七年級數學下期期末復習提綱

第六章一元一次方程

一、基本概念

(一)方程的變形法則

法則1:方程兩邊都或同一個數或同一個,方程的解不變。

例如：在方程7-3x=4左右兩邊都減去7,得到新方程：-3x+3=4-70

在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上4x,得到新方程：8x=-6。

移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移動到另一邊，這樣的變形叫

做移項，注意移項要變號。

例如：(1)將方程x-5=7移項得：x=7+5即x=12

(2)將方程4x=3x—4移項得：4x—3x=-4即x=-4

法則2方程兩邊都除以或同一個的數，方程的解不變。

2

例如：(1)將方程-5x=2兩邊都除以-5得：x=-1

(2)將方程7x=-兩邊都乘以上得：x=-

2339

這里的變形通常稱為“將未知數的系數化為1”。

注意：

(1)如遇未知數的系數為整數，“系數化為1”時，就要除以這個整數：如遇到未

知數的系數為分數，“系數化為1”時，就要乘以這個分數的倒數。

(2)不論上一乘以或除以數時，都要注意結果的符號。

方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數的值，叫做方程的解。

求不方程的解的過程，叫做解方程。

(二)一元一次方程的概念及其解法

1.定義：只含有一個未知數,并且含有未知數的式子都是,未知數的次數

麥,這樣的方程叫做一元一次方程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。

1

而這些方程5x2—3x+1=0、2x+y=|-3y、=5就不是一元一次方程。

-X-I

2.一元一次方程的一般式為：ax+b=O（其中a、b為常數，且a/0）

一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數，且aWO）

3.解一元一次方程的一般步驟

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數化為1。

注意：（1）方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括

號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。

（2）“去分母”指去掉方程兩邊各項系數的分母；去分母時，要求各分母的最小公

倍數，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以

最小公倍數（即公分母）

（三）一元一次方程的應用

1.純數學上的應用：（1）一元一次方程定義的應用；（2）方程解的概念的應用；（3）

代數中的應用；（4）公式變形等。

2.實際生活上的應用：（1）調配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）面積問題等。

3.探索性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯系，但也有區別，有時是一種沒有

結論的問題，需栗你給出結論并解答。

二、練習

1.下列各式哪些是一元一次方程。

小x-人,小2x+3x-1

（1）一+1=3x—4（2）----=----⑶——x=o

252

（4）--2x=0（5）3x-y=I十2y

X

(⑴、(2)、(3)都是一元一次方程，⑷、(5)不是一元一次方程)

2.解下列方程。

(1)-(x-3)=2--(x-3)

22

⑵—[―(―x—3)——]=1—x

45225

注意認真審題，方程的結構特點。選用簡便方法。

第⑴小題，可以先去括號，也可以先去分母，還可以把X-3看成一個整體，

解關于x-3的方程。

1313

方法一：去括號，得一x——-2——x+—

2222

I|33

移項，得-x+-x=2+-+-

2222

合并同類項，得x=5

方法二：去分母，得x-3=4一x+3

(強調等號右邊的“2”也要乘以2,而且不要弄錯符號)

移項，得x+x=4+3+3

合并同類項，得2x=10

系數化為1,得x=5

方法三：移項-(x-3)+-(x—3)=2

22

即x-3=2

x=5

第(2)小題有雙重括號，一般情況是先去小括號，再去中括號，但本題結構特殊，

應先去中括號簡便，注意去中括號時，要把小括號看作一個整體，中括號里先看成2

項。

解：去中括號，得dx—3)-2x'=1-X

2425

即一x-3一一=1-x

25

移項，得-x+x=1+3+-

321

合并同類項，得

25

14

系數化為1,得x=]

也可以讓學生先去小括號，讓他們對兩種解法進行比較。

3.解方程。

x5x+ll,2%-4

0.330.02

解：(1)去分母，得3x-(5x+11)=6+2(2x-4)

去括號，得31—5x—11=6+4x—8

移項，得3x—5x—4x=6—8十11

合并同類項，得—6x=9

3

系數化為I,得x=--

2

點撥：去分母時注意事項，右邊的“1”別忘了乘以6,分數線有兩層含義，去

掉分數線時，要添上括號。

(2)先利用分數的基本性質，將分母化為整數。

10-5x

原方程化為

去分母，得2(10—5x)—4x=90x+6

去括號，得20-IOx-4x=90x+6

移項，得一IOx—4x-90x=6—20

合并同類項，得一104x=-14

7

系數化為1,得x=—

52

點撥：“將分母化為整數”與“去分母”的區別。本題去分母之前，也可以先將方

程右邊的3302r約分后再去分母。

2

4.解方程。

⑴I5x-2|=3

分析：（1）把5x-2看作一個數a,那么方程可看作Ia|=3,根據絕對值的意義

得a=3或a=-3

（2）把L1-上2r看作一個數，或把IL1-T2xI化成IL1-三2x|

333

解：（1）根據絕對值的意義，原方程化為：

5x-2=3或5x-2=-3

解方程5x—2=3得x=l

解方程5x—2=-3得x=一1

所以原方程解為：X=1或X=—L

5

（2）根據絕對值的意義，原方程可化為

1—2x.v1-2x.

=1或=—1

3---------3

解方程L1_三?r口得x二一1

3

1-2x

解方程L三=-1得x=2

3

所以原方程的解為x=-1或x=2

5.已知，|a—3|+(b十I)?=o,代數式"一"+的值比—a十m多

22

1,求m的值。

9

解：因為Ia-3|(b+1)20

9

又la-3|+(b十1)=0

AIa-3|=0且(b+1)2=0

：.a-3=0b十l=0

即a=3b=—1

把a=3,b=-1分別代人代數式2b-a+mlb-a+m

22

p2(—1)—3+根_根—5

得-----------------

22

—X(-1)-3+m--3—+m

22

根據題意，得二二0一(一3,十m)=l

22

去括號得—~~-+3—-m=1

22

m=0

6.m為何值時，關于x的方程4x—2m=3x+1的解是x=2x—3m的2倍。

解：關于；的方程4x—2m=3x+1,得x=2m+1

解關于x的方程x=2x—3m得x=3m

???根據題意，得2m+l=2X3m

解之，得m=-

4

7.為了準備小勇6年后上大學的學費5000元，他的父母現在就參加了教育儲蓄，

下面有兩種儲蓄方式。

(1)直接存一個6年期，年利率是2.88%;

(2)先存一個3年期的，3年后將本利和自動轉存一個3年期。3年期的年利率

是2.7%。

你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少？

分析：栗解決“哪種儲蓄方式開始存入的本金較少”，只要分別求出這兩種儲蓄

方式開始存入多少元，然后再比較。

設開始存入x元。.

如果按照第一種儲蓄方式，那么列方程：

xX(1十2.88%X6)=5000

解得xg4263(元)

如果按照第二種蓄儲方式，

可鼓勵學生自己填上表，適當時對學生加以引導，對有困難的學生復習：本利

和=本金十利息

利息：本金X利率X期數

等量關系是：第二個3午后本利和=5000

所以列方程1.081x?(1十2.7%*3)=5000

解得x\4279

這就是說，大約4280元，3年期滿后將本利和再存一個3年期，6年后本利和

達至45000元。

因此第一種儲蓄方式＜即直接存一個6年期)開始存入的本金少。

8.解答下列各問題：

(1)據《北京日報》2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有300立方米，

僅是全國人均占有量的世界人均占有量的問全國人均水資源占有量是多少

832

立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米？

(2)北京市一年漏掉的水相當于新建一個自來水廠，據不完全統計，全市至少有

6X10$個水龍頭，2X10$個抽水馬桶漏水，如果一個關不緊的水龍頭，一個月能漏掉

a立方米水，一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一個月造成的水流失量

至少有多少立方米？(用含a、b的代數式表示)

(3)水源透支令人擔憂，節約用水迫在眉睫，針對居民用水浪費現象，北京市將

制定居民用水標準，規定三口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費，假設

不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方米水費2.9元，某住樓房的三口

之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規定三口之家

樓房每月標準用水量是多少立方米？

10.爸爸為小明存了一個3年期的教育儲蓄(3年期的年利率為2.7%),3年后

能取5405元，他開始存入了多少元？

11.一收割機收割一塊麥田，上午收了麥田的25%,下午收割了剩下麥田的20%,

結果還剩6公頃麥田未收割，這塊麥田一共有多少公頃？

12.兒子今年13歲，父親今年40歲，父親的年齡可能是兒子年齡的4倍嗎？

第七章一次方程組

一、基本概念

(一)二元一次方程組的有關概念

1.二元一次方程的定義：都含有個未知數，并且的次數都是1,像這

樣的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式為：ax+by=c(a、b、c為常數，且a、b均不為0)

結合一元一次方程，二元一次方程對“元”和“次”作進一步的理解；“元”與

“未知數”相通，幾個元是指幾個未知數，“次”指未知數的最高次數。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7bx2m+3nz:0>1-s+t=2s等都是二元一次方程。

2

而6xJ-2y-6、4x+8y=-6z、一二n等都不是二元一次方程。

m

2.二元一次方程組的定義：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次

方程組。

2x—3y=57a+3b=—3m+n=2C—f—o

例如：1■等都是二元一次方程

x+y=a—2b=\m-n—3s+/=—11

組。

《+〃=2等都不是二元一次方程組。

2x—3y=57Q+3a=-3

而<

x+z=-8a-2a=lm-n=\

2x=5

注意:(1)只要兩個方程一共含有兩個未知數，也是二元一次方程組。如：,

y=-8

$-2

'一也是二元一次方程組。

r=-l1

3.二元一次方程和二元一次方程組的解

(1)二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個未知數的值，

叫做二元一次方程的解。

(2)二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩

個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。(即是兩個方程的公共解)

注意：寫二元一次方程或二元一次方程組的解時要用“聯立”符號”把方程中

兩個未知數的值連接起來寫。

二元方程解的寫法的標準形式是：一,（其中a、b為常數）

y=b

（二）二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的基本思想：“消元”，化二元一次方程組為一元一次方程來解。

2.二元一次方程組的基本解法

（1）代入消元法（代入法）

定義：通過“代人”消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程來解的這

種解法叫做代人消元法，簡稱代入法。

步驟：①選取一個方程，將它寫成用一個未知數表示另一個未知數，記作方程

③。

②把③代人另一個方程，得一元一次方程。

③解這個一元一次方程，得一個未知數的值。

④把這個未知數的值代人③，求出另一個未知數值，從而得到方程組的

解。

（2）加減消元法（加減法）

定義：通過將兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，將方程組轉化為一元

一次方程來解，這種解法叫加減消元法，簡稱加減法。

步歌：①把兩個方程同一個未知數的系數乘以適當的倍數，使得這兩個未知數

的絕對值相同。

②把未知數的絕對值相同的兩個方程相加或相減，得一元一次方程。

③解這個一元一次方程，得一個未知數的值。

④把這個未知數的值代人原方程組中系數叫簡單的一個方程，求出另一

個未知數值，從而得到方程組的解。

注意：正確選用兩種基本解二元一次方程組

（1）若二元一次方程組中有一個未知數系數的絕對值為1,適宜用“代入法”。

（2）用加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數系數的絕對值相等，

可直接加減消元；若同一未知數的系數絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，

使一個未知數的系數的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組比較復雜，

應先化簡整理。

（三）二元一次方程組的應用

1.純數學上的應用：（1）二元一次方程定義的應用；（2）方程解的概念的應用；（3）

代數中的應用；（4）公式變形等。

2,實際生活上的應用：（1）調配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）面積問題等。

3.探索性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯系，但也有區別，有時是一種沒有

結論的問題，需要你給出結論并解答。

注意事項：

（1）在實際問題中，常會遇到有多個未知量的問題，和一元一次方程一樣，二元

一次方程組也是反映現實世界數量之間相等關系的數學模型之一，要學會將實際問

題轉化為二元一次方程組，從而解決一些簡單的實際問題。

（2）二元一次方程組的解法很多，但它的基本思想都是通過消元，轉化為一元一

次方程來解的，最常見的消元方法有代人法和加減法。一個方程組用什么方程來逐

步消元，轉化應根據它的特點靈活選定。

（3）通過列方程組來解某些實際問題，應注意檢驗和正確作答，檢驗不僅要檢查

求得的解是否適合方程組的每一個方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合實

際問題的要求。

二、練習

1.求二元一次方程3x+y=10的正整數解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一個未知數表示另一個未知數，如y=

10-3x,給定x一個值，求出y的一個對應值，就可得到二元一次方程的一個解，而

此題是對未知數x、y作了限制必須是正整數，也就是說對于給定的x可能是1、2、

3、4…但是當x=4時，y=10-3X4=-2,y卻不是正整數，因此x只能取正整數的

一部分，即x=1,x=2,x=3。

2.已知{x=1{2xn—m=5

y=2是方程組mx—ny=5的解，求m和n的值。

分析：因為，x=1,y=2是方程組的解。

根據方程組解的定義和x=1,y=2既滿足方程①又滿足方程②于是有：

{2n-2m=5③

m+2n=3④

解這個方程組即可。

3.A、B兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從A、月兩地同時出發，同向而行，甲

車3小時可追上乙車；相向而行，兩車1.5小時相遇，求甲、乙兩車的速度。

分析：這里有兩個未知數：甲、乙兩車的速度；有兩個相等關系：

(1)同向而行：甲3小時的行程=乙3小時行程十150千米

(2)相向而行：甲1.5小時行程+乙1.5小時行程=150千米

解設甲車的速度為x千米/時，乙車的速度為y千米/時。

根據題意，得

r3x-3y+150

I1.5x+1.5y=150

解這個方程組即可。

4.一個三位數，各數位上的數字之和為13,十位上的數字比個位上的數字大2,如

果把百位上的數字與個位上的數字對調，那么所得新數比原來的三位數大99,求這

個三位數。

分析：怎樣設未知數？直接設可以嗎？

這里有三個未知數——個位上的數字，百位上的數字及十位上數字，若用二元

一次方程組求解，該怎樣設未知數？

由“十位上數字比個位上的數字大2”，可設原三位數的個位上的數字為x,則

十位上數字為x+2,另設百位上數字為y.

如何表示原三位數和新三位數？

100y+10(x+2)+x,IOOx+IO(x+2)+y

2個等量關系是什么？

(1)百位上數字十十位上數字十個位上數字=13

(2)新三位數一原三位數二99

根據題意，得

rx+(x+2)+y=13

I[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解這個方程組即可。

5.某旅行團從甲地到乙地游覽。甲、乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先

行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分

人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4:00同時到

達乙地，必須在什么時候出發？

分析：這個問題實質上求的是如果按題設的行走方式，至少需栗多少個小時？

本題比較復雜，引導學生用線段圖幫助分析。

ADyBC

甲上車點下車點乙

(1)汽車從ATBTD所需的時間與先步行的一部分人從A到D所需的時間相等。

⑵汽車從B—DTC所需的時間與后步行的一部分人從B到C所需栗的時間相等。

因此可設先坐車的一部人下車地點距甲地X公里，這一部分人下車地點距另一

部分人的上車地點相距y公里，如圖所示。

由以上兩個等量關系，得：

x+yx-y2y+100_x100-x

40-8408

解方程組即可得到方程組的解。

例2:方程組「ax+by=62的解應為pX=8

1mx-20y=-2241y=10

y=1

但是由于看錯了系數m,而得到的解為1,求a+b+m的值;

y=i

第8章一元一次不等式

一、基本概念

（一）不等式的有關概念和性質

1.不等式的定義：用表示不等關系的式子叫做不等式。

常見不等號：>、<、>、W、手。

注：不僅表示左右兩邊不等關系，還明確表示左右兩邊的大小；“W”、

也表示不等，前者表示“不大于”（小于或等于），后者表示“不小于”（大于

或等于），_“手”表示左右兩邊不相等

例如：方程7y-3x>4、-3a+3W4-7a、2m+3n/0等都是不等式。

而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

2.不等式解的定義：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

例如：不等式120<5x中x=25,26,27,…等都是120<5x的解，而x=24,23,

22,21則都不是不等式的解。

3.不等式的解集

（1）定義：一個不等式的所有解，組成這個不等式解的集合，簡稱為這個不等式的

解集。

（2）求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

（3）在數軸上表示不等式的解集：

沒有等號畫空心圓圈，有等號畫實心圓點。“大于”向右畫，“小于”向左畫。

4.不等式的基本性質

不等式的基本性1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方

向O

即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c；

如果aVb,那么a+cVb+c,a-cVb-c.

不等式的基本性2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個,不等號的方向不變。

即：如果aVb,c>0,那么acVbc,a/c<b/c

不等式的基本性3:不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的o

即：如果a>b,c<0,那么acVbc,a/c<b/c

（二）解一元一次不等式

1.一元一次不等式的定義：只含有一個未知數，且含未知數的式子是整式，未知數

的次數是1,像這樣的不等式叫做一元一次不番式。

例如：方程7-3x>4、6xW-2x-6、3*手-2*+150都是一■元一'次不等式。

1

而這些方程5x?-3X+120、2x+yV|-3y、—=#5就不是一元一次不等式。

X-1

2.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數化為1。

注意：Q）不等式中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大

括號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。

（2）“去分母”指去掉不等式兩邊各項系數的分母；去分母時，栗求各分母的最小

公倍數，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘

以最小公倍數（即公分母）。

不等式的解法與解一元一次方程類似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬過來。

（三）一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的定義：幾個一元一次不等式合起來就組成一元一次不等式組

與二元一次方程組不同的是，這里的“幾個”可以兩個，也可以三個，或更多個。

2.一元一次不等式組的解集：不等式組中幾個不等式的解集的公共部分，叫做這個

不等式組的解集。

3.一元一次不等式組的解集的確定規律

同“大”取大，同"小”取小，“大”小“小”大中間找，“大”大“小”小無解了

4.一元一次不等式組的解法

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

一般步驟：

（1）分別解不等式組中的每個不等式；

（2）把每個不等式組的解集在數軸上表示出來；

（3）找出各個不等式解集的公共部分；

（4）再結合不等式組解集的確定規律，寫出不等式組的解集。

（四）一元一次不等式（組）的應用

1.純數學上的應用：（1）一元一次不等式定義的應用；（2）不等式解集的概念的應

用；（3）代數中的應用；

2.實際生活上的應用：（1）調配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問

題；（5）決策問題等。

3.探索性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯系，但也有區別，有時是一種沒有

結論的問題，需要你給出結論并解答。

二、練習

（-）選擇題:

1、若a>b則（）2、D

ab

A、a—2<b-2B、2a<2bC、~2>~2D、a+5>b+5

2、不等式,x>—3的解集是（）3、A

2

33

A、x>—6B、x>--C、x<--D、x<—6

22

3、下列結論中，正確的是（）4、A

A、Ux〈O的解集是x<0B、-2>2的解集是x<-a

432

x

C、3x<—5的解集是x>-2D、的解集是x^O

3

4、若代數式3x+4的值不大于0,則x的取值范圍是（）6、B

4444

A、x<—B、xK—C、x<—D、xN—

3333

r2x>5

5、不等幺［一x2一4的整數解是（）7、C

A、—4B、2、3、4C、3、4D、4

6、如果不等式（a-1）x>（a-1）的解集是x〈1那么a的取值范圍是（)9、

C

A、aW1B、a>1C、a<1D、a<0

（二）填空題:

1、用不等表示：x的3倍大于511、3x>5

2、不等式2x—1>0的解集是12、x>1/2；不等式一2x<10的解

集是x>-5o

3、x—1<2的正整數解是13、1,2o

4、在一2(x+2)<2的兩邊都除以14、-2時，x+1>-1的依據是不

等性質3o

5、由x〈y得到，ax>ay,a應滿足的條件是15、a<0□

(三)解答題

1、解不等式并把它的解集在數軸上表示出來5x-1>8x+3.

1、解：5x-1>8x+3.5x-8x>1+3-3x>4x<-4/3

2、已知y=5—3x試求：當x取何值時，y>Oo

2、解：y>0,即5-3x>0-3x>-5x<5/3

3、解不等式士1—日出>—2

32

3、解：2(x-1)-3(x+4)>-122x-2-3x-12>-12-x>2x<-2

4、5x+4<3(x+1)

x+12x-l

5

4、解：不等式①5x+4<3x+32x<-1x<--

2

?7

不等式②5x+52x-24x^-7x^--

4

71

不等式組的解集為：-L〈x<-L(數軸略)

42

5、fx+2>0

]x-3>0

x—6W0

5解：不等式①x>-2

不等式②x>3

不等式③xW6

，不等式組的解集為3<xW6

（五）應用題

1、如果關于x的不等式-女-X+6A0正整數解為1,2,3,正整數上應取怎樣的值？

2、某旅游團有48人到某賓館住宿，若全安排住賓館的底層，每間住4人，房間不夠;

每間住5人，有一個房間沒有住滿5人.問該賓館底層有客房多少間？

2、設該賓館有x間宿舍；9.6YXY12則x取10或11.

第九章多邊形

一、基本概念

（一）三角形有關概念

1.三角形定義：三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面

圖形，這三條線段就是三角形的邊。

三角形專用符號：A（頂點）

2.三角形的頂點、邊

組成三角形的線段如圖中的AB、BC、AC是這個三角形的三成，

兩邊的公共點叫三角形的麗點。（如點A等）三角形頂點只能用大寫字

母表示，整個三角形表示為△ABC。

3.三角形的內角，外角的概念：

（1）內角：每兩條邊所組成的角叫做三角形的為南，如NBAC等。每個三角形有三

個內角,

（2）外角：三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角

叫做三角形的外角，如下圖中NACD是NABC的一個外角，

它與內角NACB相鄰。外南

例如右圖中ZACD是NABC的一個外角，它與內角ZACB相鄰。

與aABC的內角NACB相鄰的外角有幾個？它們之間有什么關系？

一個三角形共有幾個外角？

4.三角形的分類

‘銳角三角形（三個角齷銳角）

（1）三角形按角分類可分為：〈直角三角形（有一個角是直角）

鈍角三角形（有一個角是鈍角）

各類三角形的定義

銳角三角形：所有內角都是銳角的三角形叫銳角三角形；

直角三角形：有一■個內角是直角的三角形叫直角三角形；

鈍角三角形：有一個內角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。

‘不等邊三角形（三條潴E不相等）（又稱斜鳥形）

（2）三角形按邊分類可分為：等腰二角形［腰和底不相等的等腰各形（只兩邊等）

，腰和底相等的等腰三觸（等邊三角形）

各類三角形的定義

不等邊三角形：三邊互不相等的三角形叫做不等邊三角形；

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的

腰。

等邊三角形；三條邊都相等的三角形叫等邊三角形（或正三角形）。

5.三角形的中線、角平分線、高（記住這重要的三線）

三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊聲點的連線叫三角形的中線。

三角形的角平分線：三角形內角的平分線當對邊的交蕉和這個內角頂點之間的線段

叫三角形的角平分線。

三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂上與幻點間的線度叫三角形的高。

注意：

(1)一個三角形中三條中線(高、南平分線)之間的位置關系怎樣？

［三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點］

⑵一個三角形的三條中線(角平分線)的交點與三角形有怎樣的位置關系？

［三條中線(角平分線)相交于一點，這一點在三角形內部］

⑶直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關系？鈍角三角形呢？

［直角三角形有一條高在三角形內部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條

高的交點就是直角三角形的直角頂點，鈍角三角形有一條高在形內，兩條高在形外，

三條高所在的直線的交點在形外。］

(4)以上三線都是線段。

(二)三角形外角的性質以及其外角的和

1.三角形外角的性質:

(1)三角形的一個外角茅于和它不相鄰的兩個內角的和；

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。A

如圖：D是aABC邊BC上一點，則有NADC=NDAB+NABD;/

ZADOZDAB,ZADOZABDB/D

問：ZADB=Z()+N()

2.三角形外角的和。

三角形的外角與和它相鄰內角有什么關系？(互補)

(1)三角形外角和的定義：與三角形的每個內角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外

角是對頂角，從與每個內角相等的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角

形的外角和。

(2)三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

(三)三角形的三邊關系

1.三角形三邊不等關系定理：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。

三角形的任何兩邊的差小于第三邊。

即三角形第三邊的取值范圍是：

|任何兩邊的差|V第三邊V任何兩邊的和

以上定理主要用語判斷給出一定長度的線段能否構成三角形和求第三邊的取值范

圍。

2.三角形具有穩定性

這就是說三南形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角

形的這個性質叫做三角形的穩定性。四邊形就不具有這個性質。

(四)多邊形的內角和與外角和

1.多邊形及其相關概念

定義：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，記為n邊

形，又稱多邊形。

一個n邊形有n個內角，有2n個外角。

如果多邊形的各邊都相等，各內角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、

正四邊形(正方形)、正五邊形等等。

對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

從n邊形的一個頂點引對角線，可以弓|(n-3)條，這(n-3)條對角線把n邊形分

成(n-2)個三角形。

從n邊形的所有頂點引對角線的總條數為：迎二2條。

2

2.多邊形的內角和公式

n邊形的內角和=(n-2),180°

3.多邊形的外角和。

(1)多邊形的外角和定義：從與每個內前相鄰的兩個外角中分別用一個裾加，得到

的和稱為多邊形的外角和。

(2)多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°o

多邊形的外角和與多邊形的邊數無關。

(五)用正多邊形拼地板

1.用相同的正多邊形拼地板：能拼成既不留空腐，又不重疊的平面圖形的關鍵是圍

繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角相加恰好等于360°o

在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中能夠拼出完整地面是

(n—2)?180°

這就是說，當(360°4------------------------)為正整數時

n

2n

即一彳為正整數時，用這樣的正n邊形就可以鋪滿地面。

n-z

設正多邊形的個數為n,每個內角為a,則要鋪滿地面，它們滿足下列關系：a

n=360°

2.用多種正多邊形拼地板

鋪墊滿地面的標志：滿足圍繞一點的這幾個正多邊形的一個內角的和等于360°

設正多邊形甲的個數為n,每個內角為a,正多邊形乙的個數為m,每個內角為

￡,則它們滿足下列關系：an+￡m=360°

二、練習

1.下列各組中的數分別表示三條線段的長度，試判斷以這些線段為邊是否能組成三

角形。

(1)3,5,2(2)a,b,a+b(a>0,b>0)(3)3,4,5

(4)m+1,2m,m+l(m>0)(5)a+1,2,a+5(a>0)

2.如圖(1),ZBAC=90°,N1=N2,AM±BC,AD±BE,那么N2=N3=N4,

你知道這是為什么？

3.如圖（2）,DC平分AABC的外角，與BA的延長線于D,那么NBAONB,為什么？

4.在下列四組線段中，可以組成三痢形的是（）

11

①1,2,3②4,5,6③1,孑，不④15,72,90

A.1組B.2組C3組D.4組

5.下列四種說法正確的個數是（）

①一■個三角形的三個內角中至多有一■個鈍角

②一個三角形的三個內角中至少有2個銳角

③一個三角形的三個內角中至少有一個直角

④一個三角形的三個外角中至少有兩個鈍角

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.ZiABC中，三邊長為6、7、x,則x的取值范圍是（）

A.2<x<12B.1<x<13C.6<x<7D.無法確定

7.等腰三角形兩邊長分別是5和7,則該三角形周長為（）

A.17B.19C17或19D.無法確定

8.Z\ABC的三邊a、b、c都是正整數，且滿足OWaWbWc,如果b=4,問這樣的三

角形有多少個？人口

9.如圖⑴依圖填空：.

（1）在aABC中，BC邊上的高是（）V/---

圖⑴

（2）在aAEC中，AE邊上的高是（）

（3）在aFEC中，EC邊上的高是()

(4)AB=CD=2cm,AE=3cm,則AAEC的面積S=(),CE=()

分析：在非標準位置的三角形中，運用定義識別直角三角形、鈍角三角形的高,

11

利用三角形面積公式SZ\AEC=]XAEXCD=-CEXAB可求得CE。

10.如圖⑵，在aABC中，D是BC上一點，Z1=Z2,N3=N4,ZBAC=63°,

求NDAC的數。

分析：NDAC是aDAC的內角，可先求出N4或N3,N4既是aADC的內角，又

是4ABD的外角，所以可利用三角形內角和與外角性質，可建立N4和N2(或N1)的

關系式，進而可求出NDAC。

1

11.如圖⑶，在aABC中，NABC與NACB的平分線相交于0,那么NBDC=90°+-

ZA,你會說明這個結論正確？

分析：因為NBDC是aBDC的內角，所以根據三角形內角和的定理，ZBDC=180°-

ZI-Z2

12.已知多邊形的一個內角的外角與其它各內角和為600°,求邊數及相應的外角的

度數。

分析：根據多邊形的內角和公式，已知內角和可求邊數，由于內南和中的一個內

角換成了一個外角，所以設輔助未知數x,根據其外角小于180°,列方程。

第十章軸對稱、平移與旋轉

軸對稱

一、基本概念

（一）軸對稱圖形的有關概念

1.軸對稱圖形定義：把一個圖形沿著某條直線對折，對折的兩部分是完全重合的，

這樣的圖形稱為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對潁躺。

常見的基本軸對稱圖形：線段、直線、角、等腰三角形、正三角形、長方形、正方

形、等腰梯形、菱形、圓等。

注意：軸對稱圖形是一個圖形所具有的特性，不是“兩個”圖形的位置。

2.軸對稱（即關于某條直線成軸對稱）的定義：把一個圖形沿著某一條直線翻折過

去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形域描對器，這條直線就是

它們的對稱軸,兩個圖形中的對應點（即兩圖形重合時互相重合的點）叫做對稱點。

注意：軸對稱是兩個圖形的空間位置，不是“一個”圖形的特性。

3.軸對稱（或關于某條直線成對稱的兩個圖形）的性質：

（1）軸對稱圖形（或關于某條直線成對稱的兩個圖形）沿對稱軸對折后的兩部分完全

重合，所以它的對應線段（對折后重合的線段）相等，對應角（對折后重合的角）相等。

（2）關于某直線成軸對稱的兩個圖形的大小和形狀完全相同。

（3）對稱軸垂直平分對稱點的連線。

4.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區別與聯系：

如圖（1）,如果沿著虛線對折，直線兩旁的部分會完全重合，那么這個圖形就是

軸對稱圖形。

如圖（2）,如果沿著虛線折疊，右邊的圖形會與左邊的圖形完全重合，那么就說

這兩個圖形關于虛線這條直線成軸對稱。

（1）

5.如何畫圖形的對稱軸？

（1）畫軸對稱圖形的對稱軸

任意找一對對稱點，連接這對對稱點，畫出所連線段的垂直平分線。這條垂直

平分線就是該軸對稱圖形的對游和。

（2）畫成軸對稱兩個圖形的對稱軸：

任意找一對對稱點，連接這對對稱點，畫出所連線段的垂直平分線。這條垂直

平分線就是該軸對稱圖形的對器馳。

6.畫軸對稱圖形

有一個圖形、一條直線，那么如何畫出這個圖形關于這條直線的對稱圖形呢？

（1）基