第三講方程（組）與不等式（組）（一）

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級第三講“方程（組）與不等式（組）（一）”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識技能

1.掌握一元一次方程的概念及解法，并能夠應(yīng)用一元一次方程解決一些簡單的實(shí)際問題.

2.掌握用換元法、加減消元法解二元一次方程組的方法，能夠運(yùn)用二元一次方程組解決一些實(shí)

際生活應(yīng)用問題.

3.掌握一元二次方程的概念及基本的四種解法，理解一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)

系，并能夠靈活運(yùn)用解決問題.

4.掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟，并能利用方程解決一些簡單的生活實(shí)際問題.

數(shù)學(xué)思考

L通過用方程描述等量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識.

2.在解方程的過程中，體會換元、降次的思想方法，在利用方程解決實(shí)際問題的過程中體會模

型的思想.

問題解決

1.學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決簡

單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識.

2.在解決問題的實(shí)際過程中學(xué)會合作、交流.

情感態(tài)度

通過解決實(shí)際問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，體會解決問題的方法，培養(yǎng)

學(xué)生的合作交流意識和探索精神.

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

重點(diǎn)：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組的概念及解法

難點(diǎn)：一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及列方程解決實(shí)際問題

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學(xué)路徑

導(dǎo)入

師：前一講我們復(fù)習(xí)了代數(shù)式，今天我們來復(fù)習(xí)代數(shù)方程的有關(guān)知識，方程在

初中數(shù)學(xué)中是很重要的一部分內(nèi)容，在中考中一般占15%—20%左右，方程思想也

是我們在解決很多實(shí)際問題是最常用的一種思想方法，下面我們來看一下歷史偉大

的數(shù)學(xué)家牛頓是怎么用方程的思想來解決實(shí)際問題的.

啟動性問題

問題：一個商人每年要花掉100元維持全家生計，然后將自己剩余的財產(chǎn)增加

經(jīng)過3年，商人發(fā)現(xiàn)他的財產(chǎn)增加了1倍.問商人最初有多少財產(chǎn)？

3

牛頓給出了如下解法：

商人有財產(chǎn)X

第一年花掉100元

然后增加剩余的八八x—1004x—400

1r-100+---------=------------

333

4%-400…4x-700

第二年又花掉100元-------------100=

3--------------3

然后又增加剩余的工tr-700+4.r-700一16x-280(

3399

16x-28OO…16%-3700

第三年再花掉100元---------------100=---------------

99

16x-37OO16x-370064x-14800

然后再增加剩余的!---------------1---------------=-----------------

392727

此數(shù)等于最初財產(chǎn)的兩倍64%-14800_

27

（下一步）

解方程64XT4800=及解得商人最初財產(chǎn)為1480元.

27

師：下面我們就一起來看一下方程這部分內(nèi)容在中考中主要考查哪幾個方面.

考點(diǎn)11一元一次方程

師：在復(fù)習(xí)具體考點(diǎn)之前，首先我們把這一講的知識網(wǎng)絡(luò)體系梳理清楚.代數(shù)式是由

一些運(yùn)算符號連接而成的式子，這里不包括等號和不等號，今天我們要復(fù)習(xí)含有等

號的式子和含有不等號的式子.含有等號的式子叫等式，由不等號連接的式子叫不等

式，方程也是等式，所以我們今天要復(fù)習(xí)的就是代數(shù)方程和一些簡單的不等式.

回顧：

“一元一次方程

「整式方程彳二元一次方程（組）

一元二次方程

代數(shù)方程《■■、分式方程

I無理方程

（下一步）■4/―.

二元一次方程（組）消元>一元一次方程<降次一元二次方程

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

i.等式的概念及性質(zhì)

等式：表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得的結(jié)果

仍相等.

（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）,所得的結(jié)果仍是等式.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

2.一元一次方程及相關(guān)概念

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它

的根.

解方程：求方程解的過程叫做解方程.

一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次

數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程.

一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a^O）.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

3.一元一次方程的解法

一般步驟：（1）去分母，（2）去括號，（3）移項(xiàng)，（4）合并同類項(xiàng)，（5）系數(shù)化1.

注意：（1）去分母時不要漏乘無分母的項(xiàng).

（2）去括號時，括號前是號，去掉括號時括號內(nèi)每一項(xiàng)都要改變符號.

（3）移項(xiàng)時要變號.

師：下面我們就一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型之一等式的基本性質(zhì)

例1如圖所示的兩臺天平保持平衡，已知每塊巧克力的重量相等，且每個果

凍的重量也相等，則每塊巧克力和每個果凍的重量分別為（）

▲▲,

A.10g,40gB.15g,35gC.20g,30gD.30g,20g

解析：

設(shè)每塊巧克力和每個果凍的重量分別為尤g,yg,

則產(chǎn)=2、解得「=2。，

答案：c

師：天平表示的就是一種?

生：等量關(guān)系（預(yù)設(shè)）.

師：我們可以設(shè)巧克力和果凍的質(zhì)量分別為Xg和yg,這樣我們就可以建立已知量

和未知量之間的等量關(guān)系了，哪位同學(xué)可以說一說你列的等量關(guān)系式？

生：（預(yù)設(shè)）3x=2y,x+y=50.

師：這是一個二元一次方程組，如何求解？

生：（預(yù)設(shè)）消元法求解.

師：當(dāng)天平的左右兩盤的質(zhì)量相等時，天平就處于平衡狀態(tài)，即可找到等量關(guān)系.

類似性問題

1.如圖①所示，在第一個天平上，祛碼A的質(zhì)量等于祛碼8加上祛碼C的質(zhì)量；如

圖②所示，在第二個天平上，跌碼A加上祛碼8的質(zhì)量等于3個祛碼。的質(zhì)量.請

你判斷：1個祛碼A與一個祛碼C的質(zhì)量相等.

\⑷/、同//、聞局xlcflcjJlcjL

I二Ij7

①

解析：\@/\同同/、耳町血，圓

4△

①②

同0向/間而/

△

②

\@/vJ既/

探究類型之二一元一次方程的解法

例2依據(jù)下列解方程°3x+°5=汩■的過程,請?jiān)谇懊娴睦ㄌ杻?nèi)填寫變形步驟,

0.23

在后面的括號內(nèi)填寫變形依據(jù).

答案：綠色標(biāo)記部分一步一步填橫線上

師：每一個變形步驟和變形依據(jù)是否都能說清楚，第一步變形是如何將系數(shù)變成整

系數(shù)的，依據(jù)是？

生：（預(yù)設(shè)）等號左邊分?jǐn)?shù)的分子分母同時乘以10,所以依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).

師：能不能說是分式的基本性質(zhì)呢？

生：（預(yù)設(shè)）不能，分母中不含有未知數(shù)，所以不是分式.

師：好，下面的每一步請同學(xué)們來說一說？

生：（預(yù)設(shè)）第二步去分母是分子分母同時乘以6,依據(jù)是等式的性質(zhì)2.

生：（預(yù)設(shè)）第三步去括號的依據(jù)是去括號法則.

師：解一元一次方程的步驟是去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化

為1等.在解具體方程時，要仔細(xì)觀察它的特點(diǎn)，注意解方程的方法與技巧；去分母

時，分子是多項(xiàng)式的要添括號.

類似性問題

2.解方程生」一吆±1=21一1.

364

解析：

先去分母，然后去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后將系數(shù)化為1,在去分母的過

程中，注意不含分母的項(xiàng)別忘了也要乘各分母的最小公倍數(shù).

考點(diǎn)12二元一次方程組的解法

師：復(fù)習(xí)完了一元一次方程的知識，下面我們一起來復(fù)習(xí)一下二元一次方程組的相

關(guān)知識.

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

1.二元一次方程組的有關(guān)概念

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程.

二元一次方程的解：適合一個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程的解.

二元一次方程組：由幾個二元一次方程組成并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一

次方程組.

二元一次方程組的解：使二元一次方程組中兩個方程的左右兩邊的值相等的兩個未

知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.

（下一步）

2.二元一次方程組的解法：

（下一步）

代入

二元一次方程（組）-元一次方程

加減“

（下一步出現(xiàn)黃色陰影字體）

（1）代入消元法；（2）加減消元法.

師：回顧完二元一次方程組的相關(guān)知識，接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之一二元一次方程組的有關(guān)概念

例1已知|"=2,是二元一次方程組b=7'的解，則_的值為（

ab)

y=1[ax-by=1

A.-1B.1C.2D.3

解析:

x=7依+外=7,

根據(jù)方程組解的定義，把"'代入到關(guān)于x、y的二元一次方程組，

[y=icix—by=i

2a+0=7,

中得<（下一步）

2〃一。=1,

a=2,

解關(guān)于°、。的二元一次方程組（下一步）

翼二g3;

a-b=2-3=-l.

答案：A

師：5=2,是二元一次方程組（依+外=7,的解，說明什么？

y=l\ax-by=1

生：（預(yù)設(shè)）將X、y的值代入方程組，兩個等式成立.

師：代入后我們可以得到？

生：（預(yù)設(shè)）關(guān)于。、人的二元一次方程組.

師：能否求出。、8的值？

生：（預(yù)設(shè)）可以，加減消元法.

師：大家在解有字母系數(shù)方程組的時候要明確方程的未知數(shù).

類似性問題

1.若關(guān)于x,y的二元一次方程組=的解滿足》+y<2,則a的取值范圍

x+3y=3

為.

解析：

將兩個二元一次方程相加得4x+4y=4+a,即x+y=*.（下一步）

整體代換，解關(guān)于。的一元一次不等式*<2.

x=2

3.已知<［是關(guān)于元，y的二元一次方程百x=y+a的解，求（。+1）（。-1）+7

y=g

解析:

x=2

把11代入Gx=y+q得26=G+〃，解得a=y/3.（下一步）

y=G

代入求值：（a+1）（a-l）+7=a2+6=（V3）2+6=9.

初步性問題

探究類型之二二元一次方程組的解法

2x-3>,=-5,

例2解方程組:

3x+2y=12.

解析:

加減消元法解此二元一次方程組.

答案：

j2x-3y=-5,①

解：〈?

3x+2y=12,②

①X2+②X3得，13x=26,即尤=2.

把x=2代入②得6+2y=12,解得y=3.

x=2

所以此二元一次方程組的解為’

』=3.

師：解二元一次方程組的基本思想是什么？

生：（預(yù)設(shè)）消元.

師：這個方程組如何消元？

生：（預(yù)設(shè)）加減消元.

師：在二元一次方程組中，若一個未知數(shù)能很好地表示出另一個未知數(shù)時，一般采

用代入法；當(dāng)兩個方程中的某個未知數(shù)的系數(shù)相等時，或者系數(shù)均不為零時，一般

采用加減消元法把兩個方程增大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)再相加減可消去一個未知數(shù).

類似性問題

2x+y=5,

2.解方程組:

x-3y=6.

解析：代入消元法解此二元?次方程組.

考點(diǎn)13二元一次方程組的應(yīng)用

師：同學(xué)們先回憶一下列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟以及我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?/p>

的等量關(guān)系.

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色陰影字體，再一步一步出現(xiàn)黃色字體）

1.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：

審：|審清題意，分清題中的已知量、未知量.

設(shè)：［設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中某個未知量為X,并注意單位.

列:］建立已知量和未知量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列方程.

?解方程.

■檢驗(yàn)方程的解是否符合題意.

答J寫出答案（包括單位）.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體）

2.常見的幾種方程類型及等量關(guān)系

（1）行程問題

基本量之間的關(guān)系：（下一步）路程=速度X時間.（下一步出現(xiàn)三個綠色字體）

相遇問題：|全路程=甲走的路程+乙走的路程.（下一步）

追及問‘若甲為快者，則被追路程=甲走的路程-乙走的路程.（下一步）

流水問題：1'嫉=丫靜+丫水，V送=丫靜-丫水?（下一步）

（2）工程問題

工作效率=工作總量

基本量之間的關(guān)系:（下一步）作工作時間.（下一步）

相等關(guān)系：甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.（下一步）

提醒:工程問題中通常把工作總量看做“1”.（下一步）

（3）利率問題

寺里天外（下一步）

①本息和=本金+利息.

②利息=本金X利率義期數(shù).

③利息稅總額=利息總額X利息稅率.

師：回顧完基本概念，接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型利用二元一次方程（組）解決實(shí)際問題

例1某班將舉行“慶祝建黨90周年知識競賽”活動，班主任安排小明購買獎品,

下面兩圖是小明買回獎品時與班長的對話情境：

請根據(jù)上面的信息，解決問題：（1）試計算兩種筆記本各買了多少本？（2）請你解

釋：小明為什么不可能找回68元？

解析：

設(shè)未知數(shù)：單價為5的筆記本x本，單價為8元的筆記本y本；

（1）找等量關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40,

兩種筆記本錢數(shù)=300-68+13；

列方程組求解；

（下一步）

（2）找等量關(guān)系：兩種筆記本本數(shù)和=40,

兩種筆記本錢數(shù)=300-68；

列方程組求解，解方程組得出解不為正整數(shù)即可說明.

答案:

解：設(shè)5元的筆記本買了x本，8元的筆記本買了y本.

x+y=40,x=25,

（1）根據(jù)題意得解得＜

5%+8y=300—68+13,y=15.

答：5元的筆記本買了25本，8元的筆記本買了15本.（下一步）

（2）如果是找回68元，則買筆記本共花了232元，可得方程組

88

x=3,」

x+y=40

解得■

5x+8y=300-683-2

y=3

由于買的筆記本的數(shù)量只能是整數(shù)，故與實(shí)際生活不符，也就是說不可能找回

68元.

師：題目以對話的形式給出我們條件和問題，大家是否清楚題意？

生：（預(yù)設(shè)）兩個本子的單價為5元和8元，共買了40本，花了300-68+13元，要

求兩種本子的數(shù)量.

師：這里我們可以直接設(shè)兩種本子的數(shù)量為x和y,關(guān)鍵信息是兩種本子的總價，是

300-68,還是300-68+13,接下來就是列方程求解了.

學(xué)生列方程求解.

師：對于用圖表信息的形式表示的等量關(guān)系，要從數(shù)據(jù)出發(fā)，探究內(nèi)在聯(lián)系從而找

出等量關(guān)系.

師：運(yùn)用二元一次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是弄清題意，找出各種等量關(guān)系，列出方程

并解出結(jié)果.

類似性問題

1.某班為獎勵在校運(yùn)會上取得較好成績的運(yùn)動員，花了400元錢購買甲、乙兩種獎

品共30件，其中甲種獎品每件16元，乙種獎品每件12元，求甲、乙兩種獎品各買

多少件？該問題中，若設(shè)購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，則方程組正確的是（）

x+y=30y=30

A..B..

12x+16y=40016x+12y=400

12x+16y=30DJ16x+12y=3O

C..

x+y=400x+y=400

解析：

找等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式建立方程組求解.（卜一步）

等量關(guān)系：甲種獎品件數(shù)+乙種獎品件數(shù)=30件，

購買甲種獎品錢數(shù)+購買乙種獎品錢數(shù)=400元.

2.在長為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等

的小矩形花圃，其示意圖如圖所示，求小矩形花圃的長和寬.

解析：

設(shè)小矩形花圃的長為xm,寬為ym,（下一步）

等量關(guān)系式：兩個小矩形的長+一個小矩形的寬=大矩形的長，

一個小矩形的長+兩個小矩形的寬=大矩形的寬，（下一步）

根據(jù)等量關(guān)系式列方程求解：［2x+V=10，

%+2y=8.

3.某城市規(guī)定：出租車起步價允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過3千米的部分按

每千米另收費(fèi).甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了17元”；乙說：“我乘這

種出租車走了23千米，付了35元”.請你算一算這種出租車的起步價是多少元？超

過3千米后，每千米的車費(fèi)是多少元？

解析：設(shè)這種出租車的起步價是x元，超過3千米后，每千米的車費(fèi)是y元，

等量關(guān)系：起步價+超出3千米部分的價格=總價格，

x+(ll-3)y=17,

根據(jù)等量關(guān)系式列方程求解：■

x+(23-3)y=35.

第二課時

教學(xué)路徑

師：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了一元一次方程及二元一次方程組的相關(guān)知識，下面這節(jié)課我

們一起來復(fù)習(xí)一下一元二次方程的知識.

考點(diǎn)14一元二次方程

師：我們首先來回憶一下一元二次方程的基本概念及解法.

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再一步一步出現(xiàn)黃色字體）

1.一元二次方程的概念

一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程，其一般形

式為ax*2+/?x+c=0（a，0）.

易錯點(diǎn)：一元二次方程的概念隱含其二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,故解有關(guān)字母系數(shù)的一元

二次方程不要忘掉其二次項(xiàng)系數(shù)。邦.

（下一步）

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色字體，一步一步出現(xiàn)黃色字體）

2.一元二次方程的解法

（1）直接開平方法：|它適合于（x+a）2=6（婦0）或（辦+爐=（cx+d）2形式的方程.

（2）配方法：|通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（3）公式法|先把方程整理成一般形式ajr+hx+c=0,且b2-4ac>0,其求根公式為為.2=

-b±\/b2-4ac

2a，

（4）因式分解法:［把方程化為〃2〃=0,得m=0或n=0的形式.

師：接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之一一元二次方程的有關(guān)概念

例1若x=2是關(guān)于龍的一元二次方程加x+8=0的一個解，則的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

解析：

由方程根的定義，把x=2代入fr/u+gR得4-2〃?+8=0,解得〃?=6.

答案：A

師：請一位同學(xué)來講一講這道題？

生：（預(yù)設(shè)）將x的值代入方程，解關(guān)于根的一元一次方程.

師：還有其他方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）利用根與系數(shù)的關(guān)系.

師：非常好，若已知方程的根代入可求字母系數(shù)的值，反之，已知字母系數(shù)，可求

方程的根，總之等式中有兩個未知量，知一可求一；利用根與系數(shù)的關(guān)系也是一樣

的道理，通過未知量之間的關(guān)系來求解.

類似性問題

2.已知x=l是方程/+8下2=0的一個根，則方程的另一個根是（）

A.1B.2C.-2D.-1

解析：

方法一：根據(jù)方程根的定義，把尸1代入x2+陵-2=0得l+b-2=0,得8=1,所

以廠2=0,解得汨=1,X2=-2；（下一步）

方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知汨*2=-2,又即=1,故X2=-2.

初步性問題

探究類型之二一元二次方程的解法

例2解方程f-4x+l=0.

解析：

用配方法或公式法求解.

答案：

解：

方法一：移項(xiàng)，得f-4x=T.

配方，得（x~2）2=3.

兩邊開平方，得尸2=±6，故x=2±&,即XI=2+百，、2=2-e.（下一步）

方法二：因?yàn)閍=l,b=-4,c=L所以A=b2-4ac=12>0.

方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

1±”二4**注叵二2±6即即=2+百，32-6

2a2x1

師：如何求解比較簡單？

生：（預(yù)設(shè)）配方或求根公式法.

師：要注意什么？

生：（預(yù)設(shè)）配方法要注意開方前要檢驗(yàn)被開方數(shù)是否非負(fù)，求根公式法要注意先判

斷△再決定是否求根.

師：很好，大家還要注意直接開平方法、配方法、求根公式法、因式分解法之間的

聯(lián)系和區(qū)別，求根公式是通過先配方再開平方得到的，選擇合適的方法會給求解帶

來便利，比如這道題目，不是完全平方的形式，所以不能直接開平方，但是可以配

方，然后再開方，當(dāng)然也可以直接用求根公式，由于方程的根不是有理數(shù)，所以不

能用常用的因式分解法，反而是我們求出根后知道等號左邊的二次三項(xiàng)式如何因式

分解.

類似性問題

1.一元二次方程尤（k1）=0的解是（）

A.x=0B.x=l

C.x=0或x=lD.x=0或x~l

解析：因式分解法.

由x（x~l）=0可得x=0或獷1=0,即x=0或x=L

3.解方程x（x+6）=16.（用三種不同的方法）

解析：

配方法，因式分解法，求根公式法.

考點(diǎn)15一元二次方程根的判別式

師：同學(xué)們先回憶一下我們是如何判斷一元二次方程的根的情況的？

回顧：

（先出現(xiàn)紅色字體，再出現(xiàn)綠色字體，最后一步步出現(xiàn)黃色字體）

一元二次方程根的判別式：關(guān)于X的一元二次方程加+笈+c=O（a/））的根的判別式

為b2-4ac,也把它記作△=/-4ac,.

判別式△=一元二次方程根的個數(shù)

（1）房-4a.>do方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）用方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

（3）b24t7c<0<=>方程沒有實(shí)數(shù)根.

（4）。7*$<=>方程有實(shí)數(shù)根.

（下一步）

易錯點(diǎn)：在使用根的判別式解決問題時，二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，常漏掉二次項(xiàng)系

數(shù)不為零這個隱含條件.

初步性問題

探究類型一元二次方程根的判別式

例1已知關(guān)于x的一元二次方程（a—1）/—2x+l=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a

的取值范圍是（）

A.a<2B.a>2

C.a<2且aWlD.a<-2

解析：由根的個數(shù)與判別式的關(guān)系得：

一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根="=（-2）-4（?-l）xI>0,（下一步）

解得a<2且a/1.

答案：C

師：如何求。的取值范圍？

生：(預(yù)設(shè))由方程根的個數(shù)，知△大于0.

師：完整嗎？

生：(預(yù)設(shè))還有二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

師：如果一元二次方程中含有字母系數(shù)，大家要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,這是由根

的情況求字母系數(shù)的取值范圍，反之根據(jù)字母系數(shù)的取值范圍我們也可以判斷根的

個數(shù).在判別方程實(shí)根的情況時，由△=及-4"判別式的特點(diǎn)知：當(dāng)a,c異號時，

方程必有兩個不等實(shí)根；只有當(dāng)a,c同號時，才用計算判別式的值的方法判斷，以

加快解題速度.

例2關(guān)于x的一元二次方程f-3xd=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求人的取值范圍.

(2)請選擇一個上的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根.

師：請同學(xué)們思考以下問題：

1.該一元二次方程的判別式是什么？

2.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根等價于什么條件？

解析：

(1)由題意，令△=02-4ac>0,求人的取值范圍；(下一步)

(2)在上的取值范圍內(nèi)選取負(fù)整數(shù).

答案：

解：(1)A=(-3)2-4XlX(-k)=9+4k.

由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根知△>(),

9

即9+4左>0,解得心>-一.

4

(2)可選取攵=-2,此時該一元二次方程為f-3x+2=0,

解這個一元二次方程得加=1，X2=2.

師：第一問與例1是同樣的題目，第二問，選取人的取值時要注意什么？

生：（預(yù)設(shè)）在第一問的取值范圍內(nèi)選取.

類似性問題

1.證明：不論加取何值時，關(guān)于X的方程（尸1）（X-2）=加2總有兩個不相等的實(shí)數(shù)

根.

解析：

先將（尸1）（廠2）=加2化為一般形式，然后證明A>0即可.

2.若關(guān)于x的一元二次方程f+4尤+2上0有兩個實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的非負(fù)

整數(shù)值.

解析：

方程有兩個實(shí)數(shù)根，即AX）,然后解不等式求人的取值范圍，最后取R的負(fù)整

數(shù)解即可.

考點(diǎn)16一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

師：復(fù)習(xí)完了一元二次方程根的判別式，接下來我們復(fù)習(xí)一下一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系呢？同學(xué)們想一想.

回顧：

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（下一步）

如果x\,xz是一元二次方程cuc2+bx+c=Q（a#0）的兩個根，那么

hc

X\+X2=~—,Xl*X2=-.

aa

師：下面我們就來看一下用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以解決哪些類型的問題.

初步性問題

探究類型之一利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程根的有關(guān)代數(shù)式的值

例1已知一元二次方程9-6廠5=0的兩根為a,b,則的值是__________.

ab

解析：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+匕=6,ab=~5；（下一步）

整體代入有關(guān)根的代數(shù)式：1+1==

abab5

答案：-9

5

師：由條件和要求的你的解題思路是？

生：（預(yù)設(shè)）將要求的代數(shù)式通分可知只要求出兩根之和，兩根之積即可，而方程式

已知的，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系可求.

師：非常好，關(guān)于一元二次方程有實(shí)數(shù)根問題，一般有三種處理方式（何時選擇哪

種方式要根據(jù)具體題目的特點(diǎn)來確定）：①利用求根公式求根；②利用根與系數(shù)的關(guān)

系將這兩個根的和與積表達(dá)出來：X|+X2=-2,?檢=￡,以便后繼作整體代換；③將

aa

根代入方程中進(jìn)行整體處理，具體如何處理要根據(jù)題目條件和式子的特點(diǎn)來決定.

類似性問題

1.已知一元二次方程VTy+UO的兩個實(shí)數(shù)根分別為“，小，則（yi-l）（”T）的

值為.

解析：

由根與系數(shù)的關(guān)系可得yi+”=3,5”=1,（下--步）

整體代入有關(guān)根的代數(shù)式:（yi-l）（p-l）=yi”-（yi+”）+l=l-3+l=-l.

初步性問題

探究類型之二利用根與系數(shù)的關(guān)系求未知系數(shù)的值

例2關(guān)于x的一元二次方程f+2x+A+l=0的實(shí)數(shù)解是總和以

（1）求女的取值范圍；

（2）如果X1+X2—X2<—1且左為整數(shù)，求女的值.

解析:

（1）一元二次方程f+2x+k+l=0有兩個實(shí)數(shù)根，故AK）；（下一步）

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得為+及=-2,X（x2=k+l,整體代入有關(guān)根的不等式

用+及一制無2<一1，再結(jié)合（1）的結(jié)論確定出左的范圍，最后取整數(shù)解即可.

答案：

解：（1）因?yàn)橐辉畏匠蘤+2x+k+1=0有兩個實(shí)數(shù)根，

所以—=22-4（A+1）=~4k>0,

即”0.（下一步）

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得xi+%2=-2,x\X2=k+1,

所以-2-（Jt+l）<-1,

解得%>-2,

結(jié)合（1）知-2〈仁0.

又攵為整數(shù)，

所以左=-1或0.

師：第一問請同學(xué)來講一下思路？

生：（預(yù)設(shè)）由方程根的個數(shù)求字母系數(shù)的取值范圍.

師：勿忘二次項(xiàng)系數(shù)非0,第二問呢？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)不等式的特點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可.

師：當(dāng)方程中含有字母系數(shù)利用根與系數(shù)的關(guān)系時勿忘判別式的符號，最后結(jié)合（1）

的結(jié)論勿忘求整數(shù)解，

類似性問題

2.若關(guān)于x的一元二次方程f-4x+h3=0的兩個實(shí)數(shù)根為汨，X2,且滿足幻=3及，試

求出方程的兩個實(shí)數(shù)根及k的值.

解析：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知為+X2=4,結(jié)合加=3尬可求出R，X2的值；（下一步）

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系X1X2=63求出4的值.

3.已知關(guān)于x的方程x2—2（^―1）x+M=0有兩個實(shí)數(shù)根Xi,X2.

(1)求人的取值范圍；(2)若婕|+X2|=X1X2-1，求女的值.

解析：

(1)方程X2—2(A—1)x+R=O有兩個實(shí)數(shù)根xi，及，則AN0,從而確定出人

的取值范圍；(下一步)

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得無1+無2=2(女一1),X\X2=^2，代入k|+X21=X|X2-1求出

上的值，結(jié)合(1)中的結(jié)論要注意女的取值范圍.

考點(diǎn)17一元二次方程的應(yīng)用

師：同學(xué)們先想一下前面我們復(fù)習(xí)的用二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟.

生：(思考回答)

師：那么利用一元二次方程解決實(shí)際問題是不是也是這樣的步驟呢？利用一元二次

方程都能解決哪些類型的實(shí)際問題呢？

生：(思考回答)

回顧：

(先出現(xiàn)紅色，再綠色，再黃色)

1.增長率問題

等量關(guān)系：

(1)增長率=增量濯礎(chǔ)量.

(2)設(shè)“為原來的量，為平均增長率，〃為增長次數(shù)，b為增長后的量，則

a(l+m)n=b9當(dāng)加為平均下降率時，Rlla(l-m)n=b.

2.利潤率問題

等量關(guān)系：

(1)毛利潤=售出價-進(jìn)貨價.

(2)純利潤=售出價-進(jìn)貨價-其他費(fèi)用.

利潤

(3)利潤率=aw-

師：下面我們就來看一下如何用一元二次方程解決增長率問題及銷售問題.

初步性問題

探究類型之一增長率問題

例1廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房

地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格

經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率；

（2）某人準(zhǔn)備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠

方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問

哪種方案更優(yōu)惠？

解析：

（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為X,

第一次下調(diào)后價格為6000（1-x）元，

第二次下調(diào)后價格為6000（l—x）2元：（下一步）

（2）分別算出兩種方案下的優(yōu)惠價格.

答案：

解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,則根據(jù)題意可得

6000（1—x）2=4860,

解這個方程得xi=0.1=10%,%2=1.9（不合題意，舍去）.

答：平均每次下調(diào)的百分率為10%.（下一步）

（2）按方案①購房優(yōu)惠4860X100X0.02=9720（元）；

按方案②購房優(yōu)惠80X100=8000（元）.

因?yàn)?720>8000,所以方案①更優(yōu)惠.

師：增長率問題，如何求解？

生：（預(yù)設(shè)）設(shè)下調(diào)的百分率為x,將第二次下調(diào)后得價格表示出來，列出方程求解.

師：解方程的過程中勿忘檢驗(yàn)，第二問，如何判斷哪個方案更優(yōu)惠？

生：（預(yù)設(shè)）我們可以求優(yōu)惠后的價格.

生：（預(yù)設(shè)）也可以求優(yōu)惠了的價格.

師：非常好，從不同的角度去思考一個問題是我們在解決問題時需要注意的.

類似性問題

1.某商品原售價289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元，設(shè)平均每次降價的百

分率為x,則下面所列方程中正確的是()

A.289(1-x)2=256B.256(1-x)2=289

C.289(1-2%)=256D.256(l-2r)=289

解析：

第一次降價后的售價為289(1-x)元，第二次降價后售價為289(1-x)(1-x)

=289(1-x)2元，故289(1-x)2=256.

初步性問題

探究類型之二商品銷售問題

例2商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存,

商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天

可多售出2件.設(shè)每件商品降價x元.據(jù)此規(guī)律，請回答：

(1)商場日銷售量增加______件，每件商品盈利_____元(用含x的代數(shù)式表示);

(2)在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)

到2100元？

解析：

(2)根據(jù)等量關(guān)系“每件商品的盈利X可賣出商品的件數(shù)=2100元”列方程求

解.

答案：

(1)2x；(50-x)

(2)解：設(shè)每件商品降價x元，根據(jù)題意可得

(50-x)(30+2%)=2100,

整理得f-35》+300=0,

解這個方程得xi=15,X2=20.

因?yàn)殡S著價格的降低銷售量逐漸增加，所以為了要盡快減少庫存應(yīng)降價20

元.

所以，當(dāng)降價20元時，商場日盈利可達(dá)到2100元.

師：這是商品銷售問題，商品銷售量增加的件數(shù)與降的價格有什么關(guān)系，盈利與降

的價格又有什么關(guān)系？

生：（預(yù)設(shè)）商品銷售量增加的件數(shù)與降的價格成正比例，為2x件，盈利隨著x的

增加而減小，為（50-x）元.

師：第二問呢？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)等量關(guān)系式：每件的利潤X件數(shù)=總利潤可列方程求解.

類似性問題

3.某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價40元.經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為52元時，

可售出180個；定價每增加1元，銷售量將減少10個.商店若準(zhǔn)備獲利2000元，則

應(yīng)進(jìn)貨多少個？定價為多少？

（1）本題如何設(shè)未知數(shù)較適宜？需要列出哪些相關(guān)量的代數(shù)式？

（2）列得方程的解是否都符合題意？如何解釋？

（3）請你為商店估算一下，若要獲得最大利潤，則定價多少？

解析：

（1）本題適合設(shè)定價增加x元，需表示出每件的利潤和銷售量；（下一步）

（2）根據(jù)“每件的利潤X銷售量=2000元”列方程，方程的解為正值表明是提

高定價，方程的解為負(fù)值表明降低定價；（下一步）

（3）二次函數(shù)最值問題：配方法確定定價和最大利潤.

師：接下來我們看一道面積型的一元二次方程應(yīng)用題.

2.如圖所示，鄰邊不等的矩形花圃它的一邊AO利用已有的圍墻，另外三邊

所圍的柵欄的總長度是6m.若矩形的面積為4m2,則A8的長度是m（可

利用的圍墻長度超過6m）.,

r圍aL墻

////////////////////

AD

B'-------------'c

解析：

設(shè)A3=xm,則8C=（6-2x）m；（下一步）

根據(jù)題意得x(6-2%)=4,解得汨=1,X2=2；(下一步)

當(dāng)x=2時，6-2犬=2,也就是說此時A3=BC=2m,與圖中的“鄰邊不等”

相矛盾，故應(yīng)舍去.

答案：

【類似性問題】

考點(diǎn)11

1.2

考點(diǎn)12

1.a<4

(x=3

2