6=2時,r(qaaa)=3,極大無關組為a,aa.

25.【解答題】已知A(l,1),B(2,2),C(a,1)為坐標平面上的點，其中a為

參數.

問：是否存在經過點A,B,C的曲線y=klx+kzx2+k3x”如果存在，求出曲線方程.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

如果存在經過A,B.C的曲線》=刈力+4合則應有

'M+尾+上=1

《2防+44+8尾=2

參考解析：成1+。2扁+。3鬲=]

對增廣矩陣作初等行變換,有

"I1■10-21-

[A⑷=240130

“a2.00a(a—l)(a—2)1—a.

(1)

當aW0,aWl,a六2時，方程組有唯一解

2,=3,=-1

a(a—2)'a(.a—2)*a(a—2)

則曲線方程為

a1—2a—2,3213

―a(a-2)*于a(a-2)7-a(a-2YV

⑵當a=l時,，點A,C重點，此時

-10-21-

A\b\0130

.0000.

方程組有無窮多個解.

T■2?

0+/-3

,0.,1_

那么經過A(C),B三點的曲線為

y=(1+21)1—352+女3“為任意常數

⑶當a=0或a=2時

r(A)=2,r(A|b)=3

方程組無解，此時不存在滿足題中要求的曲線.

26.【解答題】設方程組

Xi-2々+3X3+4X4=5

<2xi-412+5x3+6X4=7

14xi+ar2+9X34-10X4=11

(1)當a為何值時方程組有解?并求其通解.

(2)求方程組滿足XLX2的所有解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(1)對增廣矩陣作初等行變換，有

■1-23451rl-234：5"

A=2-4567-*0a+8000

11JL0

.4a910012i3.

Ya，恒有r(A)=r(?),方程組總有解.

當a=-8時,r(A)=r(A)=2.

-1—20—2?—4"

Af12j3

0；0.

得通解：（一4,0,3.0?+瓦（2,1,0,0）丁+也（2.0,—2,1）丁出,4為任意常數,

當a豐一8時,r(A)=r(A)=3.

rloo-2—4'

1000

123.

得通解：（一4,0,3,0）1+晨2.0.—2,1）丁,戈為任意常數.

（2）

當a=-8時,如?=鞏，有

—4+2Al+2kz=0+瓦+0

Ai=4-2兒

令囪=/，囪=4一2人代入整理

x=(4,4,3,0>+“-2,-2,—2,1)丁“為任意常數

當a工一8時，如工［=/2‘有

-4+24=0+0

即為=2,有唯一解：（0,0.—1.2）1.

2i]—q+4x3-3J*I=-4?

求方程組[=一；，的通解.

0X|+/2十4=1?

27.【解答題】74+7%3a=3

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解對增廣矩陣五作初等行變換，

2-14-3；-4Q)01-1：-3

101-L-3o]?-21\-2

31101000|?j12'

707-330000：0

取工為自由變歸令門=0,得非齊次線性方程組的一個特解為/=(3.—8,0,6口令

工3=1,解得占=0,,=2,4=-1,故(一1,2,1,0)T為對應齊次線性方程組的基礎解系,

所求通解為121,0?+(3.—8,0,6)1年為任意常數).

28.【解答題】

f2.r)+"2—為=1.

設方程組j/lri-4+4=2,問入為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多

4?+5工，-54=-1,

解？當有無窮多解時，求其通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解已知方程組的系數矩陣A為3階方陣，可以通過行列式討論參數

入，確定其解的情況.

2A—1

IA|=A-11=(5A4-4XA-1).

45-5

當久H1且人工一士時,A|芋0,方程組有唯一解.

5

當人=1時,|A1=0,對增廣矩陣(A|b)作初等行變換,

21-1：1]1-11：2

(A：b)=1-11j2|—?；01-H-1,

45-5=-1J[o00：0

方程組有無窮多解,為6(0,1Ji+(1，—1,O)T&為任意常數).

當A=-4-時，

5

40-4-5：5][10-4-5；5,

(A!b)—?45-5:-10—>45-5：-10,

45-5=-1JI000=9

此時,r(A)=2,r(A\b)=3,方程組無解.

?十工2=0,一…-72+g=0?

設有方程組①與②

29.x2-Xt=0|B+北=0.

(I)求方程組①與②的基礎解系；

(II)求方程組①與②的非零公共解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)

方程組①的系數矩陣為A=（，!101）?可求得基礎解系為

'U1U—1f

a（=（—1,1?0.1）!?dr=（0,0,1.0”.

方程組②的系數矩陣為8=（（：；），解得基礎解系為

fi=(0.1,1.0)T.=(-1.-1,0.1)T.

(II)

求方程組①與②的非零公共解,就是求（；）x=0的非零解.

[11001f1100I1100

iA\010-1rj010-1010-1

1-1100-210001-2

01-11,00-12,0000

得基礎解系力=（1.121）、故非零公共解為M-1,121）TQ是不為零的任意常數）.

30.【解答題】

1+JT=0

設有方程組（i）「2-'（n）AX=o,其中（口）的基礎解系為

12-4=0，

a1=（―1,2?2,1”.a-=（0.—1.—1.0）1.

求方程組（I）與（II）的非零公共解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解方程組（I）

的系數矩陣3=（：；:」1）.故（I）的基礎解系為扇=

（0。1,0兒。=（-1,1.0,1孔通解為康+3.=（T,M九出）丁密人為任意常數）.

由已知,（!!）的通解為

/a+/洶=（-/,,2。一32。一。4?（/1,12為任意常數）.

1

令（一人/,兒，％）=（―/）?2/1-/2?2/1—/->./1?,得。=h.l>=2K—際=鼠、前=kz.

令k=h則（I）與（D）的非零公共解為為不為零的任意常數）.

31.【解答題】設有方程組

f-=—2*fXjOJCZ—13-=-5,

①〈-X——4,②JAtr2一4-=-11,

-4X2-I3+6x4=21,Ix-i-2J*4=-c+1.

（I）求方程組①的通解；

（II）當a,b,c為何值時，方程組①與②同解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解

（I）對①的增廣矩陣作初等行變換，

100-1_91(100-1-2

010-14—?010—1

0-4-1621001-2—5

解得①的通解為⑶，力f=(-2,-4,-5,0>+6(1,1,2,1尸1為任意常數).

(II)耨方程組①的通解?=-2+6,1：=-4+h1=-5+2KXi=k代人方程

組②的第一個方程,得(-2+G)+a(7+*)—(-5+2*)—￡=-3.由k的任意屜,可得

a=2,同樣將①的通解代人②的第二個方程，得

b(-4+A)-5+2%)-2A=-11.

解得6=4.將①的通解代人②中的第三個方程，得(-5+26)—2々=一(+1,解得，=6,

故方程組②為

jJi+2JC2-4-j=-5

J5-2q=-(IL

I「2/=-5

對其增廣矩陣作初等行變換:得

12-1-1■-5100—1—2

04-1-2-11010—1—4,

001—2—5001

故②的通解為(工|，工2，工34)T=(-2,—4,-5,01+4(1,121兒與①的通解相同.

綜上所述,當a=2.6-l,c=6時,方程組①與②同解.

32.【解答題】設行階矩陣A滿足|A|=O,&為|A|的元素a“對應的代數余子

式，且A”。。，求方程組A*x=O的基礎解系和通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：由|A|=O,AUWO,得r(A)=nT,故r(A*)=L即A*x=O等價于方程

A11X1+A21X2+...+AnlXn=O①

因為A”。。，故方程①有下列線性無關的解,

a」=(-A21,An,0,...?0),

&2=(-A31,09An,0,...?0),

=—T

a.n-i(Anif0,...?0,An)

解向量個數為n-r(A*)=nT,故a1，a2,...,是原方程組的基礎解系，通解

為kia1+k2a2+...+kn-ian-i(k”k2,...為為任意常數)

33.【解答題】已知4X3矩陣A=(a“a2,a3),非齊次線性方程組Ax=B的

T

通解為(1,2,-l)+k(l,-2,3)1K是為任意常數，令B=(a”a2,a3,B+

a3),求方程組By=a「a2的通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解

由Ax=夕的通解結構及已知條件.有r(A)=r(a,.a：.a)=3-1=2.

'1'’1'

(aj.a.a)2=仇(ana：?a)—2=0.

.一13

即a；+2a2-期=pa—2曲+3處=0.

故r(B)=r(?,處,a./J+①)=r(dia,aa+2a)

初等

,二二：r(a：，a?,a?0)=r(aaa)=2.

列變換

所以By=0有4-r(B)=2個基礎解.又

國,Q

(a；<a,a邛a)3=a2a2,3a=0，

I0.

m、

(a,a：.a.cti+2a?)0=a：+2a：-(a1+2a.，)=(),

，1)

—i

及(①?佻，a,W+q)()=ai-a：.

0,

故By=a-a的通解為

^.(1.-2.3,0)T+^,(1.2,0,-1)T+(1.-1.0.0)T(^)^)為任意常數).

34.【解答題】設A是5義4矩陣，r(A)=2,已知a”a2,是非齊次線性方

程組Ax=b的三個解向量，且a]+a2=(4,6,-8,4)T,a3=(1,2,T,1)「，又

(0,1,-3,0尸是Ax=0的解,求人乂禮的通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解由已知條件及Ax=b的通解結構，只需求Ax=0的基礎解系，而基

礎解系有N-r(A)=4-2=2個,(0,1,-3,0尸是Ax=0的一個解,于是再求一個

與(0,1,-3,0尸線性無關的解即可.注意至Ua|+a2-2a3。是Ax=0的解，事實

上，A(a|+a2-2a3)=Aa]+Aa2-2Aa3=b+b-2b=0,且a什a2-2a3=(4,6,-8,

4)T-2(1,2,-1,1)T=(2,2,-6,2)T,又(2,2,-6,2),與(0,1,-3,0尸線

性無關(分量不成比例)，所以Ax=b的通解為

0|[2]11

L+上，+2,(囪麋為任意常數).

-3-b?-1

0][2]1,

34.【解答題】設A是5義4矩陣，r(A)=2,已知a”a2,a3是非齊次線性方

T

程組Ax=b的三個解向量，且ai+ci2=(4,6,-8,4)\a3=(1,2,-1,1),又

(0,1,-3,0尸是Ax=0的解,求Ax=b的通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解由已知條件及Ax=b的通解結構，只需求Ax=0的基礎解系，而基

礎解系有N-r(A)=4-2=2個,(0,1,-3,0尸是Ax=0的一個解,于是再求一個

與(0,1,-3,0)『線性無關的解即可.注意至I」a什a2—2a3。是Ax=0的解，事實

上，A(a]+a2-2a3)=Aai+Aa2-2Aa3=b+b-2b=0,Kat+a2-2a3=(4,6,-8,

4)T-2(1,2,-1,1)T=(2,2,-6,2)T,又(2,2,-6,2)，與(0,1,-3,0尸線

性無關(分量不成比例)，所以人乂=1)的通解為

01

12

(瓦夏為任意常數).

-3-1

0+4小1

35.【解答題】設A是mXn矩陣,r(A)=n-2,非齊次線性方程組Ax=b的3個解

向量a”a2,a3滿足a1+a2=(1,2,3,4)a2+2a3=(-2,1.5,3)2a3+3a

i=(ll,5,-6,7)「,求方程組Ax=b的通解.

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參考解析：解依題設，找出Ax=0的基礎解及Ax=b的一個特解.

由解的性質,也11=b,M=b，故A[")=b,取

H+a?)=[j

為Ax=b的特解,又A(ai+a)=2b,A(a?+2a)=3b.A(2at+3a.)=5b?故

A[33i+a2)—2(a+2a<)j=68—66=(),

A[(2&+3%)—(a,+a?)—(a：+2a)~=5h-5h=0,

所以rj=3(z+a：1)—2(a?+2%)=(7.4,—1,6A.

rj—(2a+3ai)—(如+a)—(a,+2a)=(12.2.-14.0)1

為Ax=()的解，且線性無關(不成比例).

又r(A)="-2,故小，口是Ax()的基礎解系，故=b的通解為

后(7.4,—1,6)T+白(12,2,—14,0)T+(1,1,￡,2)(后也為任意常數).

36.【解答題】設A=(a”a2,a3,a)是4階矩陣，非齊次線性方程組Ax=B

的通解為(1,2,2,l)1+k(l,-2,4,0)1k為任意常數，記B=(cu,a2,a,,0-aJ.

(I)證明：r(B)=2；

(II)求方程組Bx=a「a2的通解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)

由Ax=B的解的結構，知r(A)=r(c(i,a2,a3,a)=3,并有

11

2-2

(ai，a：，a，a.)；=p,(。［必田a)=0.

110.

①

即ai+2%+2a3+a(=

a(-2a2+4a3=0.②

由①式,知B=(a<a)a>p-a.)=(佻也必必+2a+2a).

又由②式汨a.aa線性相關.由干r(A)=3,故r(B)=r(?.a,ai)=2.

(II)

，01

一i

由(《心皿甲a)U1I=?-a，知(0,—1,1，0M是Bx=aa.的一個解.

’4'

—2

又由于