2024-2025年上學期青縣第六中學九年級數學期末模擬試卷2學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題(共12題，共36.0分)1．(3分)拋物線y=2（x-2）（x+6）的對稱軸是（）A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=-22．(3分)下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A.x+=1 B.x（x+3）=5

C.x3+2x=0 D.2x2+xy-3=03．(3分)一元二次方程x2-2x+3=0的一次項系數是（）A.3 B.1 C.0 D.-24．(3分)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若∠ABD=54°，則∠C的度數為（）A.34° B.36° C.46° D.54°5．(3分)香水梨在甘肅白銀境內種植歷史悠久，明代就有記載．某水果店以每千克10元的進價進了批香水梨，經市場調研發現：售價為每千克20元時，每天可銷售40千克，售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該水果店想平均每天獲利408元，設這種香水梨的售價上漲了x元，根據題意可列方程為（）A.（20+x）（40-3x）=408

B.（20+x-10）（40-3x）=408

C.（x-10）[40-3（x-20）]=408

D.（20+x）（40-3x）-10×40=4086．(3分)如圖，若△ABC繞點A按逆時針方向旋轉50°后與△AB1C1重合，則∠AB1B=（）A.50° B.55° C.60° D.65°7．(3分)拋物線y=-2（x+2）2-5的頂點坐標是（）A.（2，-5） B.（2，5） C.（-2，-5） D.（-2，5）8．(3分)如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM的長的最小值為（）A.3 B.4 C.6 D.89．(3分)如圖一個扇形紙片的圓心角為90°，半徑為6．將這張扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，則陰影部分的面積為（）A. B.

C. D.10．(3分)如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（）A. B.π

C. D.211．(3分)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=30°，AC=4，以AC中點O為圓心作弧AB及弧AD，動點P從C點出發沿線段CB，弧BA，弧AD，線段DC的路線運動，點P從點C運動到點D時，線段OP掃過的面積為（）A. B.

C. D.12．(3分)如圖，⊙O的半徑為5，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AD∥BC（AD，BC位于圓心O的兩側），AD=6，BC=8，將，分別沿AB，CD翻折得到，，M為上點，過點M作MN∥AD交于點N，則MN的最小值為（）A.4 B.4

C. D.二、填空題(共4題，共12.0分)13．(3分)如圖，在方格中畫著兩艘完全一樣的小船，左邊小船向右平移了_____格可以來到右邊小船位置．

14．(3分)如圖，將半徑為2的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為_____．15．(3分)已知關于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一個根為-1，則m的值為_____，另一個根為_____．16．(3分)九年（1）班將競選出正、副班長各1名，現有甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生參加競選．則兩位女生同時當選正、副班長的概率為_____．三、解答題(共8題，共72.0分)17．(9分)如圖，△BCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，若∠CDB=42°，求∠ABC的度數．18．(9分)如圖，已知一次函數y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次圖象交于y軸上的一點B，二次函數的頂點C在x軸上，且OC=2．

（1）求二次函數的解析式；

（2）設一次函數y=0.5x+2的圖象與二次函數圖象另一交點為D．

①在拋物線上是否存在點P，使△BCD面積與△BDP面積相等．

②已知P為x軸上一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P坐標．19．(9分)如圖，AB是⊙O的直徑，點E為弧AC的中點，AC、BE交于點D，過A的切線交BE的延長線于F．

（1）求證：AD=AF；

（2）若=，求tan∠OAD的值．20．(9分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連接BC．

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=6，∠ABC=30°，求圖中陰影部分的面積．21．(9分)若關于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-1=0的常數項為0，求m的值是多少？22．(9分)已知二次函數y=x2+4x+3．

（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式；

（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出這個二次函數的圖象．23．(9分)如圖1，在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm,點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t（s）．

（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形？

（2）當P在AB上運動時，t為何值時，直線PQ與以AD為直徑的圓相切？

（3）如圖2，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm,那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

24．(9分)如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC為對角線．將△ACD繞點A逆時針旋轉60°得到△AC′D′，連接DC′．

（1）求證：△ADC≌△ADC′；

（2）求在旋轉過程中點C掃過路徑的長．（結果保留π）

試卷答案1．【答案】D【解析】把拋物線y=2（x-2）（x+6）化成頂點坐標形式求解即可．

解：拋物線y=2（x-2）（x+6）=2（x2+4x-12）=2[（x+2）2-32，

所以對稱軸是直線x=-2．

故選：D．2．【答案】B【解析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．

解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B．是一元二次方程，故本選項符合題意；

C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

故選：B．3．【答案】D【解析】根據一元二次方程的一般形式找出一次項系數即可．

解：一元二次方程x2-2x+3=0的一次項系數是-2．

故選：D．4．【答案】B【解析】連接AD，如圖，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，∠C=∠A，然后利用互余計算出∠A，從而得到∠C的度數．

解：連接AD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠A=90°-∠ABD=90°-54°=36°，

∴∠C=∠A=36°．

故選：B．5．【答案】B【解析】設這種香水梨的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x-10）元，每天可銷售（40-3x）千克，利用每天的銷售利潤=每千克的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．

解：設這種香水梨的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x-10）元，每天可銷售（40-3x）千克，

依題意得：（20+x-10）（40-3x）=408．

故選：B．6．【答案】D【解析】根據旋轉的性質知AB=AB1，∠BAB1=50°，然后利用三角形內角和定理進行求解．

解：∵△ABC繞點A按逆時針方向旋轉50°后與△AB1C1重合，

∴AB=AB1，∠BAB1=50°，

∴∠AB1B=（180°-50°）=65°．

故選：D．7．【答案】C【解析】根據二次函數的性質，由頂點式直接得出頂點坐標即可．

解：∵拋物線y=-2（x+2）2-5，

∴拋物線y=-2（x+2）2-5的頂點坐標是：（-2，-5），

故選：C．8．【答案】A【解析】過O作OM′⊥AB，連接OA，由“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”的知識可知，當OM于OM′重合時OM最短，由垂徑定理可得出AM′的長，再根據勾股定理可求出OM′的長，即線段OM長的最小值．

解：如圖所示，過O作OM′⊥AB，連接OA，

∵過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短，

∴當OM于OM′重合時OM最短，

∵AB=8，OA=5，

∴AM′=×8=4，

在Rt△OAM′中，OM′===3，

∴線段OM長的最小值為3．

故選：A．9．【答案】A【解析】連接OD，如圖，利用折疊性質得由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積等于陰影部分的面積，AC=OC，則OD=2OC=6，CD=3，從而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根據扇形面積公式，利用由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積=S扇形AOD-S△COD，能進而求出答案．

解：連接OD，如圖，

∵扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，

∴AC=OC，

∴OD=2OC=6，

∴CD==3，

∴∠CDO=30°，∠COD=60°，

∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積=S扇形AOD-S△COD=-×3×3=6π-，

∴陰影部分的面積為-2×（6π-）=9-3π，

故選：A．10．【答案】C【解析】取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質得到AB=BC=2，則OC=AB=，OP=AB=，再根據等腰三角形的性質得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據圓周角定理得到點M在以OC為直徑的圓上，由于點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=，所以M點的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據圓的周長公式計算點M運動的路徑長．

解：取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴AB=BC=2，

∴OC=AB=，OP=AB=，

∵∠ACB=90°

∴C在⊙O上，

∵M為PC的中點，

∴OM⊥PC，

∴∠CMO=90°，

∴點M在以OC為直徑的圓上，

點P在A點時，M點在E點；點P在B點時，M點在F點，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=，

∴M點的路徑為以EF為直徑的半圓，

∴點M運動的路徑長=?2π?=π．

故選：C．11．【答案】C【解析】如圖，連接OB，OP，PB，PB交AC于點T．線段OP掃過的面積=S△COB+S扇形OBP．

解：如圖，連接OB，OP，PB，PB交AC于點T．

由題意，AB=AP=OB=OP=OA=OC=2，

∴△ABO，△APO都是等邊三角形，

∴BP⊥OA，∠AOB=∠AOP=60°，

∴AT=OT=1，∠BOP=120°，

∴BT===，

由題意，線段OP掃過的面積=S△COB+S扇形OBP=×2×+=+．

故選：C．12．【答案】A【解析】如圖，過點O作OP⊥AD于P，交BC于Q，設弧AEB所在的圓的圓心為O′，弧DFC所在的圓的圓心為O″，連接AO′，O′B，AO，OB，O′O″，MO′，NO″，設O′O″交PQ于J．想辦法求出O′O″即可解決問題．

解：如圖，過點O作OP⊥AD于P，交BC于Q，設弧AEB所在的圓的圓心為O′，弧DFC所在的圓的圓心為O″，連接AO′，O′B，AO，OB，O′O″，MO′，NO″，設O′O″交PQ于J．

∵AD∥BC，OP⊥AD，

∴OQ⊥BC，AP=PD=3，

∵OA=5，∠APO=90°，

∴OP==4．同法可得OQ=3，

∴PA=OQ，BQ=OP=4，

∵∠APO=∠BQO=90°，

∴△APO≌△OQB（SAS），

∴∠AOP=∠OBQ，

∵∠OBQ+∠BOQ=90°，

∴∠AOP+∠BOQ=90°，

∴∠AOB=90°，

∵OA=OB=AO′=BO′，

∴四邊形AO′BO是正方形，

∴∠OAO′=90°，

過點O′作O′T⊥DA交DA的延長線于T．

∵∠T=∠APO=∠OAO′=90°，

∴∠TAO′+∠PAO=90°，∠PAO+∠AOP=90°，

∴∠TAO′=∠AOP，

∴△ATO′≌△OPA（AAS），

∴TO′=PA=3，AT=OP=4，

根據對稱性可知，O′O″⊥PQ，

∴∠T=∠O′JP=∠JPT=90°，

∴四邊形PTO′J是矩形，

∴PJ=TO′=3，PT=OJ′=JO″=7，

∵O′M+MN+NO″≥O′O″，

∴5+MN+5≥14，

∴MN≥4，

∴MN的最小值為4．

故選：A．13．【答案】6【解析】由圖形中小船上對應點平移的距離進而得出答案．

解：如圖所示：左邊小船向右平移了6格可以來到右邊小船位置．

故答案為：6．14．【答案】2【解析】作OD⊥AB于D，連接OA，先根據勾股定理得AD的長，再根據垂徑定理得AB的長．

解：作OD⊥AB于D，連接OA．

∵OD⊥AB，OA=2，OD=1，

在Rt△OAD中

AD===，

∴AB=2AD=2．

故答案為：2．15．【答案】(1)-1;(2)2;【解析】將x=-1代入原方程，可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再結合兩根之積等于-2，即可求出方程的另一個根．

解：將x=-1代入原方程可得1-m-2=0，

解得：m=-1，

∵方程的兩根之積為=-2，

∴方程的另一個根為-2÷（-1）=2．

故答案為：-1，2．16．【答案】【解析】列舉出所有情況，讓兩位女生同時當選正、副班長的情況數除以總情況數即為所求的概率．

解：列表得：（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）

（甲，丙）（乙，丙）（乙，丙）（丁，丙）（甲，乙）

（丁，乙）

（乙，甲）（乙，甲）（丁，甲）∴兩位女生同時當選正、副班長的概率為=．17．【解析】連接AC，根據直徑所對的圓周角為直角得∠ACB=90°，再根據圓周角定理得∠A=∠CDB=42°，由此可得∠ABC的度數．

解：連接AC，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵△BCD內接于⊙O，

∴∠A=∠CDB=42°，

∴∠ABC=90°-∠A=90°-42°=48°．18．【解析】（1）根據y=0.5x+2交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標，二次函數的頂點C在x軸上，且OC=2．得出可設二次函數y=ax2+bx+c=a（x-2）2，進而求出即可；

（2）①分點在直線AB上方和點P在直線AB下方兩種情況，利用平行關系和對稱性求出直線CP'，PH解析式再分別和拋物線解析式聯立求出點P坐標．

②根據當B為直角頂點，當D為直角頂點，以及當P為直角頂點時，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可

解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點A，

∴0=0.5x+2，

∴x=-4，

與y軸交于點B，

∵x=0，

∴y=2

∴B點坐標為：（0，2），

∴A（-4，0），B（0，2），

∵二次函數的頂點C在x軸上，且OC=2，

∴可設二次函數y=a（x-2）2或y=a（x+2）2

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函數的解析式：y=0.5x2-2x+2或y=0.5x2+2x+2（對稱軸在y軸左側，舍去）；

（2）①如圖，

當點P在直線AB下方時，

由（1）知，直線AB解析式為y=0.5x+2，

過點C作CP'∥AB，

∵C（2，0），

∴直線CP'的解析式為y=0.5x-1①，

∵拋物線的解析式：y=0.5x2-2x+2②，

聯立①②得，（舍）或，

∴P'（3，0.5）；

當點P在直線AB上方時，

過點C作直線CE⊥AB于E，并延長，

∵直線AB解析式為y=0.5x+2③，C（2，0）

∴直線CE解析式為y=-2x+4④，

聯立③④得，E（0.8，2.4），

∴點C關于直線AB的對稱點H（-0.4，4.8），

過點H作MH∥AB，

∴直線HM解析式為y=0.5x+5⑤，

聯立②⑤得，或，

∴P（-1，4.5）或（6，8），

即：使△BCD面積與△BDP面積相等的點P的坐標為（3，0.5），（-1，4.5），（6，8）；

②（Ⅰ）如圖1，

當B為直角頂點時，過B作BP1⊥AD交x軸于P1點

由Rt△AOB∽Rt△BOP1

∴，

∴，

得：OP1=1，

∴P1（1，0），

（Ⅱ）如圖2，

作P2D⊥BD，連接BP2，

將y=0.5x+2與y=0.5x2-2x+2聯立求出兩函數交點坐標：

D點坐標為：（5，4.5），

則AD=，

當D為直角頂點時

∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，

∴△ABO∽△AP2D，

∴，

∴，

解得：AP2=11.25，

則OP2=11.25-4=7.25，

故P2點坐標為（7.25，0）；

（Ⅲ）如圖3，

當P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設P3（a,0）

則由Rt△OBP3∽Rt△EP3D

得：，

∵方程無解，

∴點P3不存在，

∴點P的坐標為：P1（1，0）和P2（7.25，0）．19．【解析】（1）連接AE，由“ASA”可證△AEF≌△AED，可得AD=AF；

（2）設AO=2x,AF=3x,通過證明△AEH∽△AFE，可求OH，DH的長，即可求解．

（1）證明：連接AE，OE交AC于H，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠B+∠BAE=90°，

∵AF是⊙O的切線，

∴∠BAF=90°，

∴∠BAE+∠FAE=90°，

∴∠B=∠FAE，

∵點E為弧AC的中點，

∴=，

∴∠B=∠CAE，

∴∠CAE=∠FAE，

在△ADE和△AFE中，

，

∴△ADE≌△AFE（ASA），

∴AD=AF；

（2）解：∵，

∴設AO=2x,AF=3x,

∴AB=4x,

∴BF==5x,

∵S△ABF=×AB×AF=×BF×AE，

∴AE=x,

∴EF==x,

∵點E為弧AC的中點，

∴OE⊥AC，AH=CH，

∵∠DAE=∠EAF，∠AEF=∠AHE=90°，

∴△AEH∽△AFE，

∴，

∴==，

∴AH=x,HE=x,

∴OH=x,

∴tan∠OAD==．20．【解析】（1）根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據平行線的性質得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是得到結論；

（2）連接CD，OD，根據等腰三角形的性質得到∠OCB=∠ABC=30°，即可求得∠AOC=∠OCB+∠ABC=60°，根據垂徑定理得出=，從而得出∠COD=∠AOC=60°，求得∠AOD=120°，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，

又∵OC為半徑，

∴AE=ED，

（2）解：連接CD，OD，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠ABC=30°，

∴∠AOC=∠OCB+∠ABC=60°，

∵OC⊥AD，

∴=，

∴∠COD=∠AOC=60°，

∴∠AOD=120°，

∵AB=6，

∴BD=3，AD=3，

∵OA=OB，AE=ED，

∴OE==，

∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=-×=3π-．21．【解析】常數項為零即m2-1=0，再根據二次項系數不等于0，即可求得m的值．

解：一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-1=0的常數項為m2-1=0，所以m=±1，

又因為二次項系數不為0，m-1≠0，m≠1，

所以m=-1．22．【解析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2-1，則拋物線的頂點坐標為（-2，-1），對稱軸為直線x=-2；

（2）利用描點法畫二次函數圖象；

解：（1）y=（x2+4x）+3

=（x2+4x+4-4）+3

=（x+2）2-1；

（2）如圖：

23．【解析】（1）四邊形APQD為矩形，也就是AP=DQ，分別用含t的代數式表示，解即可；

（2）利用切線的性質定理以及勾股定理得出（20-5t）2+42=（20+3t）2，進而求出即可；

（3）主要考慮有四種情況，一種是P在AB上；一種是P在BC上時．一種是P在CD上時，又分為兩種情況，一種是P在Q右側，一種是P在Q左側．并根據每一種情況，找