試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復習平面解析幾何典型解答題1．直線方程的五種形式(1)點斜式：行于y軸的直線)．(2)斜截式：線)．(3)兩點式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)．(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．2．直線的兩種位置關系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率都存在時：(1)兩直線平行：l1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直：l1⊥l2?k1·k2＝－1.特別提醒：當一種情形易忽略．3．三種距離公式(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點間的距離|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．(3)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．特別提醒：應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數應對應相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離．判斷方法：代數判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含．判斷方法：代數判斷法與幾何判斷法．6．圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|點F不在直線l上，PM⊥l交l于點M標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)圖形幾何性質范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0頂點(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對稱性關于x軸，y軸和原點對稱關于x軸對稱焦點(±c,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1準線x＝－eq\f(p,2)漸近線y＝±eq\f(b,a)x7.直線與圓錐曲線的位置關系判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯立得到的方程組進行判斷．弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.8．解決范圍、最值問題的常用方法(1)數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數形結合求解．(2)構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解．(3)構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，再求其值域．9．定點問題的思路(1)動直線l過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m，0)．(2)動曲線C過定點問題，解法：引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點．10．求解定值問題的兩大途徑(1)eq\x(由特例得出一個值此值一般就是定值)→eq\x(證明定值：將問題轉化為證明待證式與參數某些變量無關)(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值．11．解決存在性問題的解題步驟第一步：先假設存在，引入參變量，根據題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結論．例題1．一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，（如圖所示，坐標以已知條件為準），表示青蛙從點到點所經過的路程.（1）若點為拋物線（）準線上一點，點均在該拋物線上，并且直線經過該拋物線的焦點，證明.（2）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且,試寫出（不需證明）；（3）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.例題2．已知橢圓的兩焦點分別為，，是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.（1）求點坐標；（2）當直線經過點時，求直線的方程；（3）求證直線的斜率為定值.例題3．火電廠、核電站的循環水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構筑物．建在水源不十分充足的地區的電廠，為了節約用水，需建造一個循環冷卻水系統，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米.雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，，30，試根據上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；（2）試利用課本中推導球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：，，繞軸旋轉形成的旋轉體的體積多少？（用表示）.（用積分計算不得分）現已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結構，為計算方便設其內壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內外殼之間）大約是多少；（計算時取3.14159，保留到個位即可）（3）冷卻塔體型巨大，造價相應高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設備等施工費用不在本題計算范圍內.超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現已知：距離地面高度30米（含30米）內的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.例題4．如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C1—C2型點”．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C1—C2型點”；(3)求證：圓內的點都不是“C1—C2型點”．試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復習平面解析幾何典型解答題1．直線方程的五種形式(1)點斜式：行于y軸的直線)．(2)斜截式：線)．(3)兩點式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)．(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．2．直線的兩種位置關系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率都存在時：(1)兩直線平行：l1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直：l1⊥l2?k1·k2＝－1.特別提醒：當一種情形易忽略．3．三種距離公式(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點間的距離|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．(3)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．特別提醒：應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數應對應相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離．判斷方法：代數判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含．判斷方法：代數判斷法與幾何判斷法．6．圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|點F不在直線l上，PM⊥l交l于點M標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)圖形幾何性質范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0頂點(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對稱性關于x軸，y軸和原點對稱關于x軸對稱焦點(±c,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1準線x＝－eq\f(p,2)漸近線y＝±eq\f(b,a)x7.直線與圓錐曲線的位置關系判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯立得到的方程組進行判斷．弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.8．解決范圍、最值問題的常用方法(1)數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數形結合求解．(2)構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解．(3)構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，再求其值域．9．定點問題的思路(1)動直線l過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m，0)．(2)動曲線C過定點問題，解法：引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點．10．求解定值問題的兩大途徑(1)eq\x(由特例得出一個值此值一般就是定值)→eq\x(證明定值：將問題轉化為證明待證式與參數某些變量無關)(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值．11．解決存在性問題的解題步驟第一步：先假設存在，引入參變量，根據題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結論．例題1．一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，（如圖所示，坐標以已知條件為準），表示青蛙從點到點所經過的路程.（1）若點為拋物線（）準線上一點，點均在該拋物線上，并且直線經過該拋物線的焦點，證明.（2）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且,試寫出（不需證明）；（3）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.【答案】解：(1)設，由于青蛙依次向右向上跳動，所以，，由拋物線定義知：分(2)依題意，隨著的增大，點無限接近點分橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近分所以=分(3)方法一：設點，由題意，的坐標滿足如下遞推關系：，且其中分∴，即，∴是以為首項，為公差的等差數列，∴，所以當為偶數時，，于是，又∴當為奇數時，分當為偶數時，當為奇數時，所以，當為偶數時，當為奇數時，所以，分方法二：由題意知其中觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為的等比數列．相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列．下標為偶數的點也有此規律．并由數學歸納法可以證明．分所以，當為偶數時，當為奇數時，當為偶數時，當為奇數時，分所以，分【解析】【詳解】試題分析：（1）直接借助題設求解即可獲證；（2）運用題設條件和極限思想表示出來再求解即可；（3）運用題設中提供的信息分類進行求解．試題解析：（1）設，由于青蛙依次向右向上跳動，所以，，由拋物線定義知：．（2）依題意，，，（）隨著的增大，點無限接近點，橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近，所以．（3）方法一：設點，則題意，的坐標滿足如下遞推關系：，且，（）其中，∴，即，∴是以為首項，2為公差的等差數列，∴，所以當為偶數時，，于是，又，∴當為奇數時，，，當為偶數時，當為奇數時，所以，當為偶數時，當為奇數時，所以，．方法二：由題意知，，，，，，…其中，，，，…，，，…觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為4的等比數列，相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列，下標為偶數的點也有此規律，并由數學歸納法可以證明．所以，當為偶數時，當為奇數時，，當為偶數時，當為奇數時，所以，．考點：函數和數列的知識及綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力．例題2．已知橢圓的兩焦點分別為，，是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.（1）求點坐標；（2）當直線經過點時，求直線的方程；（3）求證直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設，由題意可知與，聯立求解即可.（2）由題意可知，的斜率為－1，的斜率為1，確定直線方程與直線的方程，然后分別與橢圓聯立，求解，兩點坐標，即可.（3）由題意可知，直線、的斜率必存在，設的方程為：，與橢圓聯立，求解點坐標，同理求解點坐標，求直線的斜率，即可.【詳解】（1）由題可得，，設則，.∴即∵點在曲線上，則.解得點的坐標為.（2）當直線經過點時，則的斜率為－1，因兩條直線、的傾斜角互補，故的斜率為1，由得，，即，故，同理得，∴直線的方程為（3）依題意，直線、的斜率必存在，不妨設的方程為：.由得，設，則，，同理，則，同理.所以，的斜率為定值.【點睛】本題考查求兩曲線交點坐標，直線與橢圓的位置關系以及定值問題.屬于難題.例題3．火電廠、核電站的循環水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構筑物．建在水源不十分充足的地區的電廠，為了節約用水，需建造一個循環冷卻水系統，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米.雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，，30，試根據上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；（2）試利用課本中推導球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：，，繞軸旋轉形成的旋轉體的體積多少？（用表示）.（用積分計算不得分）現已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結構，為計算方便設其內壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內外殼之間）大約是多少；（計算時取3.14159，保留到個位即可）（3）冷卻塔體型巨大，造價相應高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設備等施工費用不在本題計算范圍內.超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現已知：距離地面高度30米（含30米）內的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.【答案】（1），；（2），，；（3）萬元.【解析】【分析】（1）由最窄處距離可求得；根據時，；時，，可構造方程求得，從而得到雙曲線方程；（2）首先求得雙曲線旋轉體的體積和內層雙曲線方程，計算得到體積差的函數關系式，分別代入和可求得體積差，加和得到所求體積；（3）由（2）可推得高度時的幾何體體積；將在高度米以內的薄殼體積的建筑費用分為高度米以內和高度在米之間兩類分別計算；設超過米部分，每高米的環形建筑物的體積構成數列，其相應的每立方米的施工費用對應為等差數列，易得通項公式；由雙曲線對稱性可知，進而可計算出此部分對應的建筑費用；綜合三部分的費用即可得到結果.【詳解】（1）最窄處即雙曲線兩頂點間

設雙曲線的標準方程為：由題意知：當（地面半徑）時對應的值是；當時，的值為，解得：雙曲線的標準方程是，（2）高為的雙曲線旋轉體的體積是：其旋轉體相當于一個底面半徑為，高為的圓柱與底面半徑為，高為倒立圓錐的體積之和.計算內層雙曲線方程為：高為時雙曲線旋轉體的體積差為：當與時，計算上述體積差，分別為，，合計約為立方米冷卻塔的建筑體積約為立方米（3）由（2）知高為的雙