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2024/10/261一、有理函數的積分(IntegrationofRationalFunction)兩個多項式的商表示的函數.有理函數的定義：第四節有理函數的積分

第四章2024/10/262假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數是真分式；這有理函數是假分式；有理函數有以下性質：1）利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如，我們可將化為多項式與真分式之和2024/10/2632）在實數范圍內真分式總可以分解成幾個最簡式之和最簡分式是下面兩種形式的分式2024/10/264（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數化為部分分式之和的一般規律：（2）分母中若有因式，其中則分解后為2024/10/265

為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時要把上面的待定的常數確定，這種方法叫待定系數法例12024/10/266例2通分以后比較分子得：2024/10/267

我們也可以用賦值法來得到最簡分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到2024/10/268例3整理得2024/10/269例4

求積分解：例22024/10/2610例5

求積分解：例32024/10/2611解:

原式例6求2024/10/2612解:說明:

將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據被積函數的結構尋求簡便的方法.例7求2024/10/2613解:

原式注意本題技巧按常規方法較繁例8（補充題）

求點擊看“常規解法”2024/10/2614第一步令比較系數定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數定A,B,C,D.第三步分項積分.此解法較繁!按常規方法解:2024/10/2615二、可化為有理函數的積分舉例設表示三角函數有理式,令萬能代換t

的有理函數的積分1.三角函數有理式的積分則2024/10/26162024/10/2617令2024/10/2618例9

（P215例4）求解：令則2024/10/2619例10（補充題）

求解：一直做下去，一定可以積出來，只是太麻煩。

由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，能不用盡量不用。2024/10/2620解:

說明:

通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換例11求2024/10/2621令令被積函數為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數的積分.例如:令2.簡單無理函數的積分2024/10/2622解:

令則原式例12（P217例6）求2024/10/2623解:

為去掉被積函數分母中的根式,取根指數2,3的最小公倍數6,則有原式令例13求2024/10/2624解:

令則原式例14求（P217例8）2024/10/2625本節小結1.可積函數的特殊類型有理函數分解多項式及部分分式之和三角函數有理式萬能代換簡單無理函數三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡便計算.簡便,

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