2024/10/25dsp-chap7-20181第7章

數字信號處理系統的實現7.4數字濾波器的系數量化效應7.3輸入信號的量化誤差7.2數的表示與量化誤差7.1數字濾波器結構7.6FFT實現中的量化效應7.5數字濾波器的運算量化效應7.7用Matlab分析數字信號處理系統與量化效應2024/10/25dsp-chap7-20182學習目標：熟練應用系統框圖或信號流圖描述數字信號處理的過程

（a）IIR數字濾波器的三種結構：直接型，級聯型和并聯型；

（b）FIR數字濾波器的結構：直接型，級聯型，線性相位型，

頻率取樣型，頻域快速卷積型；第7章

數字信號處理系統的實現2.了解數字信號處理中有限字長造成的影響和效應

（a）數的二進制表示法；

（b）A/D轉換器的量化誤差及量化效應統計分析；（c）數字濾波器系數量化所產生的誤差及統計分析模型；（d）數字濾波器實現時的運算量化誤差及統計分析模型；

極限環效應（e）FFT實現中的誤差分析2024/10/25dsp-chap7-20183數字濾波器可以用差分方程、單位脈沖響應和系統函數來描述，但對于研究系統的實現，即它的運算結構來說，用方框圖（或信號流圖）表示最為直接。7.1數字濾波器結構E1(z1)x[n]x[n1]單位延時器x1[n]

x2[n]x1[n]+x2[n]加法器x[n]aax[n]數乘器X(z)Y(z)=z

1X(z)z

1X(z)Y(z)=aX(z)aX1(z)Y(z)=X1(z)+X2(z)X2(z)2024/10/25dsp-chap7-20184例1某離散系統的信號流圖如下圖所示，分析系統的系統函數，

并求解其沖激響應。7.1數字濾波器結構z1Y(z)W(z)z1z1423X(z)53Y(z)解：W(z)=X(z)

(3z1+5z2+3z3)W(z)Y(z)=(2z2+4z3)W(z)如果收斂域：2024/10/25dsp-chap7-20185IIR數字濾波器：其沖激響應h[n]是無限長度序列

；

或者系統函數H(z)至少有一個非零的極點。7.1.2IIR數字濾波器結構IIR數字濾波器的結構主要有三種形式：直接型，級聯型，并聯型。2024/10/25dsp-chap7-201867.1.2IIR數字濾波器結構1、IIR數字濾波器的直接I型結構（設M=N）圖7.1-3直接I型結構方框圖

b0x[n]

z

1

b1

z

1

b2

z

1bM

1++++

bM++

z

1

a1y[n]+

z

1

a2

z

1+

aN

1

aN圖7.1-4直接I型信號流圖aNy[n]a1z

1z

1z

1a2aN

1x[n]b0b1z

1z

1z

1b2bM

1bM特點：需要M+N個延時器

（存儲器）2024/10/25dsp-chap7-201877.1.2IIR數字濾波器結構2、IIR數字濾波器的直接II型結構（設M=N）直接II性結構x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bN

1bNa2aN

1aNW(z)特點：需要max（M，N）

個延時器（存儲器）2024/10/25dsp-chap7-201887.1.2IIR數字濾波器結構3、轉置型結構流圖將方框圖或信號流圖中所有支路方向顛倒成反向，且輸入輸出的位置互相調換一下，得到系統的轉置流圖。以前述的直接II型為例：圖7.1-6轉置的直接II型信號流圖

x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1aN2024/10/25dsp-chap7-201897.1.2IIR數字濾波器結構3、轉置型結構流圖直接I、II型結構都稱為直接型結構。其優點是簡單直觀。缺點是：系數ai和bi對濾波器性能（零點和極點）的控制關系不直接，也就是說，當系數ai中有一個發生變化，則所有極點位置都會變化，系數bi對零點的影響也是如此。而且階數N越大，影響也越大。所以高階的IIR濾波器一般會采用級聯或并聯結構以減小上述影響。2024/10/25dsp-chap7-2018107.1.2IIR數字濾波器結構4、IIR數字濾波器的級聯型結構圖7.1-7級聯型的二階基本節Hi(z)1

1i

1iz

1z

1

2i

2i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A圖7.1-8IIR數字濾波器的級聯型結構2024/10/25dsp-chap7-2018117.1.2IIR數字濾波器結構5、IIR數字濾波器的并聯型結構r0ir1i

1iz

1z

1

2iAigiz

1

y[n]

x[n]

C0圖7.1-9IIR數字濾波器的并聯型結構H1(z)

H2(z)

HP(z)

2024/10/25dsp-chap7-2018127.1.2IIR數字濾波器結構例7.1-1分別畫出下式所描述系統的直接II型、并聯型和級聯型結構。解：(1)直接II型，如右圖所示120.75z

1z

10.125x[n]y[n]1(2)并聯型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

251882024/10/25dsp-chap7-2018137.1.2IIR數字濾波器結構(2)并聯型，也可以將上式的并聯型變換一下：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

2526

4(3)級聯型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1注意：（a）級聯和并聯的子系統階數必須低于整個系統的階數；

（b）級聯和并聯子系統的各項系數必須為實數。2024/10/25dsp-chap7-201814FIR數字濾波器：其沖激響應h[n]是有限長度序列，

通常取0

n

N

1

；

從而其系統函數H(z)的極點全是0。7.1.3FIR數字濾波器結構另外，如果FIR數字濾波器的單位沖激響應滿足對稱或反對稱特性，即h[n]=

h[N

1

n]，則FIR濾波器的相位響應具有線性特點。直接型，級聯型，線性相位型，快速卷積型，頻率取樣型。所以，FIR濾波器一般具有如下結構：2024/10/25dsp-chap7-2018151、IIR數字濾波器的直接I型結構（設M=N）

h[0]x[n]

z

1

h[1]

z

1h[2]

z

1h[N2]++++

h[N1]y[n]y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]7.1.3FIR數字濾波器結構y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]2024/10/25dsp-chap7-2018162、FIR數字濾波器的級聯型結構

1iz

1z

1

2i

0i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A7.1.3FIR數字濾波器結構圖7.1-16FIR濾波器的級聯型結構x[n]

01z

1z

1z

1

11

21z

1

02

12

22y[n]

z

1z

1

2L

1L

0L2024/10/25dsp-chap7-2018173、FIR線性相位數字濾波器的線性相位性結構7.1.3FIR數字濾波器結構h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當N為奇數時，當N為偶數時，2024/10/25dsp-chap7-2018183、FIR線性相位數字濾波器的線性相位性結構7.1.3FIR數字濾波器結構h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當N為奇數時，當N為偶數時，x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(a)z

1z

1z

1h[1]h[2]h[(N

1)/2]h[(N

3)/2]

1

1

1x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(b)z

1z

1z

1h[1]h[2]

1

1

1z

1

1h[(N/2)2]h[(N/2)1]2024/10/25dsp-chap7-2018194、FIR數字濾波器的快速卷積型結構7.1.3FIR數字濾波器結構假設輸入信號x[n]長度為N1，如果取N

N1+N2

1，并假設x[n]和h[n]的N點DFT分別為X[k]和H[k]，則根據DFT的圓周卷積定理，有y[n]

Y[k]=H[k]X[k]也即：

y[n]=IDFT[H[k]X[k]]x[n]0

n

N1

1補零N點DFTh[n]0

n

N2

1he[n]0

n

N

1H[k]0

k

N

1

N點IDFTy[n]0

n

N1+N2

2補零N點DFTxe[n]0

n

N

1X[k]0

k

N

1H[k]X[k]0

k

N

12024/10/25dsp-chap7-2018205、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構設h[n]的N點DFT為H[k]，則圖7.1-18FIR濾波器的頻率采樣型結構x[n]y[n]

z

NH[N

1]z

1WN

(N

1)H[1]z

1WN

1H[0]z

1WN01/N（a）原理：2024/10/25dsp-chap7-2018215、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構（b）特點：（1）Hc(z)是一個由N節延時單元組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有N個等分的零點，而一階濾波器Hk(z)在單位圓上有一個對應的極點；（2）系數H[k]和WN

k都是復數，增加了運算的復雜性；（3）所有諧振器的極點都在單位圓上，由于量化效應的影響，系統的穩定性不能保證。2024/10/25dsp-chap7-2018225、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構（c）修正的頻率采樣型結構：當N為偶數時，當N為奇數時，其中：r0k=2Re[H[k]]，r1k=

2Re[rH[k]WNk]2024/10/25dsp-chap7-201823例7.1-2已知FIR濾波器的系統函數為：

H(z)=(1+0.5z

1)(1+2z

1)(1

0.25z

1)(1

4z

1)

分別畫出它的直接型、級聯型、線性相位型和頻率采樣型結構。解：(1)直接型，如右圖所示(2)級聯型（一階節級聯）：7.1.3FIR數字濾波器結構H(z)=1

1.75z

1

8.625z

2

1.75z

3+z

4x[n]z

1y[n]

z

1z

1z

1

1.75

8.625

1.75(a)

x[n]z

1z

10.52y[n]

z

1

4z

1

0.25(b-1)2024/10/25dsp-chap7-201824(2)級聯型，也可以將上式的級聯型變換為二階節的級聯：H(z)=(1+2.5z

1+z

2)(1

4.25z

1+z

2)----線性相位7.1.3FIR數字濾波器結構(b-2)x[n]z

1z

1z

12.5z

1

4.25y[n]

(3)線性相位型結構：：H(z)=(1+z

4)

1.75(z

1+z

3)

8.625z

2(c)x[n]z

1z

1

y[n]

z

1

1.75

8.625

z

12024/10/25dsp-chap7-201825(4)頻率采樣型結構：取H(z)的8等分點采樣值為：H[k]={

10.125，j11.10，10.625，

j6.15，

3.125，j6.15，10.625，

j11.10}，0

k

77.1.3FIR數字濾波器結構設修正半徑r=1（即不修正極點位置）y[n]

x[n]

z

81/821.251.414

115.695

8.696z

1z

1

1z

1z

1

1

3.125z

1

10.125z

1

1.414

1z

1z

12024/10/25dsp-chap7-201826數的記錄與表示：7.2數的表示與量化誤差如：123.456=1102+2101+3100+4101+5102+6103日常記數法：十進制，包含十個不同的數碼0，1，2，…，9；基：10；高位低位整數小數（尾數）權位數字信號處理中：二進制，包含二個不同的數碼0，1；基：2；如：11001.1101=124+123+022+021+120

+121+122+023+124為縮短二進制表示的長度或快速讀寫二進制數：八進制，十六進制如：11001.1101=（31.64）8=（1A.E）162024/10/25dsp-chap7-2018271.定點二進制數：小數點位置固定不動7.2.1二進制數的表示再如：（11001.1101）2=（25.8125）10，用定點小數（二進制）表示：（25.8125/32）10=（0.806640625）10=（0.110011101）2但為了運算方便，通常定點制都把數

a限制在

1之間，即

1<a<1。這時，小數點固定在分數的第一位二進碼之前，而整數位定義為“符號位”，代表數的正負(“0”表示正數，“1”表示負數)，小數部分稱為“尾數”。如：（0.101）2=（0.625）10定點數有三種編碼方式：（1）原碼：也稱“符號-幅度碼”；（2）補碼：也稱“2的補碼”；（3）反碼：也稱“1的補碼”；三種編碼對于正數來說，完全相同；但是對于負數，則有不同的表示。例：（

0.625）10=（

1.101）2原=（

1.011）2補=（

1.010）2反2024/10/25dsp-chap7-2018281.定點二進制數：小數點位置固定不動7.2.1二進制數的表示特點：定點數做加減法運算其結果可能或超出

1的范圍，稱為“溢出”。定點數做乘法運算不會造成溢出，但是字長卻要增加一倍，一般在定點乘法運算以后需要對尾數做截尾或舍入處理，以保證字長不變，但是這樣處理后會帶來截尾誤差或舍入誤差。2.浮點二進制數：x=M

2c，M是它的尾數部分，2c是它的指數部分，c是階數，稱為“階碼”。尾數和階碼都用帶符號的定點數表示，通常M的范圍是0.5

|M|<1特點：浮點數做加減法運算：需要對階，然后再做加減；其動態范圍很大，不會出現“溢出”。浮點數做乘法運算時：階碼相加，尾數相乘但不論做加減或乘法運算，都存在尾數的截尾或舍入處理而帶來誤差的問題。2024/10/25dsp-chap7-2018291.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差當定點系統采取截尾處理時，對于正數，三種碼的表示法是相同的，因而量化的影響也是相同的。設

x是(b1+1)位的正數：即其十進制的數值為：截尾后字長為b位，顯然b<b1，對x截尾后的量化值用QT[x]表示為截尾的量化誤差用ET表示，為當

i=0，i=b+1，b+2，

，b1時，取等號，即ET=0當

i=1，i=b+1，b+2，

，b1時，誤差達到最大值，即2024/10/25dsp-chap7-2018301.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（a）負數原碼：截尾的量化誤差用ET表示，為令q=2

b，它是(b+1)位(含符號位)字長正數的最小值，這個值稱為“量化寬度”或“量化階”。定點正數的截尾誤差為：

q<ET

0定點負數原碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018311.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（b）負數反碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點負數反碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018321.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（c）負數補碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點負數反碼的截尾誤差為：

q<ET

0歸結起來，定點表示法的截尾誤差為：正數及負數補碼的截尾誤差為負數，其范圍：

q<ET

0；負數原碼與負數反碼的截尾誤差為正數，其范圍：0

ET<q。2024/10/25dsp-chap7-2018332.舍入誤差7.2.2定點制的量化誤差對字長為(b1+1)位的定點數作舍入處理時，是通過對尾數的第(b+1)位加1，然后截取到b位實現的。舍入之后的量化間距為q=2

b，即兩個數間最小非零差是q。無論是原碼、反碼還是補碼，其誤差總是在

q/2之間。以QR[x]表示對x作舍入處理，ER表示舍入誤差，則有

q/2<ER

q/2例7.2-1

若寄存器字長b=2的數字系統，當經過運算處理后字長增加到b1=4。現有運算后的三個數：

負數原碼x1B=1.1001，負數反碼x2反=1.1010，和負數補碼x3補=1.1010（1）若采用截尾處理，分別求出上述三數所引起的誤差；（2）若采用舍入處理，分別求出上述三數所引起的誤差。解：（1）采用截尾處理：x1B=1.1001，QT[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QT[x1]

D=

0.5；所以：ET=QT[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-2018347.2.2定點制的量化誤差解：（1）采用截尾處理：類似地x2反=1.1010,QT[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QT[x2]

D=

0.25；所以：ET=QT[x2]

D

x2D=0.0625>0x3補=1.1010，

QT[x3補]

B=1.10，即

x3D=

0.375，

QT[x3]

D=

0.5；所以：ET=QT[x3]

D

x3D=

0.125<0（2）采用舍入處理：x2反=1.1010,QR[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QR[x2]

D=

0.25；所以：ER=QR[x2]

D

x2D=0.0625>0x3補=1.1010，

QR[x3補]

B=1.11，即

x3D=

0.375，

QR[x3]

D=

0.25；所以：ER=QR[x3]

D

x3D=0.125>0x1B=1.1001，QR[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QR[x1]

D=

0.5；所以：ER=QR[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-201835常用的數字信號處理框圖如下圖1所示：7.3輸入信號的量化誤差A/D轉換器數字信號處理器D/A轉換器圖1數字信號處理系統的簡單方框圖xa(t)ya(t)x[n]y[n]沖激串轉換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)量化編碼模數(A/D)轉換器是將模擬信號xa(t)轉換為(b+1)位數字信號輸出的器件。在原則上可把轉換視為兩級過程：第一級采樣，由模擬信號xa(t)產生序列x[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT)，這里x[n]以無限精度表示；第二級量化，即將采樣序列的每個樣本x[n]進行截尾或舍入的量化處理，從而得到有限字長的數字信號2024/10/25dsp-chap7-201836分析A/D轉換器量化效應的目的在于選擇合適的信號字長，以滿足信號處理（主要是信噪比）指標。7.3.1A/D轉換的量化效應在具體討論A/D轉換器量化效應之前，對模擬信號作一些規定：（1）為使采樣后不造成混疊失真，模擬信號xa(t)必須是帶限的。

否則A/D轉換器前一般都加一個前置的模擬低通濾波器；（2）要求模擬信號規格化。

如假設量化器輸出值表示成(b+1)位的補碼定點小數，為了保證未量化的采樣值x[n]都處在(b+1)位數的數值范圍內，則要求輸入模擬波形必須被規格化成由于量化時，字長有限，從而產生量化誤差(也稱量化噪聲)：2024/10/25dsp-chap7-2018377.3.1A/D轉換的量化效應A/D轉換器的量化噪聲模型：采樣量化xa(t)x[n]=xa(nT)采樣xa(t)x[n]=xa(nT)e[n]7.3.2量化誤差統計模型及信噪比實際的量化過程是非線性過程，但為簡化分析，我們通常將其視為線性過程，其量化采樣值表示為2024/10/25dsp-chap7-2018387.3.2量化誤差統計模型及信噪比進行統計分析時，通常假設誤差e[n]具有如下的統計特性：（1）e[n]是平穩隨機序列；（2）e[n]與采樣序列x[n]不相關；（3）e[n]序列本身的任意兩個值之間不相關，也即e[n]是白噪聲序列；（4）e[n]在誤差范圍內均勻分布。根據這樣的假定，量化誤差就是一個與信號序列完全不相關的白噪聲序列，因此也稱為量化噪聲，它與信號的關系是相加的。應用概率論和隨機過程的分析方法，采用平均值、方差等來描述噪聲序列e[n]的特征：對于定點舍入情況，誤差序列eR[n]的概率密度函數為eR[n]圖7.3-2舍入噪聲的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

2024/10/25dsp-chap7-2018397.3.2量化誤差統計模型及信噪比對于定點舍入情況，誤差序列eR[n]的概率密度函數為eR[n]圖7.3-2舍入噪聲的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

對于定點截尾情況，誤差序列eT[n]的概率密度函數為eT[n]圖7.3-3補碼截尾噪聲的概率分布1/q

q/2O

P[eT[n]]2024/10/25dsp-chap7-2018407.3.2量化誤差統計模型及信噪比舍入和補碼截尾的量化誤差，其均值不同，但方差相同，都為q2/12，顯然，字長越長，q越小，量化噪聲（功率）越小。我們關心的是量化噪聲所造成的對信號的影響，這種影響是通過“信噪比”這一指標進行衡量。設信號的功率是

x2，則信噪比定義為信號功率與噪聲功率之比，即實用中，常用分貝表示（取對數），則為①信號功率越大，即

x2越大，信噪比越大；②隨著字長的增加，信噪比增大，且字長每增加1位，信噪比約提高6dB。2024/10/25dsp-chap7-2018417.3.2量化誤差統計模型及信噪比當輸入信號超過A/D轉換器的量化動態范圍時，必須壓縮輸入信號幅度，也就是說對Ax[n](0<A<1)作量化處理，而Ax[n]的功率為A2

x2，所以此時的信噪比應為由于0<A<1，則log10A為負數，因此壓縮信號幅度，將使信噪比受到損失。例7.3-1已知x[n]在

1之間均勻分布，且均值E[x[n]]=0，

求A/D轉換器的信噪比。解：當A/D轉換器的字長b為10時，信噪比SNR

66dB。2024/10/25dsp-chap7-2018427.3.3量化誤差通過線性系統引起數字系統誤差的因素有多種，總的來說，大致分為三類：①由系統本身參數的數字化而產生；②由系統運行中的數學計算產生；③輸入信號量化產生。對于線性系統，可以認為這三種誤差在輸出端所產生的誤差輸出是相互獨立的，而且和系統本身的輸出信號也是不相關的，這樣就可以分別考慮各種因素所造成的誤差輸出，再經疊加得到系統的總輸出誤差。設單位脈沖響應為h[n]的LTI離散時間系統，h[n]是實序列，當經A/D轉換后的量化信號經過此系統時，系統實際輸出為：因為x[n]和e[n]互不相關，h[n]x[n]圖7.3-4量化噪聲通過線性系統e[n]2024/10/25dsp-chap7-2018437.3.3量化誤差通過線性系統其中：y[n]=h[n]

x[n]；ef[n]=h[n]

e[n]，或者如果e[n]是舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：（假設系統是因果系統）由于e[n]是白噪聲，所以根據Parseval定理，所以2024/10/25dsp-chap7-2018447.3.3量化誤差通過線性系統例7.3-2某一階因果LTI系統可用下式差分方程描述

y[n]+ay[n

1]=x[n]，|a|<1假設一個(b+1)位的A/D轉換器，其輸出通過上述系統后。求此系統輸出端的量化噪聲方差

f2。解：由于A/D轉換器的量化效應，輸入此濾波器的噪聲方差為對于上述一階系統，其沖激響應為h[n]=anu[n]，從而其輸出噪聲的方差為2024/10/25dsp-chap7-201845設N階IIR數字濾波器的系統函數為：7.4數字濾波器的系數量化效應實際實現時，字長總是有限的，即ai和bi并不能準確的取所要求的值，導致實際濾波器的極點和零點位置與理論設計的發生偏離而產生誤差，解：理想條件下，系統的極點為p1=0.902，p2=0.943，

因而系統穩定；例7.4-1理想條件下，因果LTI離散系統的系統函數為：實際實現時，小數點后只能保留兩位有效數字，分析該系統在理想條件下和實際實現時的極點位置和穩定性問題。2024/10/25dsp-chap7-2018467.4數字濾波器的系數量化效應實際實現此系統時，假設采用舍入處理，則系統函數成為實際實現時，系統的極點為即在實際實現時，極點出現在單位圓上，而成了臨街穩定系統（不穩定系統，收斂域不包含單位圓）。理想狀況下（無限精度）：系統的單位沖激響應為：

h[n]=[23

(0.943)n

22

(0.902)n]u[n]實際狀況下（有限精度）：系統的單位沖激響應為：2024/10/25dsp-chap7-2018477.4.1系數量化對零、極點位置的影響極點位置靈敏度：是指每個極點位置對各系數偏差的敏感程度。理想精度下的系統函數：有限精度下的系統函數：其中：討論系數量化對極點的影響。設系統H(z)的極點位于p=pk，k=1，2，…，N，則系統函數的分母多項式為（無限精度下）：有限精度下系統函數的極點成為：2024/10/25dsp-chap7-2018487.4.1系數量化對零、極點位置的影響極點pk的位置誤差

pk與各系數誤差

ai的關系為由于：所以故：因為所以：2024/10/25dsp-chap7-2018497.4.1系數量化對零、極點位置的影響極點pk的位置誤差

pk與各系數誤差

ai的關系為上式表示了第k個極點pk對H(z)的分母多項式中第i個系數ai變化(誤差)的靈敏度。但它只對單階極點有效，多階極點可以進行類似推導。上式中分母的每一個因子(pk

pm)都是由極點pm指向極點pk的矢量，即整個分母為所有極點指向該極點pk的矢量積。這些矢量越長，即極點彼此間距離越遠時，極點位置靈敏度就越低；這些矢量越短，即極點彼此越密集時，極點位置靈敏度就越高。在相同程度的系數量化誤差水平下，極點靈敏度越高，系數量化誤差對極點偏移造成的影響就越大。高階直接型結構濾波器極點數目多而密集，低階直接型濾波器極點數目少而稀疏，因此高階直接型濾波器的極點位置靈敏度要比低階的敏感得多（大得多）。2024/10/25dsp-chap7-2018507.4.1系數量化對零、極點位置的影響例7.4-2試確定數字濾波器系數量化所需的最小字長，

要求保持極點位置誤差小于0.5%，已知系統函數為解：系統的極點為

p1=

0.85+j0.15，p2=

0.85

j0.15

設

a1=

1.7，a2=

0.745，b=0.0373。

根據式(7.4-6)，求得a2對極點p1和p2的影響：假設系數a1沒有量化誤差，即

a1=0，從而根據式(7.4-4)，有如果采用定點制的舍入誤差處理，設小數點后為b位，利用式(7.2-6)，系數量化階q=2|

a2|=2.590

10

3>2

b，從而系數量化所需的最小字長b應為9。2024/10/25dsp-chap7-2018517.4.2系數量化效應的統計分析理想精度下的系統函數：有限精度下的系統函數：其中：假設量化后系數采用小數點后b位字長，則在舍入量化情況下，每個誤差在(

q/2，q/2)間隔內均勻分布，誤差的平均值為零，方差為q2/12。

從而系統在有限精度實現時和無限精度計算時輸出信號的偏差為：2024/10/25dsp-chap7-2018527.4.2系數量化效應的統計分析如果忽略二階誤差：對上式取z變換，則有：其中：而：Y(z)=H(z)X(z)=[B(z)/A(z)]X(z)2024/10/25dsp-chap7-2018537.4.2系數量化效應的統計分析記：無限精度濾波器H(z)偏差濾波器HE(z)圖7.4-1系數量化后濾波器的等效模型y[n]e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018547.4.2系數量化效應的統計分析有限精度下（實際濾波器）的系統函數：有限精度下（實際濾波器）的頻率響應：偏差濾波器的頻率響應：以頻響特性的均方誤差

2作為頻響特性偏差的度量，則一般地，

ai，

bi值并不能準確知道，而我們已假設它們都是獨立的均勻分布的隨機變量，在舍入的情況下，它們的平均值和方差分別為E[

ai]=E[

bi]=0，和

2=E[(

ai)2]=E[(

bi)2]=q2/12。這樣，對偏差

2求數學期望，得到頻響特性偏差的均方值為2024/10/25dsp-chap7-2018557.4.2系數量化效應的統計分析頻響特性偏差的均方值為：利用：偏差濾波器的頻率響應：如果：r和u分別是系統函數H(z)的分母和分子多項式的非零、非1系數的數目，2024/10/25dsp-chap7-2018567.4.2系數量化效應的統計分析例7.4-3分析一階濾波器在系數A和a量化條件下偏差濾波器的方差

2。

已知一階濾波器的系統函數為解：偏差濾波器的方差：如果極點p

=a接近單位圓時，即|a|

1，則上式中第二項將變得很大，此時略去第一項，并取1+a

2和1+a2

2，則得到2024/10/25dsp-chap7-201857濾波器實現過程中，有乘系數、相加和延遲運算：延遲則是遲后一個采樣周期取出，不造成字長變化；乘系數運算會出現字長超長，所以需要作舍入或截尾處理；相加運算，對于定點制來講，可能產生溢出。對浮點制則會造成字長超長。所以在濾波器實現過程中，要注意處理兩個問題：①采用定點制時，防止加法溢出；②對超長的數必須隨時進行舍入或截尾處理。7.5數字濾波器的運算量化效應①

確定信號的動態范圍，以保證不產生溢出誤差；

②合理選擇量化字長，以盡量減小因尾數處理而產生的誤差，以滿足信噪比指標要求。2024/10/25dsp-chap7-2018587.5數字濾波器的運算量化效應研究定點實現相乘運算的流圖如下圖7.5-1所示。圖中(a)表示無限精度的乘積運算；

圖

(b)表示有限精度乘積，[

]表示量化處理；

(c)表示有限精度乘積運算的噪聲統計模型。（a）x[n]ay[n]

x[n]ay[n]

[

]

（b）x[n]ae[n]

（c）（a）理想相乘；(b)有限精度實現的相乘；(c)統計分析模型圖7.5-1定點相乘運算的流圖表示

本教材中以運算誤差舍入量化噪聲為例進行分析。并對噪聲e[n]的統計特性作如下假設（1）e[n]是平穩隨機序列；（2）e[n]是白噪聲序列，在量化間隔上均勻分布；（3）e[n]中任意兩個來自不同的噪聲互不相關；（4）e[n]與采樣序列x[n]及中間計算結果都不相關。對于舍入量化處理，e[n]的均值為0，方差為

e2=q2/12。2024/10/25dsp-chap7-2018597.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應1．乘法運算誤差對輸出信號的影響設IIR數字濾波器的系統函數為其直接型I型結構如圖所示(假設M=N)：aN圖7.5-2直接I型運算量化噪聲統計模型b0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]e0[n]e1[n]e2[n]eM

1[n]eM[n]eM+N[n]eM+1[n]eM+2[n]eM+N

1[n]對于舍入量化處理，其中每一個噪聲（誤差）ei[n]均值都為：0，方差為：

e2=q2/12。那么總的噪聲是所有噪聲ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e總2=E[e2[n]]=(M+N+1)

e2=(M+N+1)

q2/122024/10/25dsp-chap7-2018607.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應1．乘法運算誤差對輸出信號的影響aNb0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]那么總的噪聲是所有噪聲ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e總2=E[e2[n]]=(M+N+1)q2/12e[n]從而乘法運算噪聲在輸出端產生的輸出為：輸出噪聲ef[n]的均值和方差分別為：2024/10/25dsp-chap7-2018617.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應例7.5-1采用定點制算法，尾數作舍入處理，分析系統的直接型、級聯型

和并聯型結構的算術運算誤差所產生的輸出噪聲方差

2。

設系統函數為解：（1）直接型結構：系統的乘法運算噪聲模型如圖所示，e0[n]0.041.7z

1z

1

0.72e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018627.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應（2）級聯型結構：設e0[n]0.040.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018637.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應（3）并聯型結構：e0[n]0.360.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]

0.32e3[n]比較該系統三種實現結構的運算噪聲誤差，可以看出直接型結構的輸出誤差最大，級聯型次之，并聯型最小。2024/10/25dsp-chap7-2018647.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）在濾波器實現中必有加法器，而定點加法運算雖不出現舍入誤差，但卻可能出現溢出，為了避免溢出，希望信號的幅度不要過大；而A/D轉換器為了得到高的數據精度，又要求信號幅度盡可能大，這是一對矛盾。設x[n]是濾波器的輸入，yk[n]表示第k個節點上的輸出，hk[n]表示從輸入信號到第k個節點的單位脈沖響應，假設若x[n]是有界的，滿足|x[n]|

xmax，則有為防止溢出，要求|yk[n]|<1，所以必須要求在所有節點處滿足2024/10/25dsp-chap7-2018657.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）（1）當輸入信號是寬帶信號，即近似廣義平穩白噪聲信號時，假設輸入x[n]是均為分布的廣義平穩白噪聲信號，其值范圍為(

xmax，xmax)。為防止溢出，要求

xmax=（1|a|），從而輸入信號的方差為：而系統輸出信號的方差（功率）為：（a）一階系統：

單位脈沖響應：

h[n]=anu[n]，系統函數：az

1e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018667.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）（1）當輸入信號是寬帶信號，即近似廣義平穩白噪聲信號時，假設輸入x[n]是均為分布的廣義平穩白噪聲信號，其值范圍為(

xmax，xmax)。系統輸出信號的方差（功率）為：當采用(b+1)位舍入時，由乘法運算量化噪聲經系統處理后的輸出方差為（a）一階系統：

單位脈沖響應

h[n]=anu[n]，系統函數：az

1e[n]x[n]輸出端信噪比2024/10/25dsp-chap7-2018677.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）（1）假設輸入x[n]是均為分布的廣義平穩白噪聲信號，

其值范圍為(

xmax，xmax)。當采用(b+1)位舍入時，由乘法運算量化噪聲經系統處理后的輸出方差為為防止溢出，要求（b）二階系統（因果系統）：

系統函數：假設一對復數極點：p1,2=re

j

2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018687.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）系統輸出信號的方差（功率）為：（b）二階系統（因果系統）：系統函數：輸出端信噪比2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

1從而輸入信號的方差為：2024/10/25dsp-chap7-2018697.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）（2）當輸入信號是等幅正弦序列時，假設輸入x[n]=Acos

0n

。（a）一階系統：

單位脈沖響應：

h[n]=anu[n]，系統函數：濾波器的穩態輸出仍是同頻率的正弦序列y[n]=Bcos(n

0+

)。為使輸出信號能量最大，要求B盡量大；但為防止溢出，B又必須小于1。為此，選擇A以使B=1，這時y[n]=cos(n

0+

)，可以得到最小的噪聲信號比。輸出y[n]的方差為：

y2=E[y2[n]]=E[cos2(n

0+

)]=0.5az

1e[n]x[n]當采用(b+1)位舍入時，由乘法運算量化噪聲經系統處理后的輸出方差為2024/10/25dsp-chap7-2018707.5.1IIR數字濾波器的運算量化效應2．加法運算誤差對輸入信號的要求（動態范圍）（2）當輸入信號是等幅正弦序列時，假設輸入x[n]=Acos

0n

。（a）一階系統：

輸出的運算舍入誤差方差與輸出信號方差之比為（b）二階系統（因果系統）：

系統函數：輸出的運算舍入誤差方差與輸出信號方差之比為2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018717.5.2FIR數字濾波器的運算量化效應與IIR數字濾波器相比，FIR濾波器的直接型、和級聯型結構少了反饋單元，其余和IIR濾波器的結構相同，因而前述的IIR濾波器對于乘法運算和加法運算的分析方法，可以直接用于FIR數字濾波器的分析，而相似的分析思想也可以用于FIR濾波器的其他實現結構。假設一個N

1階FIR濾波器的單位脈沖響應為h[n]，0

n

N

1，則在其實現時，采用有限精度的舍入處理方法，得到直接型結構的運算噪聲統計模型如圖7.5-9所示：圖7.5-9FIR濾波器直接型結構的運算噪聲統計模型x[n]h[0]z

1=y[n]+ef[n]z

1z

1z

1h[1]h[2]h[N

3]h[N

2]h[N

1]e0[n]e1[n]e2[n]eN

3[n]eN

2[n]eN

1[n]2024/10/25dsp-chap7-2018727.5.2FIR數字濾波器的運算量化效應FIR濾波器的實際輸出為輸出噪聲為輸出噪聲的方差為FIR濾波器直接型結構的運算噪聲輸出方差既與字長b有關，也與階數N

1有關，且階數越高(N

1越大)，字長越短(b越小)，量化噪聲越大。FIR濾波器的輸入信號的動態范圍：假設輸入信號x[n]是有界信號，滿足|x[n]|

xmax，則要求

|y[n]|<1，對輸入x[n]采用標度因子A，使得2024/10/25dsp-chap7-2018737.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應對于無限精度運算的IIR數字濾波器，只要它的極點在單位圓內部，總是穩定的。實際上，當該IIR濾波器以有限精度的運算實現時，由于運算過程中的尾數處理和溢出，導致系統的輸出永遠不能歸零，或停留在某一數值上，或在一個固定數區間振蕩，這種現象稱之為極限環振蕩。1．低電平極限環振蕩設一階IIR數字濾波器的系統函數為在無限精度下，其輸出為：y[n]=ay[n

1]+x[n]在定點有限精度下，其輸出為（假設采用舍入處理）：2024/10/25dsp-chap7-201874如采用字長

b=3，濾波器系數a=0.110（二進制）當輸入信號

x[n]=0.101

[n]無限精度實現時：

y[n]=0.625an=0.625

(0.75)n

0（n

）。有限精度實現時，輸出見下表所示：7.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應nx[n]00.1010.0000.0000.0000.101=(0.625)D10.0000.1010.0111100.1000.100=(0.500)D20.0000.1000.0110000.0110.011=(0.375)D30.0000.0110.0100100.0100.010=(0.250)D40.0000.0100.0011000.0100.010=(0.250)D2024/10/25dsp-chap7-201875因為7.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應舍入處理就使系數a失效，或者說相當于使a換成了一個絕對值為1的等效系數a

，滿足|a

|=1，且a

=a/|a|。這也使得系統函數等效為極點由|a|<1移到了單位圓上|a

|=1，系統失去穩定，因此出現振蕩。進一步分析極限環的振蕩幅度與字長的關系。由于舍入誤差的絕對值在q/2以內：增加字長可以減弱極限環振蕩。2024/10/25dsp-chap7-2018767.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應2．大信號極限環振蕩設二階IIR數字濾波器的系統函數為在無限精度下，其輸出為：y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]+x[n]其極點可以是實數，也可以是共軛的復數，記為：在IIR濾波器的定點運算補碼實現時，如果其加法運算出現溢出，則在輸入信號比較大時也會引起系統振蕩，稱為大信號極限環振蕩或溢出振蕩。根據穩定系統要求，即|p1,2|<1，

故|a2|<1（p1

p2=

a2）；(1

p12)

(1

p22)>0，即1+p12p22>p12+p222024/10/25dsp-chap7-201877所以：(1+p1p2)2>(p1+p2)2。由于a1、a2都是實系數，故有(1

a2)2>a12，即1

a2>|a1|或者|a1|+a2<1此二階濾波器要穩定，則其系數a1、a2必須滿足以下不等式|a1|+a2<1及|a2|<1對于定點補碼運算，由于2的補碼加法器的作用，對真實總和作非線性變換，其特點是：只有當各輸入之和x滿足|x|

<1時，加法器才作真正的加法運算。假設輸入信號為零，則其輸出為：7.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應圖7.5-13補碼加法器的輸入輸出特性Ox

1f[x]121

1y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]經補碼加法器后，其真實輸出為：y[n]=f[a1y[n

1]+a2y[n

2]]2024/10/25dsp-chap7-2018787.5.3IIR數字濾波器的極限環振蕩效應對于二階IIR濾波器，只有分母系數滿足|a1|+|a2|<1，即處于圖7.5-12中正方形FBCD的內部陰影區域內，在采用補碼加法器時，才不會產生溢出。圖7.5-12二階IIR濾波器的穩定區域Oa1A(

2,

1)a2B(

1,0)C(0,

1)D(1,0)E(2,

1)F(0,1)2024/10/25dsp-chap7-201879FFT是DFT的快速算法，它的基本運算是由復數乘法和復數加法構成的蝶形運算。因而與數字濾波器相似，FFT實現中也存在著由有限字長引起的量化誤差。7.6FFT實現中的量化誤差分析7.6.1定點FFT計算中量化效應分析以基2-DIT-FFT算法系統為例，討論其運算舍入誤差和系數量化誤差：設長度為N=2

的序列x[n]的N點DFT為X[k]，0

k

N

1。若用FFT算法實現DFTX[k]的計算，則需要蝶形運算的級數為

=log2N級，其中第m級的迭代公式為Xm[i]=Xm

1[i]+Xm

1[j]WNrXm[j]=Xm

1[i]

Xm

1[j]WNr

1WNrXm

1[i]e[m,j]Xm

1[j]圖中，e[m,j]復數乘法引入的舍入誤差源，是復數，由于每個復數乘包括4個實數乘，因此e[m,j]中包含四個實數誤差源。2024/10/25dsp-chap7-2018807.6FFT實現中的量化誤差分析7.6.1定點FFT計算中量化效應分析[Xm

1[j]WNr]R={Re[Xm

1[j]]Re[WNr]+e1

Im[Xm

1[j]]Im[WNr]+e2}+j{Re[Xm

1[j]]Im[WNr]+e3+Im[Xm

1[j]]Re[WNr]+e4}=Xm

1[j]WNr+e[m,j]也即：e[m,j]=(e1+e2)+j(e3+e4)噪聲方差為：E[|e[m,j]|2]=q2/3=

B2x[0]W8

0W8

0W8

0W8

0

1

1W8

0

1W8

0W8

0

1x[4]x[2]x