安徽省淮北市相山區一中2025屆數學高二上期末調研試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中，常數項為（）A. B.C. D.2．設等差數列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.83．已知拋物線，則它的焦點坐標為（）A. B.C. D.4．經過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）6．若方程表示雙曲線，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．等差數列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.518．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.9．如圖，A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.10．某公司有320名員工，將這些員工編號為1，2，3，…，320，從這些員工中使用系統抽樣的方法抽取20人進行“學習強國”的問卷調查，若54號被抽到，則下面被抽到的是（）A.72號 B.150號C.256號 D.300號11．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.1112．已知a，b為不相等實數，記，則M與N的大小關系為（）A. B.C. D.不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點M，則的最大邊是AB的概率為______14．已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為________15．已知直線l：和圓C：，過直線l上一點P作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為______16．雙曲線的焦距為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一次重大軍事聯合演習中，以點為中心的海里以內海域被設為警戒區域，任何船只不得經過該區域．已知點正北方向海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東，且與點相距海里的位置，經過小時又測得該船已行駛到位于點北偏東，且與點相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）該船能否不改變方向繼續直線航行？請說明理由18．（12分）已知拋物線：的焦點為，點在上，點在的內側，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點B，C為E上兩個不同的點，其中B點在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.19．（12分）如圖，矩形ABCD，點E，F分別是線段AB，CD的中點，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請按圖中所給的方法建立空間直角坐標系，然后用空間向量坐標法完成下列問題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知數列是正項數列，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，若對恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設平面與平面的夾角為，求的最小值22．（10分）設集合（1）若，求；（2）設，若是成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數項為.故選：A.2、B【解析】利用等差數列的通項公式的基本量計算求出公差.【詳解】，所以.故選：B3、D【解析】將拋物線方程化標準形式后得到焦準距，可得結果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：將拋物線方程化為標準形式是解題關鍵.4、A【解析】根據點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A5、A【解析】設出切點，對函數求導得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數的導函數的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應用到導數的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.6、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標準方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A7、C【解析】結合等差數列的性質求得正確答案.【詳解】依題意是等差數列，，.故選：C8、C【解析】由空間向量共面定理可得點四點共面，從而將求的最小值轉化為求點到平面的距離，再根據等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點四點共面，即點在平面上，所以的最小值為點到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】共面定理的應用：設是不共面的四點，則對空間任意一點，都存在唯一的有序實數組使得，說明：若，則四點共面.9、B【解析】根據向量的線性運算，將向量表示為，再根據向量的數量積的運算進行計算可得答案,【詳解】因為，所以=，故選：B.10、B【解析】根據系統抽樣分成20個小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號相差16的整數倍，即可求解.【詳解】∵用系統抽樣的方法從320名員工中抽取一個容量為20的樣本∴，即每隔16人抽取一人∵54號被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150號，而其他選項中的數字不滿足與54相差16的整數倍，故答案為：B故選：B11、B【解析】先求出數列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數列是以1為首項，2為公差的等差數列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數列所以由得：當時，即當時，當時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.12、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出滿足條件的長度，再結合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設，當時，，；當時，，所以當到的距離都大于時，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：14、【解析】根據漸近線方程、焦距可得，，再根據雙曲線參數關系、焦點的位置寫出雙曲線標準方程.詳解】由題設，可知：，，∴由，可得，，又焦點在軸上，∴雙曲線的標準方程為.故答案為：.15、1【解析】求出圓C的圓心坐標、半徑，再借助圓的切線性質及勾股定理列式計算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點C到直線l的距離，由圓的切線性質知：，當且僅當，即點P是過點C作直線l的垂線的垂足時取“=”，所以的最小值為1故答案為：116、【解析】根據雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）海里/小時；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，計算出，即可求得該船的行駛速度；（2）求出直線的方程，計算出點到直線的距離，可得出結論.【小問1詳解】解：設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則坐標平面中，，且，，則、、，，所以，所以、兩地的距離為海里，所以該船行駛的速度為海里/小時.【小問2詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，所以直線會與以為圓心，以個單位長為半徑的圓相交，因此該船要改變航行方向，否則會進入警戒區域18、（1）（2）【解析】（1）根據題意，結合拋物線定義，可求得，即得拋物線方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設，根據拋物線的對稱性，可表示出B,C的坐標，從而利用向量的坐標運算，求得所設參數值，進而求得答案.【小問1詳解】的準線為：，作于R，根據拋物線的定義有，所以，因為在的內側，所以當P，Q，R三點共線時，取得最小值，此時，解得，所以的方程為.小問2詳解】因為AB，OC互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.由，得軸，設點，則，由拋物線的對稱性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，邊上的高，所以菱形的面積.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出對應向量的坐標，根據向量垂直，即可證明線面垂直；（2）根據（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結果.【小問1詳解】矩形ABCD中，點E，F分別是線段AB，CD的中點，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線與平面所成角，設直線與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線與平面所成角正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法求和得到，由題意即即對恒成立，分析數列的單調性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數列是公比為2的等比數列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對恒成立得對恒成立即對恒成立，又是遞減數列∴時得到最大值∴，即∴的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設，可得出與的坐標設為平面的法向量，求出法向量.是關于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立