河北省正定縣第三中學2025屆高二數學第一學期期末質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓錐曲線具有豐富的光學性質，從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．直線l：與橢圓C：相切于點P，橢圓C的焦點為，，由光學性質知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.2．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.3．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是3，則點到另一個焦點的距離為（）A.9 B.7C.5 D.34．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.815．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）A. B.C. D.6．函數在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.7．若函數，則單調增區間為（）A. B.C. D.8．若函數有兩個零點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.012．已知直線l經過，兩點，則直線l的傾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小明同學發現家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點，經過測量發現，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.14．某公司青年、中年、老年員工的人數之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數為__________15．已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.16．若，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數.（2）根據調查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.18．（12分）已知函數在時有極值0.（1）求函數的解析式；（2）記，若函數有三個零點，求實數的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，______，求m的值從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點P到直線的最大距離為；條件③：21．（12分）已知點，圓，點Q在圓上運動，的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡的方程；（2）過點的動直線l交曲線C于A、B兩點，在y軸上是否存在定點T，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點T的坐標，若不存在，請說明理由.22．（10分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先求得點坐標，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A2、B【解析】先證明點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】因為平面平面，所以A1C1//平面ACD1，則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因為平面，所以平面，所以是平面一個法向量，所以平面ACD1的一個法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點睛】方法點睛：求點到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.3、A【解析】根據橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點P到另一個焦點的距離為2×6-3=9.故選：A4、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.5、A【解析】聯立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.【詳解】由得交點為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.6、B【解析】根據函數在處有極值為，由，求解.【詳解】因為函數，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B7、C【解析】求出導函數，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數，所以，令，得，所以的單調增區間為，故選：C.8、C【解析】函數有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導數分析的單調性，根據圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數零點的應用，構造函數求函數的導數，利用函數極值和導數之間的關系是解決本題的關鍵.9、D【解析】根據題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.10、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.11、C【解析】根據題意，求得平面的一個法向量，結合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.12、C【解析】設直線l的傾斜角為，由題意可得直線l的斜率，即，∵，∴直線l的傾斜角為，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立直角坐標系，利用代入法、雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線的標準方程為：，因為該雙曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因為AB=60cm，PC=20cm，所以點的坐標為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：14、200【解析】先根據分層抽樣的方法計算出該單位青年職工應抽取的人數，進而算出青年職工的總人數.【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽取（人）.因為每人被抽中的概率是0.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.15、【解析】根據動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關系，再結合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：16、2【解析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數的和以及【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），中位數為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據直方圖及中位數性質求中位數即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數分布情況，再應用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學生成績在的頻率為；學生成績在的頻率為.設這100名學生本次物理測試成績的中位數為，則，解得，故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數為.【小問2詳解】由（1）知，學生成績在的頻數為，學生成績在的頻數為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，由在時有極值0,則，兩式聯立可求常數a，b的值，從而得解析式；（2）利用導數研究函數的單調性、極值，根據函數圖象的大致形狀可求出參數的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當時，，函數在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去.所以常數a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當或時，當時，，的遞增區間是和，單調遞減區間為，當有極大值，當有極小值，要使函數有三個零點，則須滿足，解得.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設平面的法向量則，令，則，即，設平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.20、（1）（2）【解析】（1）根據圓心在過點，的線段的中垂線上，同時圓心圓心在直線上，可求出圓心的坐標，進而求得半徑，最后求出其標準方程；（2）選①利用用垂徑定理可求得答案，選②根據圓上一點P到直線的最大距離為可求得答案，選③先利用向量的數量積可求得，解法就和選①時相同.【小問1詳解】由題意可知，圓心在點的中垂線上，該中垂線的方程為，于是，由，解得圓心，圓C的半徑所以，圓C的方程為；【小問2詳解】①，因為，，所以圓心C到直線l的距離，則，解得，②，圓上一點P到直線的最大距離為，可知圓心C到直線l的距離則，解得，③，因為，所以，得，又，所以圓心C到直線l的距離，則，解得21、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根據橢圓的定義，結合即可求P的軌跡方程；(2)假設存在T(0，t)，設AB方程為，聯立直線方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點T.【小問1詳解】由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點，且長軸長為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；【小問2詳解】假設存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會存在T滿足題意，設直線AB的方程為，聯立，化為，易知恒成