《16.3二次根式的運算》學習任務單班級：姓名：小組：層次代號：教師評價：【課程標準與考試要求】二次根式的運算是滬教版八年級數學第一學期的重要內容。在課程標準中，要求學生理解二次根式的加、減、乘、除運算法則，能夠熟練運用這些法則進行二次根式的運算。在考試中，會考查二次根式運算的準確性和靈活性，包括簡單的二次根式化簡、四則運算以及在實際問題中的應用等。【學習目標】1、知識與技能-能準確說出二次根式加、減、乘、除的運算法則。-熟練運用二次根式的運算法則進行計算，包括化簡二次根式、進行四則運算等，準確率達到80%以上。-能夠將二次根式的運算應用到簡單的實際問題解決中，如計算幾何圖形的邊長、面積等。2、過程與方法-通過具體的例子分析，總結出二次根式的運算法則，培養觀察、分析和歸納能力。-在解決二次根式運算問題的過程中，學會選擇合適的運算法則，提高運算的合理性和效率，就像在生活中選擇合適的工具做事情一樣。3、情感、態度與價值觀-體會數學運算的嚴謹性，培養認真細致的學習態度。-感受到二次根式運算在解決實際問題中的作用，提高學習數學的興趣。【學習重點】1、二次根式加、減、乘、除的運算法則。2、運用運算法則進行二次根式的四則運算。【學習難點】1、二次根式運算中的分母有理化。2、如何根據題目特點選擇合適的運算法則進行簡便運算。【知識鏈接】1、什么是二次根式-我們之前學過，形如\(\sqrt{a}\)（a\(\geq\)0）的式子叫做二次根式。例如，\(\sqrt{4}\)，\(\sqrt{9}\)等都是二次根式。二次根式是從平方根的概念引申出來的，就像從一個大樹的主干上長出的樹枝一樣。2、二次根式的性質-二次根式有一些重要的性質，比如\((\sqrt{a})^{2}=a\)（a\(\geq\)0），這個性質就像是二次根式的一個小秘密武器，在很多運算中都會用到。還有\(\sqrt{a^{2}}=\verta\vert\)，這個性質有點復雜，當a\(\geq\)0時，\(\sqrt{a^{2}}=a\)；當a<0時，\(\sqrt{a^{2}}=-a\)。【自主學習案】一、二次根式的乘法1、回憶乘法運算-同學們，咱們先想想普通數字的乘法。比如說，2乘以3等于6，這很簡單吧。那如果是\(\sqrt{2}\)乘以\(\sqrt{3}\)呢？咱們可以從一個小例子來看。假如你有一個正方形，邊長是\(\sqrt{2}\)厘米，另一個正方形邊長是\(\sqrt{3}\)厘米，那這兩個正方形的面積相乘是多少呢？-根據正方形面積公式，面積等于邊長乘以邊長。那第一個正方形面積是\((\sqrt{2})^{2}=2\)平方厘米，第二個正方形面積是\((\sqrt{3})^{2}=3\)平方厘米。那兩個正方形面積相乘就是2乘以3等于6平方厘米。-但是從邊長的角度看，兩個正方形邊長相乘就是\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\)，那這個結果應該等于什么呢？我們發現，按照之前學的二次根式性質，\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)。2、總結二次根式乘法法則-通過這個例子，我們可以總結出二次根式的乘法法則：二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變。也就是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0）。3、做一些簡單練習-計算：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{5}\)-\(\sqrt{6}\times\sqrt{10}\)二、二次根式的除法1、類比乘法思考除法-咱們已經學會了二次根式的乘法，那除法呢？還是從實際例子出發。比如說，你有6個蘋果，要平均分給2個人，那每個人得到3個蘋果。這就是普通的除法。那如果是\(\sqrt{6}\)除以\(\sqrt{2}\)呢？-我們可以這樣想，根據之前學的分數和除法的關系，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)就相當于求一個數，這個數乘以\(\sqrt{2}\)等于\(\sqrt{6}\)。那這個數是多少呢？-我們發現，按照二次根式的性質，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}\)。2、總結二次根式除法法則-所以二次根式的除法法則是：二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變。即\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（a\(\geq\)0,b>0）。3、練習除法運算-計算：-\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\)-\(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\)三、二次根式的加減法1、同類二次根式-同學們，咱們先了解一個概念叫同類二次根式。就像咱們生活中的同類東西一樣，比如蘋果和蘋果是同類的，香蕉和香蕉是同類的。在二次根式里，幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。比如說，\(\sqrt{2}\)和3\(\sqrt{2}\)就是同類二次根式，因為它們化簡后被開方數都是2。2、二次根式加減法法則-那二次根式加減法怎么算呢？其實很簡單，就像把同類的東西放在一起計算一樣。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，然后把同類二次根式合并。例如，計算\(\sqrt{8}+\sqrt{18}\)，首先把它們化成最簡二次根式，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，然后合并同類二次根式，得到2\(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。3、做一些加減法練習-計算：-\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)-\(\sqrt{27}+\sqrt{48}\)【自學反思】我的收獲：-在二次根式乘法中，我學會了把被開方數相乘，根指數不變的法則，還通過實際例子理解了這個法則的來源。-對于二次根式除法，我知道了相除時把被開方數相除，根指數不變的規律。-在二次根式加減法里，我明白了同類二次根式的概念，以及如何先化簡再合并同類二次根式進行計算。我的疑問：-在二次根式除法中，分母不能為0，那在實際運算中，怎樣快速判斷分母是否符合要求呢？-對于一些比較復雜的二次根式運算，怎么才能快速準確地化簡并選擇合適的運算法則呢？附【自主學習檢測】1、計算：-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}\)【互動探究案】一、復雜二次根式的運算1、含有括號的運算-咱們來看這樣一個式子：(\(\sqrt{3}+2\))(\(\sqrt{3}-2\))。這就像兩個小盒子相乘，我們可以用乘法分配律來計算。-首先把\(\sqrt{3}\)分別乘以括號里的兩項，再把2分別乘以括號里的兩項，得到：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times2+2\times\sqrt{3}-2\times2\)-然后根據二次根式的乘法法則計算，得到：-3-2\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\)-最后合并同類項，得到-1。2、小組討論-同學們分成小組討論一下，這種含有括號的二次根式運算有什么技巧呢？在計算過程中要注意什么呢？每個小組可以找一個小代表來分享一下討論結果哦。二、分母有理化1、什么是分母有理化-大家看這個式子：\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)。這個式子的分母是二次根式，看起來不太舒服，我們想辦法把分母變成有理數，這個過程就叫做分母有理化。2、分母有理化的方法-對于\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，我們可以給分子分母同時乘以\(\sqrt{2}\)，這樣分母就變成了\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)，式子就變成了\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。3、練習分母有理化-把下列式子進行分母有理化：-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)【小結】1、二次根式的乘法法則是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0），除法法則是\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（a\(\geq\)0,b>0），加減法要先化簡為最簡二次根式再合并同類二次根式。2、在進行復雜的二次根式運算時，要注意運算順序，合理運用運算法則，特別是在分母有理化和含有括號的運算中要仔細認真。【鞏固訓練案】1、計算：-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\)2、已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為\(\sqrt{3}\)厘米和\(\sqrt{6}\)厘米，求這個直角三角形的面積。（提示：直角三角形面積等于兩直角邊乘積的一半）【學習反思】我的收獲：-在互動探究中，我學會了更復雜的二次根式運算，比如含有括號的運算和分母有理化的方法。-通過鞏固訓練，我對二次根式的運算更加熟練了，也知道了如何在實際問題中運用二次根式運算。我的疑問：-在一些復雜的分母有理化中，比如分母是兩個二次根式相加或相減的形式，有沒有更簡便的方法來確保計算準確呢？-在解決實際問題時，如果數據更復雜，怎樣才能更好地建立二次根式運算的模型呢？【自主學習檢測】1、-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}=\sqrt{35}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=2\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)【鞏固訓練案】1、-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}=(\(\sqrt{5}\))^{2}+2\(\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3}\))^{2}=5+2\(\sqrt{15}+3=8+2\(\sqrt{15}\)-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}=\fr