2025屆福建省順昌一中數學高二上期末質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．若函數在上有且僅有一個極值點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.3．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件4．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發布中國共產黨成立100周年慶?；顒訕俗R（圖1），標識由黨徽、數字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現中國共產黨團結帶領中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為的相交大圓，分別內含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區域內隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知實數x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.18．已知數列為等比數列，則“，”是“為遞減數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.10．某學生2021年共參加10次數學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數； D.，，，…，的眾數；11．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點，直線與雙曲線的右支交于點，點恰好為線段的三等分點(靠近點)，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.12．若直線與曲線只有一個公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______14．已知圓C：和點，若點N為圓C上一動點，點Q為平面上一點且，則Q點縱坐標的最大值為______15．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉一周，所得的圓柱體積為________.16．圓關于直線對稱的圓的方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，.（1）當時，求AB；（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍.18．（12分）設數列是公比為正整數的等比數列，滿足，，設數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（3）已知數列，設，求數列的前項和.19．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側），C的準線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點20．（12分）已知函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍21．（12分）為深入學習貫徹總書記在黨史學習教育動員大會上的重要講話精神和中共中央有關決策部署，推動教育系統圍繞建黨百年重大主題，深化中學在校師生理想信念教育，引導師生學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行，以昂揚的狀態迎接中國共產黨建黨周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學開展了一場黨史知識競賽．為了解本次知識競賽的整體情況，隨機抽取了名學生的成績作為樣本進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識競賽成績的第50百分位數（精確到0.1）；（2）已知該樣本分數在的學生中，男生占，女生占現從該樣本分數在的學生中隨機抽出人，求至少有人是女生的概率.22．（10分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A2、C【解析】根據極值點的意義,可知函數的導函數在上有且僅有一個零點.結合零點存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數則因為函數在上有且僅有一個極值點即在上有且僅有一個零點根據函數零點存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點睛】本題考查了函數極值點的意義,函數零點存在定理的應用,屬于中檔題.3、B【解析】根據充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.4、A【解析】因為直線和直線垂直，所以或，再根據充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為“直線和直線垂直，所以或.當時，直線和直線垂直；當直線和直線垂直時，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A5、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B6、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B7、A【解析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當直線過直線的交點時取最大值，即故選：8、A【解析】本題可依次判斷“，”是否是“為遞減數列”的充分條件以及必要條件，即可得出結果.【詳解】若等比數列滿足、，則數列為遞減數列，故“，”是“為遞減數列”的充分條件，因為若等比數列滿足、，則數列也是遞減數列，所以“，”不是“為遞減數列”的必要條件，綜上所述，“，”是“為遞減數列”的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數列以及遞減數列的相關性質，體現了基礎性和綜合性，考查推理能力，是簡單題.9、D【解析】利用指數函數的單調性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結合復合命題的真假可判斷出各選項中命題的真假.【詳解】對于命題，由于函數為上的增函數，當時，，命題為真命題；對于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點睛】本題考查簡單命題和復合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎題.10、B【解析】根據平均數、標準差、中位數及眾數的概念即得.【詳解】根據平均數、中位數、眾數的概念可知，平均數、中位數、眾數描述數據的集中趨勢，標準差描述數據的波動大小估計數據的穩定程度.故選：B.11、C【解析】設，，根據雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設，則，由雙曲線的定義可得：，，因為點在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題12、D【解析】根據曲線方程的特征，發現曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據圖形上直線的三個特殊位置，當已知直線位于直線位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應的的值；當已知直線位于直線及直線的位置時，分別求出對應的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點；當直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時，當直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時，則當時，直線與曲線只有一個公共點，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應用余弦定理有，再由三角形內角性質及同角三角函數平方關系求，根據基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：14、【解析】設出點N的坐標，探求出點Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠的點的縱坐標表達式，借助函數最值計算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點M在圓C上，設點，則，線段MN中點，因，則點Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點M，N外)，這個軌跡在x軸上方，于是得這個軌跡上的點到x軸的最大距離為：令，于是得，當，即時，，所以Q點縱坐標的最大值為.故答案為：【點睛】結論點睛：圓上的點到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.15、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：16、【解析】求出圓心關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題18、（1）（2）證明見解析，（3）【解析】（1）根據等比數列列出方程組求解首項、公比即可得解；（2）化簡后得，可證明數列是等差數列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯位相減法求出數列的和.【小問1詳解】設公比為，由條件可知，，所以；【小問2詳解】，又，所以，所以數列是以為首項，為公差等差數列，所以，所以.【小問3詳解】，,兩式相減可得，，.19、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線l的方程，與拋物線方程聯立，根據一元二次方程的根與系數關系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準線方程為，設直線l的方程為：，與拋物線方程聯立，得，不妨設，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【點睛】關鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵.20、（1）的減區間為，增區間為（2）【解析】（1）利用導數求得的單調區間.（2）利用分離參數法，結合構造函數法以及導數求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，所以在區間遞減；在區間遞增.所以的減區間為，增區間為.【小問2詳解】，恒成立.構造函數，，，構造函數，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數的定義求出知識競賽成績的第50百分位數；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數，利用古典概型求概率.【小問1詳解】，由，解得設該次知識競賽成績的第50百分位數為x，則，解得：.即該次知識競賽成績的第50百分位數為【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：分數在）的人數有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有