八年級數學下冊期中期末綜合復習專題提優訓練（人教版）專題2二次根式分母有理化與規律探究【典型例題】1．（2021·江西·南昌市心遠中學八年級期末）先閱讀理解，再回答下列問題：······觀察左邊的解答過程請直接寫出結果：；請你總結上面的規律(不要證明)，當為自然數時：；利用中總結得到的規律計算：；【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據題意中規律可得結果；（2）根據題意規律可得；（3）把式子按上述規律化簡，即可求得結果．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3）根據上述規律：，故答案為：．【點睛】本題考查了分母有理化的內容，讀懂題意，運用平方差公式消去分母中的根號是解題的關鍵．【專題訓練】一、解答題1．（2020·全國·八年級期末）計算：．【答案】【解析】【分析】先分母有理化和化簡二次根式，再依據運算法則計算即可．【詳解】解：原式===【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題關鍵是熟練運用二次根式的運算法則進行計算．2．（2021·上海普陀·八年級期末）計算：．【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法則運算，再分母有理化，然后化簡后合并即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則．3．（2021·上海市莘光學校八年級期中）計算：．【答案】【解析】【分析】先計算二次根式的乘法與除法，再去括號，合并同類二次根式即可.【詳解】解：【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握“二次根式的加減乘除運算的運算法則與混合運算的運算順序”是解本題的關鍵.4．（2021·全國·八年級課時練習）判斷以下列各式是否成立：；；．類比上述式子，再寫出兩個同類的式子．你能看出其中的規律嗎？用字母表示這一規律，并給出證明．【答案】以上都成立，，，（n＞1），證明見解析【解析】【分析】類比上述式子，即可寫出幾個同類型的式子，然后根據已知的幾個式子即可用含n的式子將規律表示出來，再證明即可求解．【詳解】解：；；．所以以上都成立．舉例如下：，，規律是：（n＞1）證明：設n為大于1的正整數，左邊右邊，所以成立，【點睛】此題主要考查了列代數式，二次根式的性質與化簡，正確得出數字之間變化規律是解題關鍵．5．（2022·浙江·九年級專題練習）觀察下列各式：①；②；③；④．根據上面三個式子所呈現的規律，完成下列各題：（1）寫出第⑤個式子：____________；（2）寫出第個式子（，且為整數），并給出證明．【答案】（1）；（2），見解析【解析】【分析】（1）從兩個角度去思考：一是序號與右邊根式前面的整數的關系，二是這個整數與分數的分母之間的關系，確定好規律好，問題自然得解；（2）利用特殊與一般的關系推廣即可【詳解】（1）∵右邊根式前面的整數等于序號+1，分數的分母等于這個整數的平方減去1，∴第⑤個式子：，故答案為：；（2）第個式子：.證明如下：===.【點睛】本題考查了二次根式背景下的規律探索問題，準確找出序號與右邊根式前面的整數的關系，這個整數與分數的分母之間的關系是解題的關鍵．6．（2021·遼寧撫順·八年級期中）觀察下列各式及其驗證過程：，，，…驗證：；（1）請仿照上面的方法來驗證；（2）根據上面反映的規律，請將猜到的規律用含自然數的代數式表示出來．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據二次根式的性質將進行化簡即可；（2）對已有的式子進行觀察可發現，等式左邊的被開方數為一個整數與一個分數的和，且分數的分子為1，分母等于整數加2，等式右邊二次根式前的系數比等式左邊被開方數中的整數大1，被開方數為等式左邊被開方數中的分數，由此歸納得出，再利用二次根式的性質將進行化簡即可證明．【詳解】解：（1）驗證：，故成立；（2），驗證：．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質以及邏輯推理，解題關鍵是運用特殊到一般的推理方法，即通過簡單、特殊的例子發現規律，并進行一般化的推廣，然后運用數學語言來表達規律．7．（2021·江蘇·蘇州高新區實驗初級中學九年級階段練習）觀察下列等式：①；②；③．解決下列問題：（1）根據上面3個等式的規律，寫出第⑤個式子；（2）用含n（n為正整數）的等式表示上面各個等式的規律，并加以證明；（3）利用上述結果計算：．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用題中等式的計算規律即可得到；（2）根據題目中式子的特點，找到第n個等式的左邊和右邊，然后計算即可；（3）利用（2）的結論得出，再裂項計算即可；【詳解】解：（1）∵①；②；③∴第⑤個式子是：（2）第n個等式為證明：左邊右邊（3）原式【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算的應用，根據題意正確總結規律是解題的關鍵．8．（2021·全國·八年級期中）閱讀下列材料，然后回答問題在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，我們可以將其分母有理化：；還可以用以下方法分母有理化：．(1)請用不同的方法分母有理化：；(2)化簡：．【答案】(1)，見解析(2)1【解析】【分析】（1）法一：原式；法二：，進行求解即可；（2）：原式化簡求解即可．(1)解：法一：；法二：；(2)解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法運算，平方差公式等知識．解題的關鍵在于正確的將分式中的分母有理化．9．（2021·河北灤州·八年級階段練習）閡讀材料，回答問題：觀察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1．請你根據以上三個等式提供的信息解答下列問題：（1）猜想：＝＝；（2）歸納：根據你的觀察、猜想，寫出一個用n．（n為正整數）表示的等式：；（3）應用：用上述規律計算．【答案】（1）；；（2）（或）（3）．【解析】【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；②直接利用已知條件規律用n（n為正整數）表示的等式即可；③利用發現的規律將原式變形得出答案．【詳解】（1）=（2）（或）（3）【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確發現數字變化規律是解題關鍵．10．（2022·湖南懷化·八年級期末）閱讀并解答問題：……上面的計算過程叫做“分母有理化”，仿照上述計算過程，解答下列問題：(1)將的分母有理化；(2)已知，，求的值；(3)計算【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據所給“分母有理化”的規律即可求解；（2）根據所給“分母有理化”的規律分別求出a和b的值，再相加即可．（3）根據所給“分母有理化”去分母，再進行加減混合計算即可．(1)解：．(2)解：，，∴．(3)解：，，，，．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，利用平方差公式分母有理化，讀懂題干，掌握分母有理化的方法和規律，注意分母中被開方數差1與被開方數差2的不同結果是解答本題的關鍵．11．（2022·北京石景山·八年級期末）小石根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是小石的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發現規律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填寫運算結果）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．（3）證明你的猜想．（4）應用運算規律．①化簡：______；②若（a，b均為正整數），則的值為______．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）①；②【解析】【分析】（1）根據題目中的例子可以寫出例5；（2）根據（1）中特例，可以寫出相應的猜想；（3）根據（2）中的猜想，對等號左邊的式子化簡，即可得到等號右邊的式子，從而可以解答本題；（4）①②根據（2）中的規律即可求解．【詳解】解：（1），故答案是：；（2），故答案是：；（3）證明：左邊，又右邊，左邊右邊，成立；（4）①，故答案是：；②，根據，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【點睛】本題考查規律型：數字的變化類，二次根式的混合運算，解題的關鍵是明確題意，根據已知等式總結一般規律并應用規律解題．12．（2021·江西·吉安三中八年級期中）觀察與計算：6；2；；．象上面各式左邊兩因式均為無理數，右邊結果為有理數，我們把符合上述等式的左邊兩個因式稱為互為有理化因式．當有些分母為帶根號的無理數時，我們可以分子、分母同乘分母的有理化因式進行化簡．例如：；；【應用】（1）化簡：①；②．（2）化簡：【答案】（1）觀察與計算：－7；18；應用：（1）①；；（2）【解析】【分析】觀察與計算：根據二次根式的乘法和平方差公式求解即可；應用：（1）仿照題意進行分母有理化即可；（2）先對原式每一項進行分母有理化即可得到，由此求解即可．【詳解】解：觀察與計算：，，故答案為：-7，18；應用：（1）①；②；（2）原式＝＝＝＝＝=．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘法運算，平方差公式和分母有理化，解題的關鍵在于能夠準確理解題意進行求解．13．（2021·廣東·道明外國語學校八年級期中）觀察下列等式：①②③······回答下列問題：（1）利用你觀察到的規律，化簡：．（2）．（n為正整數）（3）利用上面所揭示的規律計算：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據平方差公式分母有理化即可；（2）根據平方差公式分母有理化即可；（3）對每一個式子分母有理化，再進行合并計算即可；【詳解】（1）；故答案是：；（2）；故答案是：；（3），，；【點睛】本題主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，準確計算是解題的關鍵．14．（2022·湖南岳陽·八年級期末）王老師讓同學們根據二次根式的相關內容編寫一道題，以下是王老師選出的兩道題和她自己編寫的一道題．先閱讀，再回答問題．（1）小青編的題，觀察下列等式：直接寫出以下算式的結果：______；（n為正整數）＝______；（2）小明編的題，由二次根式的乘法可知：，，再根據平方根的定義可得，，直接寫出以下算式的結果：______，______，______：（3）王老師編的題，根據你的