第2章綜合素質評價題號一二三總分得分一、選擇題(每題3分，共30分)1．[新考向傳統文化]“二十四節氣”是根據太陽相對于黃道(即地球繞太陽公轉的軌道)上的位置來劃分的，是春秋戰國時期形成的一種用來指導農事的補充歷法，下列四幅“二十四節氣”標識圖中，文字上方所設計的圖案是軸對稱圖形的是() A B C D2．[母題教材P55作業題T1]已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則它的周長為()A．12 B．12或15 C．15 D．15或183．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，以下給出的條件合適的是()(第3題)A．AC＝AD B．BC＝ADC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD4．把一個邊長為1的正方形放在如圖所示的數軸上，以正方形的對角線為半徑畫弧交數軸于點A，則點A表示的數是()(第4題)A．1 B．2 C．3 D．25．如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE＝CD，則BE的長為()(第5題)A．7 B．8 C．9 D．106．[2024·金華月考]如圖，已知銳角∠AOB＝30°，按下列步驟作圖：①在OA邊上取一點D，以O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點C，連結CD；②以D為圓心，DO長為半徑畫弧，交OB于點E，連結DE．則∠CDE的度數為()(第6題)A．25° B．35° C．45° D．55°7．如圖，在△ABC中，D點在BC上，將D點分別以AB，AC所在直線為對稱軸，畫出對稱點E，F，并連結AE，AF，根據圖中標示的角度，∠EAF的度數為()(第7題)A．120° B．118° C．116° D．114°8．如圖，在△ABC中，D為AC的中點，CE⊥AB于點E，若DE＝3，AE＝5，則CE的長為()(第8題)A．3 B．4 C．11 D．139．如圖，邊長為5的大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成的，連結AF并延長交CD于點M．若AH＝GH，則CM的長為()(第9題)A．12 B．34 C．1 D10．[2023·杭州外國語學校期中]如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH，與BE相交于點G．下列結論正確的有()(第10題)①BF＝AC；②CE＝12BF；③△DGF是等腰三角形；④BD＋DF＝BC；⑤S△BDFA．5個 B．4個 C．3個 D．2個二、填空題(每題4分，共24分)11．命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是，這個逆命題是命題．(填“真”或“假”)12．[2023·重慶]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為．(第12題)13．如圖，已知直線l1∥l2，將等邊三角形ABC按如圖所示放置，若∠α＝38°，則∠β＝．(第13題)14．[2024·寧波鄞州區聯考]如圖，小麗從一張等腰三角形紙片ABC(AB＝AC)中恰好剪出五個小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，則∠B＝°．(第14題)15．[新考法·對稱法2024·紹興期中]如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值是．(第15題)16．如圖，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AB＝AE，∠1＝∠2，線段BC的延長線交DE于點F，連結AF．若S△ABF＝14，AD＝4，CF＝54，則線段EF的長度為三、解答題(共66分)17．(6分)如圖，AB＝CD，AC＝BD，求證：△BOC是等腰三角形．18．(6分)[母題教材P78作業題T4]如圖，在四邊形ABCD中，∠A為直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四邊形ABCD的面積．19．(6分)[2024·紹興期末]如圖，∠ABD＝∠ACD＝90°，連結BC交AD于點E，∠1＝∠2．(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)求證：AD⊥BC．20．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，直線MN與AC，BC分別交于點D，E，連結AE(1)求∠ADE的度數(直接寫出結果)；(2)當AB＝3，AC＝5時，求△ABE的周長．21．(8分)如圖，已知△ABC，延長△ABC的各邊，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，順次連結D，E，F，得到的△DEF為等邊三角形．求證：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC為等邊三角形．22．(10分)如圖，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，點E是BC的中點，過點E作EH⊥AD交AD的延長線于點H．(1)求證：∠C－∠B＝2∠DEH；(2)若AB＝m，AC＝n，∠ACB－∠DEH＝60°，求EH的長(用含m，n的代數式表示)．23．(10分)[新視角過程探究題](1)【問題背景】在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為5，10，13，求此三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格(每個小正方形的邊長為1)，再在網格中畫出格點三角形ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖①所示．這樣不需要求△ABC的高，只需借用網格就能計算出它的面積，請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：．(2)【思維拓展】我們把上述求三角形面積的方法叫做方格構圖法．如果△ABC三邊的長分別為5a，8a，17a(a＞0)，請利用圖②的正方形網格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應的格點三角形，并求出它的面積．(3)【探索創新】若△ABC三邊的長分別為m2+16n2，9m2+4n2，2m2＋n2(m24．(12分)[2024·寧波期末]【證明體驗】(1)如圖①，在△ABC中，CD平分∠ACB，E為BC上一點，且CE＝CA．求證：DE＝AD；【思考探究】(2)如圖②，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，AD＝1，AC＝2，求BC的長；【拓展延伸】(3)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝3，求AD的長．答案一、1．D2．C3．A4．B5．C6．C【點撥】由作法得OC＝OD，DO＝DE，∴∠OCD＝∠ODC＝12(180°－∠AOB)＝12×(180°－30°)＝75°，∠DEO＝∠DOE∵∠OCD＝∠CDE＋∠DEC，∴∠CDE＝∠OCD－∠DEC＝75°－30°＝45°．7．D8．C9．D【點撥】∵四邊形EFGH是正方形，∴HG＝EF，AH∥GF．∵AH＝GH，∴AH＝EF．由題意得Rt△ABE≌Rt△DAH≌Rt△CDG，∴BE＝AH，∠BAE＝∠DCG．∴BE＝EF．又∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE．∵AH∥GF，∴∠FAE＝∠GFA．∴∠GFA＝∠DCG．∵∠GFA＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC．設CM＝x，在Rt△AMD中，由勾股定理得52＋(5－x)2＝(5＋x)2，解得x＝54，∴CM＝510．A【點撥】易證△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正確．易證△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性質可得AE＝EC＝12AC＝12BF，故②正確．由角的數量關系可得∠DGF＝∠DFG＝67．5°，則DG＝DF，即△DGF是等腰三角形，故③正確．由△BDF≌△CDA可得DF＝DA，則得BC＝AB＝BD＋DF，故④正確．由角平分線的性質可得點F到AB的距離等于點F到BC的距離，由三角形的面積公式可得S△BDFS△二、11．如果一個三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形；真12．413．22°14．67．5【點撥】設∠ECF＝x．∵EC＝EF＝FG，∴∠EGF＝∠GEF＝2x，∵FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD＝3x，∵DG＝DA，∴∠A＝∠AGD＝4x，∴∠BDC＝5x．∵BC＝BD，∴∠BCD＝5x，∴∠B＝180°－10x．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，即180°－10x＝5x＋x，解得x＝11．25°，∴∠B＝67．5°．15．5【點撥】如圖，過點C作CO⊥AB于點O，延長CO到點C'，使得OC'＝OC，連結DC'，交AB于點E'，連結CE'，BC'，則點C與點C'關于直線AB對稱，∴CE'＝E'C'．∴DE'＋CE'＝DE'＋E'C'＝DC'，易知DC'的長即為EC＋ED的最小值．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝12×(180°－∠ACB易知∠ABC'＝∠ABC＝45°，BC'＝BC＝2，∴∠CBC'＝∠ABC＋∠ABC'＝90°．∵D是BC的中點，∴BD＝12BC∴在Rt△DBC'中，根據勾股定理可得DC'＝BD2＋BC'∴EC＋ED的最小值是5．16．92【點撥】∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∠1＝∠2，AB＝AE∴△ACB≌△ADE(AAS)，∴AC＝AD，BC＝DE．∵AD＝4，∴AC＝4，又∵S△ABF＝14，∴12BF·AC＝14，∴BF＝7∵CF＝54，∴BC＝7－54＝234，∴DE在Rt△ACF和Rt△ADF中，∵AF＝AF∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，∴DF＝CF＝54∴EF＝DE－DF＝234－54＝三、17．【證明】在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC∴∠ACB＝∠DBC，∴BO＝OC．∴△BOC是等腰三角形．18．【解】連結BD．∵∠A為直角，∴BD2＝AD2＋AB2．∵AD＝12，AB＝16，∴BD＝20．∵BD2＋CD2＝202＋152＝252＝BC2，∴∠CDB為直角，∴△BDC的面積為12×20×15＝150∵△ABD的面積為12∴四邊形ABCD的面積為96＋150＝246．19．【證明】(1)∵∠1＝∠2，∴BD＝CD．在Rt△ABD和RtACD中，∵AD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．(2)∵△ABD≌△ACD，∴∠BDE＝∠CDE．∴DE為∠BDC的平分線．∵BD＝CD，∴DE⊥BC，即AD⊥BC．20．【解】(1)∠ADE＝90°．(2)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝52－易知直線MN是線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△ABE的周長＝AB＋(AE＋BE)＝AB＋BC＝3＋4＝7．21．【證明】(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．∵△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE．又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE(SSS)．(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC．∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°．由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC．∵∠DEC＋∠FEC＝60°，∴∠EFA＋∠FEC＝60°．∴∠BAC＝∠EFA＋∠FEC＝60°，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠BCA＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴△ABC為等邊三角形．22．(1)【證明】延長EH，交AC的延長線于點G，延長HE，交AB于點F．∵AH⊥FG，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH平分∠FAG，∴∠FAH＝∠GAH，又∵AH＝AH，∴△AFH≌△AGH(ASA)，∴∠AFH＝∠AGH．∵∠ACB＝∠AGH＋∠DEH，∠AFH＝∠B＋∠FEB＝∠B＋∠DEH，∴∠ACB＝(∠B＋∠DEH)＋∠DEH，∴∠ACB－∠B＝2∠DEH．(2)【解】過點C作CQ∥AB交FG于點Q．∵∠ACB－∠DEH＝60°，∠ACB－∠B＝2∠DEH，∴∠B＋∠DEH＝60°，∴∠B＋∠FEB＝60°，∴∠AFG＝60°．∵△AFH≌△AGH，∴AF＝AG，∴△AFG為等邊三角形，∴∠G＝60°．∵CQ∥AB，∴∠B＝∠ECQ，∠CQG＝∠AFG＝∠G＝60°，∴△CQG為等邊三角形．∴CQ＝CG．∵∠B＝∠ECQ，BE＝CE，∠FEB＝∠QEC，∴△BFE≌△CQE，∴BF＝CQ＝CG，FE＝EQ＝12FQ易知FQ＝AC＝n，∴EF＝n2∵AF＋AG＝AB－BF＋AC＋CG＝AB＋AC＝m＋n，∴AF＝AG＝FG＝m＋易知FH＝HG＝12FG＝m∴EH＝FH－FE＝m＋n4－n23．【解】(1)3．5(2)所畫△ABC如圖①所示(畫法不唯一)．△ABC的面積＝2a·4a－12a·2a－12×2a·2a－12a·4a＝3(3)構造網格圖，所畫△ABC如圖②所示(畫法不唯一)．△ABC的面積＝3m·4n－12m·4n－12×3m·2n－12×2m·2n24．(1)【證明】∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE．在△ACD與△ECD中，∵CA＝CE∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴DE＝AD．(2)【解】在BC邊上取點E，使EC＝AC＝2，連結DE．同(1)得△ACD≌△ECD，∴AD＝DE＝1，∠A＝∠DEC．∵∠A＝2∠B，∠DEC＝∠B