2024-2025高中物理奧賽解題方法：八作圖法八、作圖法方法簡介 作圖法是根據題意把抽象復雜的物理過程有針對性的表示成物理圖像，將物理問題轉化成一個幾何問題，通過幾何知識求解，作圖法的優點是直觀形象，便于定性分析，也可定性計算，靈活應用作圖法會給解題帶來很大方便。賽題精析例1：如圖8—1所示，細繩跨過定滑輪，系住一個質量為m的球，球靠在光滑豎直墻上，當拉動細繩使球勻速上升時，球對墻的壓力將（）A、增大B、減小C、先增大后減小D、先減小后增大解析：球在三個力的作用下處于平衡。當球上升時，θ角增大，可用動態的三角形定性分析，作出圓球的受力圖，如圖8—1甲所示。從圖可見，當球上升時，θ角增大，墻對球的支持力增大，從而球對墻的壓力也增大。故選A正確。例2：用兩根繩子系住一重物，如圖8—2所示。繩OA與天花板間夾角θ不變，當用手拉住繩子OB，使繩OB由水平方向轉向豎直方向的過程中，OB繩所受的拉力將（）A、始終減小B、始終增大C、先減小后增大D、先增大后減小解析：因物體所受重力的大小、方向始終不變，繩OA拉力的方向始終不變，又因為物體始終處于平衡狀態，所受的力必然構成一個三角形，如圖8—2甲所示，由圖可知OB繩受的拉力是先減小后增大。可知答案選C例3：如圖8—3所示，質量為m的小球A用細繩拴在天花板上，懸點為O，小球靠在光滑的大球上，處于靜止狀態。已知：大球的球心O′在懸點的正下方，其中繩長為l，大球的半徑為R，懸點到大球最高點的距離為h。求對小球的拉力T和小球對大球的壓力。解析：力的三角形圖和幾何三角形有聯系，若兩個三角形相似，則可以將力的三角形與幾何三角形聯系起來，通過邊邊對應成比例求解。以小球為研究對象，進行受力分析，如圖8—3甲所示，小球受重力mg、繩的拉力T、大球的支持力N，其中重力mg與拉力T的合力與支持力N平衡。觀察圖中的特點，可以看出力的矢量三角形（灰色）與幾何三角形AOO′相似，即：=，=所以繩的拉力：T=mg小球對大球的壓力：N′=N=mg例4：如圖8—4所示，質點自傾角為α的斜面上方定點O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，為使質點在最短時間內從O點到達斜面，斜槽與豎直方向的夾角β應等于多少？解析：如圖8—4甲所示，以經過O點的豎直線上的一點O′為圓心，OO′為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點，與OO′延長線交于B點。已知從O點由靜止出發沿傾角不同的光滑斜面下滑的質點，到達圓周上不同點所需時間相等，顯然，質點沿OA方向從靜止開始滑到斜面上所需時間比沿其他方向滑到斜面上所需時間短。連接O′A，由幾何關系得：∠AO′B=α所以所用時間最短時，斜槽與豎直方向的夾角：β=（所題也可用極限法求解，讀者可試試。）例5：一條小河，河水以v1=5m/s的速度勻速流動，一條小船在靜水中的速度為v2=3m/s。欲使小船渡河的航程最短，小船的船頭應指向何方向？解析：若v1＜v2，可垂直渡河，船程最短。但本題v1＞v2，小船就不能垂直渡河。但欲使航程最短，則應使合速度方向與河岸夾角最大。根據矢量合成的三角形法，v1、v2、v合，構成封閉三角形，作圖如8—5所示，作有向線段OA表示河水流速v1，以表示v2的有向長度為半徑，以A為圓心畫圓，過O該圓的切線，切點為B，作有向線段AB，有向線段AB的方向就是所求的方向。由直角三角形AOB，得：cosθ==所以：θ=53°即小船的船頭應指向上游并沿與上游的河岸成53°角的方向。例6：一木箱重為G，與地面動摩擦因數為μ，現用斜向上的力F拉木箱使之沿水平地面勻速前進，如圖8—6所示。求拉力F與水平方向夾角θ為何值時拉力最小？這個最小值多大？解析：木箱受重力G、彈力N、摩擦力f及拉力F四個力的作用，但此題也可以把木箱看做只受三個力作用，即重力G、拉力F和摩擦力f與支持力N的合力F′，設F′與N的夾角為φ，則tanφ==μ，再應用矢量三角形求解。木箱受力情況如圖8—6甲所示，已知G的大小和方向，F′的方向，顯然，要使封閉的矢量三角形中F值最小，只有由G的端點作F′的作用線的垂線時，F值最小，如圖8—6乙所示，此時F的最小值為Fmin=Gsinφ其中φ=arctanμ，所以最小的拉力F與水平方向的夾角為θ=φ=arctanμ。F的最小值可以表達為：Fmin=G。例7：如圖8—7所示，一帶電質點，質量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域，為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這圓形磁場區域的最小半徑。重力忽略不計。解析：當帶電質點以垂直于磁場方向的速度v進入磁場，在磁場中將做勻速圓周運動，由此要從a點進入從b點射出其圓軌道為圓弧，因而可用作圖法求解。過a點作平行Ox軸的直線，過b作平行Oy的直線，兩直線相交于c點，如圖8—7甲所示，可見只要能保證帶電質點的圓軌道處在勻強磁場中，即可使帶電質點從b點射出，由此可知，磁場區域有一最小值，其最小半徑為圓形軌道兩個端點連線的一半，即：由qvB=m可得粒子在磁場中的偏轉半徑為：r= 所加磁場的最小半徑為：R=r=例8：圖8—8中AB表示一橫放的平面鏡，P1P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡），MN是屏，三者互相平行，屏MN上的ab表示一條直縫（即a、b之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其位置見圖），可通過平面鏡看到米尺上的一部分刻度。試在本題的圖上用三角板作圖求出可看到的部分，并在P1P2上把這部分涂以標志。解析：根據物像位置鏡面對稱可知：人眼通過平面鏡看到的米尺刻度范圍，好像人眼在平面鏡中的像直接去看刻度范圍，不過要受到擋板MN的像M′N′的阻擋，所以先將眼睛在平面鏡中成像點S′作出，再作出擋板MN在平面鏡中的像M′N′，如圖8—8—甲，其中a′b′是擋板上的縫ab在平面鏡中的像，連接S′a′并延長交AB、P1P2于c、d兩點，再作S′和b的連線交AB于E點，并延長后交P1P2于F點，則dF即為人眼通過平面鏡和擋板后能看到的刻度范圍。例9：光線透過空氣中的平行平面厚玻璃板，問下圖8—9所示四種情形中，哪一種是正確的？解析：根據光的折射定律，光由光疏介質進入光密介質時，光線要向著法線的方向偏析，相反時，向遠離法線的方向偏折，且在傳播中光路是可逆的。由上分析可知，B圖是正確的。例10：某人通過焦距為10cm，直徑為4.0cm的薄凸透鏡觀看方格紙，每個方格的邊長為0.3cm。他使透鏡的主軸與方格紙垂直AB，透鏡與紙面相距10cm，眼睛位于透鏡主軸上離透鏡5.0cm處。問他至多能看到同一行上幾個完整的方可格？解析：可以用光路的可逆性來做，若在S點放一點光源，則成像于S′點，能照亮方格紙上一定面積，其直徑為x，如圖8—10所示，根據光路的可逆性，來自面積x上的方格的光經透鏡折射后都能進入人眼，即能被人看到。由+=可得：p′=－10cm由相似三角形對應邊成比例得：=，所以x=8cm，格數n===26.7即最多能看到同一行上26個完整的方格。例11：凸透鏡L1與凹透鏡L2同軸放置，L1左側媒質的折射率n，L2右側媒質的折射率也是n，兩透鏡之間的價質折射率為n0，且n＜n0。F1是L1的物方焦點，F2是L2的物方焦點，是L2的像方焦點。有一物點S位于L1的物方焦平面上，如圖8—11所示。（1）畫出成像光路圖，求出像點S1的位置。簡述作圖的依據；（2）若L1的物方焦距f1=20厘米，L2的物方焦距f2=10厘米，物點S離光軸的距離為2厘米，問像點S1離光軸的距離為多少？解析：放于焦平面上的點光源發出的光經凸透鏡折射后平行于副光軸，平行于副光軸的平行光經凹透鏡發散后，反向延長線將交一凹透鏡的副焦點，光路圖如圖8—11—甲所示。（1）作法：①過S作過光心O點的光線，傳播方向不改變；②過O′點作平行于SO的輔助線及過F2作垂直于主軸的直線（焦平面），兩線相交于S1（副焦點）。平行于副光軸的光線，經凹透鏡折射后，折射線的反向延長線將通過S1點，即S1為所求的像點。（2）由圖可知：=，所以：=1cm即S1離主光軸的距離為1cm。針對訓練1．如圖8—12所示，一個重為G的勻質球，放在光滑的斜面上，斜面傾角為α，在斜面上有一光滑的斜木板擋住球處于靜止狀態。如果擋板與斜面間的夾角β緩慢增大到擋板呈水平狀態，此過程中擋板對球的彈力N1和斜面對球的彈力N2如何變化？2．一重為G的物塊放在傾角為α的斜面上，物塊與斜面間的摩擦因數為μ，今在物塊上的作用力為F，F可與斜面成任意夾角，如圖8—13所示，求拉動物塊沿斜面上升所需力F的最小值及對應的θ角。3．如圖8—14所示，小環m1、m2能沿著一輕繩光滑地滑動，繩的兩端固定于直桿AB的兩端，桿與水平線成角度θ。在此桿上又套一輕小環，繩穿過輕環，并使m1、m2在其兩邊，設環與直桿的接觸是光滑的，當系統平衡時，直桿與輕環兩邊的繩夾角為φ，試證明：=。4．一條在湖面上以恒定速度行駛的船上，有一與船固定的豎直光滑墻壁。有一個小球沿水平方向射到墻上。相對于岸，小球的速度大小為v1，方向與墻的法線成60°角，小球自墻反彈時的速度方向正好與小球入射到墻上時的速度方向垂直。問船的速度應滿足什么條件。設小球與墻壁的碰撞是完全彈性的。5．F=400N的力拖著小船，使它沿著河中心線運動。現甲、乙兩人在河兩岸共同拖船，已知甲拉力的方向與河中心線的夾角為30°，要使兩人共同產生的效果與F單獨作用的效果相同，乙拉力的最小值應為多少？方向如何？6．如圖8—15所示，一儲油圓桶，底面直徑與桶高均為d。當桶內無油時，從某點A恰能看到桶底邊緣上的某點B。當桶內油的深度等于桶高一半時，在A點沿AB方向看去，看到桶底上的C點，C、B相距。由此可得油的折射率n=；光在油中傳播的速度v=m/s（結果可用根式表示）。7．要在一張照片上同時拍攝物體正面和幾個不同側面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡AO和BO，使物體和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照相機，如圖8—16所示。圖中帶箭頭的圓圈P代表一個人的頭部，白色半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發；箭頭表示頭頂上的帽子。圖8—16甲為俯視圖。若兩平面鏡的夾角∠AOB=72°，設人頭的中心恰好位于角平分線OC上，且照相機到人的距離遠大于人到平面鏡的距離。（1）試在圖8—16甲畫出P的所有的像的位置并用空白和斜線分別表示人臉和頭發，以表明各個像的方位。（2）在圖8—16乙的方框中畫出照片上得到所有的像（分別用空白和斜線表示人臉和頭發，用箭頭表示頭頂上的帽子）。8．圖8—17中所示是一潛望鏡殼體的示意圖。MN為光線的入口。在上方AB處已放置一塊與紙面垂直的平面鏡，它和與紙面垂直的豎直面之間的夾角為45°。眼睛在觀察孔S處觀察，在CD（與垂直面的夾角也是45°）處放置一塊平面鏡。今要使觀察到的視場不受CD處的平面鏡的限制，則平面鏡CD至少要有多大的線度才行？要求直接在圖上用作圖法畫出即可，但要說明作圖的步驟。9．圖8—18中MN是薄透鏡的主軸，S是發光點，S′是它的像點。（1）用作圖法求出薄透鏡的位置，標在圖上；（2）分別作光路圖求出兩個焦點的位置，標在圖上。再標明透鏡的類別。10．如圖8—19所示，某人的眼睛在E處通過放大鏡L觀察標尺M，F1和F2為L的焦點。他既能通過L看到M上的一部分刻度，又能直接從鏡外看到一部分刻度值的范圍。在作圖進用①、②、…標明你畫的光線，并寫出作圖步驟。11．如圖8—20所示，凸透鏡L的主軸與x軸重合，光心O就是坐標原點，凸透鏡的焦距為10厘米。有一平面鏡M放在y=－2厘米、x＞0的位置，眼睛從平面鏡反射的光中看到光點A的像位于A2處，A2的坐標見圖。（1）求出此發光點A的位置；（2）寫出用作圖法確定A的位置的步驟并作圖。12．一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀，現在其凸面一側距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上，如圖8—21所示。（1）用作圖法畫出物經鍍銀透鏡所成的像，并標明該像是虛、是實；（2）用計算法求出此像的位置和大小。13．焦距均為f的兩個凸透鏡L1、L2與兩個平面鏡M1、M2放置在如圖8—22所示的位置。兩透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過兩平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源O。（1）畫出由光源向右的一條光線OA，在此光學系統中的光路；（2）分別說出由光源向右發出的光線和向左發出的光線各在哪些位置（O點除外）？形成光源O的能看到的像，哪些是實像？哪些是虛像？14．已知兩透鏡組合系統如圖8—23所示，物經整個系統成像，像的位置大小如圖所示。試用作圖法求物經L1所成的像的位置與大小，作出L1的焦點及系統的焦點位置。說明L1和L2是什么透鏡？15．有兩個焦距分別為f1和f2的凸透鏡，如果把這兩個透鏡做適當的配置，則可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖8—24所示，試求出滿足上述要求的配置方案中各透鏡的位置。參考答案1、N1先減小后增大，N2減小。2、F=(sinα+μcosα)，θ=arctanμ3、證明過程略。4、船的行駛速度必須有沿y方向的分速度，亦即具有沿墻壁平面法線方向的分速度，其大小為v1，而沿x方向的分速度不受限制，可取包括零在內的任意值。5、200N，方向與河中心線夾角60°6、，×1087、（1）如圖所示——8、①先作出MN在AB鏡中的虛像M′N′；②再作出眼睛在CD處鏡中的虛像S′；③將S′與M′N′相連，與CD面交于C′D′處。C′D′即為所求的結果。9、如圖所示——10．（1）作放大鏡L端點和E點的連線并交M于A點；（2）過L中心點作LE線的平行線OO′；（3）過F1作垂直于主光軸的直線（焦平面）交OO′直線于B點；（4）連接BL交M于C點；（5）作A、B、C三點關于主光軸對稱點，可通過作圖得A′、B′、C′。可見AA′以外的刻度可直接看到，CC′之間的刻度可通過放大鏡L看到，AC、A′C′之間的刻度無法看到。11、（1）x=－5cm，y=4cm；（2）略。12、（1）如圖所示——提示：（1）平凸薄透鏡平面上鍍銀后構成一個由會聚透鏡L和與它密接的平面鏡M的組合LM，圖中O為L的光心O，AOF′為主軸，F和F′為L的兩個焦點，AP為物，作圖時利用了三條特征光線。（2）在透鏡左方距離f處，大小為H。13、（1）如圖所示——（2）向右發出的光線：處成實像；右方無限處成虛像，F2處成實像；P處（M1左方處主軸上）成虛像。向左發出的光線：F1處成實像；左方無窮遠處成虛像；F′處成實像；Q處（M2右方處主軸上）成虛像。14、略。15、略。二、隔離法方法簡介 隔離法就是從整個系統中將某一部分物體隔離出來，然后單獨分析被隔離部分的受力情況和運動情況，從而把復雜的問題轉化為簡單的一個個小問題求解。隔離法在求解物理問題時，是一種非常重要的方法，學好隔離法，對分析物理現象、物理規律大有益處。賽題精講例1：兩個質量相同的物體1和2緊靠在一起放在光滑水平桌面上，如圖2—1所示，如果它們分別受到水平推力F1和F2作用，且F1＞F2，則物體1施于物體2的作用力的大小為（）A．F1 B．F2C．D．解析：要求物體1和2之間的作用力，必須把其中一個隔離出來分析。先以整體為研究對象，根據牛頓第二定律：F1－F2=2ma①再以物體2為研究對象，有N－F2=ma ②解①、②兩式可得N=，所以應選C例2：如圖2—2在光滑的水平桌面上放一物體A，A上再放一物體B，A、B間有摩擦。施加一水平力F于B，使它相對于桌面向右運動，這時物體A相對于桌面（）A．向左動 B．向右動C．不動 D．運動，但運動方向不能判斷解析：A的運動有兩種可能，可根據隔離法分析設AB一起運動，則：a=AB之間的最大靜摩擦力：fm=μmBg以A為研究對象：若fm≥mAa，即：μ≥F時，AB一起向右運動。若μ＜F，則A向右運動，但比B要慢，所以應選B例3：如圖2—3所示，已知物塊A、B的質量分別為m1、m2，A、B間的摩擦因數為μ1，A與地面之間的摩擦因數為μ2，在水平力F的推動下，要使A、B一起運動而B不至下滑，力F至少為多大？解析：B受到A向前的壓力N，要想B不下滑，需滿足的臨界條件是：μ1N=m2g。設B不下滑時，A、B的加速度為a，以B為研究對象，用隔離法分析，B受到重力，A對B的摩擦力、A對B向前的壓力N，如圖2—3甲所示，要想B不下滑，需滿足：μ1N≥m2g，即：μ1m2a≥m2g，所以加速度至少為a=再用整體法研究A、B，根據牛頓第二定律，有：F—μ2(m1+m2)g=(m1+m2)g=(m1+m2)a所以推力至少為：F=(m1+m2)(+μ2)g例4：如圖2—4所示，用輕質細繩連接的A和B兩個物體，沿著傾角為α的斜面勻速下滑，問A與B之間的細繩上有彈力嗎？解析：彈力產生在直接接觸并發生了形變的物體之間，現在細繩有無形變無法確定。所以從產生原因上分析彈力是否存在就不行了，應結合物體的運動情況來分析。隔離A和B，受力分析如圖2—4甲所示，設彈力T存在，將各力正交分解，由于兩物體勻速下滑，處于平衡狀態，所以有：mgAsinα=T+fA①mgBsinα+T=fB②設兩物體與斜面間動摩擦因數分別為μA、μB，，則：fA=μANA=μAmAgcosα③fB=μBNB=μBmBgcosα④由以上①②③④可解得：T=mAg(sinα—μAcosα)和T=mBg(μBcosα—sinα)若T=0，應有：μA=tanα，μB=tanα由此可見，當μA=μB時，繩子上的彈力T為零。若μA≠μB，繩子上一定有彈力嗎？我們知道繩子只能產生拉力。當彈力存在時，應有：T＞0，即：μA＜tanα，μB＞tanα所以只有當μA＜μB時繩子上才有彈力。例5：如圖2—5所示，物體系由A、B、C三個物體構成，質量分別為mA、mB、mC。用一水平力F作用在小車C上，小車C在F的作用下運動時能使物體A和B相對于小車C處于靜止狀態。求連接A和B的不可伸長的線的張力T和力F的大小。（一切摩擦和繩、滑輪的質量都不計）解析：在水平力F作用下，若A和B能相對于C靜止，則它們對地必有相同的水平加速度。而A在繩的張力作用下只能產生水平向右的加速度，這就決定了F只能水平向右，可用整體法來求，而求張力必須用隔離法。取物體系為研究對象，以地為參考系，受重力(mA+mB+mC)g，推力F和地面的彈力N，如圖2—5甲所示，設對地的加速度為a，則有：F=(mA+mB+mC)a①隔離B，以地為參考系，受重力mBg、張力T、C對B的彈力NB，應滿足：NB=mBa，繩子的張力T=mBg②隔離A，以地為參考系，受重力mAg，繩的張力T，C的彈力NA，應滿足；NA=mAg③T=mAa④當繩和滑輪的質量以及摩擦都不計時，由②、④兩式解出加速度：a=g代入①式可得：F=例6：如圖2—6所示，一根輕質彈簧上端固定，下端掛一質量為m0的平盤，盤中有一物體質量為m，當盤靜止時，彈簧的長度比其自然長度伸長了L，今向下拉盤，使彈簧再伸長ΔL后停止。然后松手放開，設彈簧總處在彈性限度以內，則剛松開手時盤對物體的支持力等于（）A．(1+)mg B．(1+)(m+m0)gC．mgD．(m+m0)g解析：確定物體m的加速度可用整體法，確定盤對物體的支持力需用隔離法。選整體為研究對象，在沒有向下拉盤時有：KL=(m+m0)g①在向下拉伸ΔL又放手時有：KΔL=(m+m0)a②再選m為研究對象：FN－mg=ma③解得：FN=(1+)mg應選A。此題也可用假設法、極限法求解。例7：如圖2—7所示，AO是質量為m的均勻細桿，可繞O軸在豎直平面內自動轉動。細桿上的P點與放在水平桌面上的圓柱體接觸，圓柱體靠在豎直的擋板上而保持平衡，已知桿的傾角為θ，AP長度是桿長的，各處的摩擦都不計，則擋板對圓柱體的作用力等于。解析：求圓柱體對桿的支持力可用隔離法，用力矩平衡求解。求擋板對圓柱體的作用力可隔離圓柱體，用共點力的平衡來解。以桿為研究對象，受力如圖2—7甲所示，根據力矩平衡條件：mgcosθ=Fl，解得：F=mgcosθ。根據牛頓第三定律，桿對圓柱體的作用力與F大小相等，方向相反，再以圓柱體為研究對象，將力F正交分解，如圖2—7—乙，在水平方向有：mgcosθsinθ=mgsin2θ即擋板對圓柱體的作用力為mgsin2θ。例8：如圖2—8所示，質量為m的小球被兩個勁度系數皆為k的相同彈簧固定在一個質量為M的盒中，盒從h高處（自桌面量起）開始下落，在盒開始下落的瞬間，兩彈簧未發生形變，小球相對盒靜止，問下落的高度h為多少時，盒與桌面發生完全非彈性碰撞后還能再跳起來。解析：盒下落過程可用整體法研究，下落后彈簧的形變情況應用隔離小球研究，盒起跳時可隔離盒研究。在盒與桌面發生碰撞之前，小球僅受重力作用，著地時速度為：v=。碰撞后盒靜止，球先壓縮下面的彈簧，同時拉上面的彈簧，當小球向下的速度減為零后，接著又向上運動，在彈簧原長位置上方x處，小球的速度又減為0，則在此過程中，對小球有：mv2=mgx+2kx2把盒隔離出來，為使盒能跳起來，需滿足：2kx＞Mg，代入上式可解得：h=(1+)例9：如圖2—9所示，四個相等質量的質點由三根不可伸長的繩子依次連接，置于光滑水平面上，三根繩子形成半個正六邊形保持靜止。今有一沖量作用在質點A，并使這個質點速度變為u，方向沿繩向外，試求此瞬間質點D的速度。解析：要想求此瞬間質點D的速度，由已知條件可知得用動量定理，由于A、B、C、D相關聯，所以用隔離法，對B、C、D分別應用動量定理，即可求解。以B、C、D分別為研究對象，根據動量定理：對B有：IA－IBcos60°=mBu①IAcos60°－IB=mBu1②對C有：IB－IDcos60°=mCu1③IBcos60°－ID=mcu2④對D有：ID=mDu2⑤由①~⑤式解得D的速度：u2=u例10：有一個兩端開口、粗細均勻的U形玻璃細管，放置在豎直平面內，處在壓強為p0的大氣中，兩個豎直支管的高度均為h，水平管的長度為2h，玻璃細管的半徑為r，且rh。今將水平管內灌滿密度為ρ的水銀，如圖2—10所示。1．如將U形管兩個豎直支管的開口分別密封起來，使其管內空氣壓強均等于大氣壓強，問當U形管向右做勻加速移動時，加速度應為多大時才能使水平管內水銀柱的長度穩定為h？2．如將其中一個豎直支管的開口密封起來，使其管內氣體壓強為1個大氣壓。問當U形管繞以另一個豎直支管（開口的）為軸做勻速轉動時，轉數n應為多大才能使水平管內水銀柱的長度穩定為h（U形管做以上運動時，均不考慮管內水銀液面的傾斜）解析：如圖2—10—甲所示，U形管右加速運動時，管內水銀柱也要以同樣加速度運動，所以A管內氣體體積減小、壓強增大，B管內氣體體積增大、壓強減小，水平管中液體在水平方向受力不平衡即產生加速度。若U形管以A管為軸勻速轉動時，水平部分的液體也要受到水平方向的壓力差而產生向心加速度。1．當U形管以加速度a向右運動時，對水平管中水銀柱有：F1－F2=ma，即：(pA+ρg)S－pBS=hSρa①對A中氣體有：p0hS=pA(h－)S，解得：pA=p0②對B中氣體有：p0hS=pB(h+)S，解得：pB=p0③將②、③式代入①式可得：a=圖2－10－乙2．如圖2—10—乙，若U形管以A管為軸勻速轉動時，對水平管中水銀柱有：F2—F1=ma。若轉速為n，則有：(pB′+ρg)S－p0S=m(2πn)2h①對B中氣體有：p0hS=pB′(h－)S，解得：pB′=p0②將②式代入①式可解得轉速：n=例11：如圖2—11所示，一個上下都與大氣相通的豎直圓筒，內部橫截面的面積S=0.01m2，中間用兩個活塞A與B封住一定質量的理想氣體，A、B都可沿圓筒無摩擦地上、下滑動，但不漏氣，A的質量可不計，B的質量為M，并與一倔強系數k=5×103N/m的較長的彈簧相連。已知大氣壓強p0=1×105Pa，平衡時，兩活塞間的距離l0=0.6m。現用力壓A使之緩慢向下移動一定距離后，保持平衡，此時，用于壓A的力F=5×102N。求活塞A向下移動的距離。（假定氣體溫度保持不變。）解析：活塞A下移的距離應為B下降的距離與氣體長度的減小量之和，B下降的距離可用整體法求解。氣體長度的變化可隔離氣體來求解。選A、B活塞及氣體為研究對象，設用力F向下壓A時，活塞B下降的距離為x，則有：F=kx①選氣體為研究對象，據玻意耳定律有：p0l0S=(p0+)lS②解①②兩式可得：x=0.1m，l=0.4m則活塞A下移的距離為：y=0.1+0.6—0.4=0.3m例12：一個密閉的氣缸，被活塞分成體積相等的左右兩室，氣缸壁與活塞是不導熱的，它們之間沒有摩擦，兩室中氣體的溫度相等，如圖2—12所示，現利用右室中的電熱絲對右室中的氣體加熱一段時間，達到平衡后，左室的體積變為原來體積的，氣體的溫度T1=300K。求右室中氣體的溫度。解析：可隔離出A、B兩部分氣體，用理想氣體狀態方程求解。設原來兩室中氣體的壓強都為p，溫度都為T，體積都為V，對左邊氣體有：=①對右邊氣體有：=②①、②兩式相比，可得右室中氣體溫度T2=T1=500K例13：如圖2—13所示，封閉氣缸的活塞被很細的彈簧拉著，氣缸內密封一定質量的氣體，當溫度為27℃時，彈簧的長度為30cm，此時缸內氣體的壓強為缸外大氣壓的1.2倍，當氣溫升到123℃時，彈簧的長度為36cm，求彈簧的原長。解析：本題所研究的對象就是密封在氣缸內的一定質量的氣體，氣體所處的初態為：T1=300K、V1=SL1、（S為氣缸橫截面積，L1為彈簧長度）p1=p0+=1.2P0，末態為T2=396K、V2=SL2、p2=p0+（p0為大氣壓強，F1、F2為彈簧的彈力）。氣體從初態過渡到末態時質量恒定，所以可利用狀態方程求解：將上述各狀態參量代入狀態方程：=解得：p2=1.1p1=1.32p0由于彈力產生的壓強等于氣缸內外氣體的壓強差，所以：=p1—p0=0.2p0①=p2—p0=0.32p0②聯立①、②式得：ΔL2=1.6ΔL1即：L2—L0=1.6(L1—L0)解得彈簧的原長為L0=20cm例14：一個由絕緣細細構成的鋼性圓形軌道，其半徑為R，此軌道水平放置，圓心在O點，一個金屬小珠P穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地滑動，小珠P帶電荷Q。已知在軌道平面內A點（OA=r＜R）放有一電荷q。若在OA連線上某一點A1放電荷q1，則給小珠P一個初速度，它就沿軌道做勻速圓周運動，求A1點的位置及電荷q1之值。解析：小珠P雖沿軌道做勻速圓周運動，但受力情況并不清楚，因此不能從力的角度來解決，可以從電勢的角度來考慮，因為小珠P沿軌道做勻速圓周運動，說明小珠只受法向的電場力。由此可知，電場力對小珠P做功為零，根據W=qU可知，圓軌道上各點電勢相等，根據題意作圖如圖2—14，設A1點距圓形軌道的圓心O為r1，A點放的電荷q距圓心為r，由此得：=①=②解①、②兩式可得：A1點的位置距圓心O的距離為r1=，所帶電量q1=q例15：如圖2—15所示，兩個電池組的電動勢ε1=ε2=3V，每節電池的內阻均為0.5Ω，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=1.8Ω，求通過R1、R2、R3的電流及兩個電池組的端電壓各是多少？解析：解此題時，可采用與力學隔離法相似的解法，即采用電路隔離法。氣體從初態過渡到末態時質量恒定，所以可利用狀態方程求解。先將整個電路按虛線劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個部分，則有：UAB=ε1—I1(R1+2r)①UAB=ε2—I2(R2+2r)②UAB=I3R3③I1+I2=I3④聯立①②③④四式解得：I1=0.6A，I2=0.4A，I3=1A，電池組ε的端電壓U1=2.4V，電池組ε2的端電壓U2=2.6V。例16如圖2—16所示，兩根相互平行的間距L=0.4m的金屬導軌水平放在B=0.2T的勻強磁場中，磁場垂直于導軌平面，導軌上的滑桿ab、cd所受摩擦力均為0.2N，兩桿電阻均為0.1Ω，導軌電阻不計。當ab受到恒力F作用時，ab以v1做勻速運動，cd以v2做勻速運動，求通過ab桿的電流強度的大小和方向。解析要求通過ab桿的電流強度，應通過ab桿受的安培力求解，這就需要隔離出ab桿進行受力分析。以ab桿為研究對象，因右手定則確定電流的方向為b→a，受力如圖2—6—甲所示。因為ab桿勻速運動處于平衡狀態，故有：F=f+BIL再以滑桿ab、cd整體作為研究對象，受力如圖2—16—乙所示，因為ab、cd均做勻速運動，受力平衡，故有：F=2f=0.4N代入上式，解得通過ab桿的電流為：I==2.5A所以通過ab桿的電流的大小為2.5A，方向b→a。針對訓練1．質量為8kg的木塊m放在質量為16kg的木板M上，并通過滑輪用細繩連接，如圖2—17所示，M與m間，M與水平地面間的動摩擦因數μ均為0.25，滑輪摩擦不計。欲使M向勻速運動，水平拉力應為多大？（g取10m/s2）2．在水平面上有兩個物體A和B，它們之間用不可伸縮的質量不計的細繩連接起來，其中mA=3kg，mB=2kg，它們與地面間的動摩擦因數μ=0.1。如圖2—18所示，今用一與水平方向成37°角、大小為10N的恒力拉B，使AB一起向右做勻加速直線運動，試求A對B的拉力。（g取10m/s2）3．如圖2—19所示，小物體m放在大物體M上，M系在固定于墻上的水平彈簧的另一端，并置于光滑水平面上，若彈簧的勁度系數為k，將M向右拉離平衡位置x后無初速度釋放，在以后的運動中M與m保持相對靜止，那么m在運動中受到的最大和最小摩擦力分別為多大？4．電梯內有一個物體，質量為m，用細線掛在電梯的天花板上，當電梯以的加速度豎直加速度豎直加速下降時（g為重力加速度），細線對物體的拉力為（）A．mg B．mgC．mg D．mg5．兩物體A和B，質量分別為m1和m2，互相接觸放在光滑水平面上，如圖2—20所示，對物體A施以水平的推力F，則物體A對物體B的作用力等于（）A．F B．FC．FD．F6．在光滑水平面上有一木板，一木棒A、B可沿水平軸O轉動，其下端B擱在木板下，而整個系統處于靜止狀態（如圖2—21所示）。現在用水平力F向左推木板，但木板仍未動。由此可以得出結論：施力F后，木板和木棒之間的正壓力（）A．變大 B．不變 C．變小 D．條件不足，不能判斷如何改變7．如圖2—22所示，兩木塊的質量分別為m1和m2，兩輕質彈簧的勁度系數分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個系統處于平衡狀態。現緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面彈簧，在這過程中下面木塊移動的距離為（）A． B． C． D．8．如圖2—23，質量為2m的物塊A與水平地面的摩擦可忽略不計，質量為m的物塊B與地面的摩擦系數為μ。在已知水平推力F的作用下，AB做加速運動，A對B的作用力為。9．如圖2—24所示，兩塊木塊A和B，質量分別為mA和mB，緊挨著并排在水平桌面上，AB間的接觸面垂直于圖中紙面且與水平面成θ角。A、B間的接觸面是光滑的，但它們與水平桌面間有摩擦，靜摩擦系數和滑動摩擦系數均為μ。開始時A、B都靜止，現施一水平推力F于A。要使A、B向右加速運動且A、B之間不發生相對滑動，則（1）μ的數值應滿足什么條件？（2）推力F的最大值不能超過多少？（只考慮平動，不考慮轉動問題）10．系統如圖2—25所示，滑輪與繩的質量忽略，繩不可伸長。設系統所有部位都沒有摩擦，物體B借助導軌（圖中未畫出來）被限定沿物體C的右側面運動，試求物體C的運動加速度。11．質量分別為m1、m2和m3的三個質點A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長的柔軟的輕繩AB和BC連接，∠ABC為π－α，α為一銳角，如圖2—26所示，今有一沖量為I的沖擊力沿BC方向作用于質點C，求質點A開始運動時的速度。12．如圖2—27所示，四個質量均為m的質點，用同樣長度且不可伸長的輕繩連結成菱形ABCD，靜止放在水平光滑的桌面上。若突然給質點A一個力時極短沿CA方向的沖擊，當沖擊結束的時刻，質點A的速度為V，其他質點也獲得一定的速度，∠BAD=2α（α＜）。求此質點