第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件10.1.2事件的關系和運算學習目標素養要求1．結合實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系數學抽象2．理解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并交運算數學抽象、邏輯推理|自學導引|隨機試驗1．隨機試驗(1)定義：把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗．(2)特點：①試驗可以在____________下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且_________個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先____________出現哪一個結果．相同條件不止一不能確定2．樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗E的每個可能的__________稱為樣本點，______________的集合稱為試驗E的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．若一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．基本結果全體樣本點【預習自測】寫出下列試驗的樣本空間：(1)甲、乙兩隊進行一場足球賽，觀察甲隊比賽結果(包括平局)__________________．(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，觀察其中次品數__________________．【答案】(1)Ω＝{勝，平，負}

(2)Ω＝{0，1，2，3，4}【解析】(1)對于甲隊來說，有勝、平、負三種結果．(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，其次品的個數可能為0，1，2，3，4，不可能再有其他結果．三種事件的定義隨機事件我們將樣本空間Ω的________稱為E的隨機事件，簡稱事件，并把只包含________樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C等表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱?為不可能事件子集一個【預習自測】判斷下列命題是否正確．(對的畫“√”，錯的畫“×”)(1)試驗的樣本點個數是有限的． (

)(2)某同學競選本班班長成功是隨機事件． (

)(3)連續拋擲一枚硬幣2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一個樣本點．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×【解析】(1)試驗的樣本點的個數也可能是無限的．(2)由隨機事件的定義知正確．(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的樣本點．事件的關系和運算1．包含關系定義一般地，若事件A發生，則事件B__________，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發生導致B發生符號表示B______A(或A______B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B?A且A?B，那么稱事件A與事件B________，記作________一定發生?

?

相等A＝B

2．并事件(和事件)定義一般地，事件A與事件B______________發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少有一個發生符號表示________(或________)圖形表示至少有一個A∪B

A＋B

3．交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B________發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時發生符號表示________(或)________圖形表示

同時A∩B

AB

4．互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B_______________，也就是說________是一個不可能事件，即___________，那么稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發生符號表示________圖形表示不能同時發生A∩B

A∩B＝?

A∩B＝?

5．互為對立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次實驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且___________，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為_______含義A與B有且僅有一個發生符號表示____________且____________圖形表示A∩B＝?

A∪B＝Ω

A∩B＝?

【預習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)從裝有6個小球的袋子中任取2個小球，則事件“至少1個是紅球”與“至多1個紅球”是對立事件． (

)(2)在擲骰子的試驗中，事件“出現偶數點”和事件“出現的點數不小于3”的交事件為“出現的點數為6”． (

)(3)若事件A和B為互斥事件，且P(A∪B)＝1，則A和B為對立事件．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√【解析】(1)兩個事件的交事件為“只有1個紅球”，故不是對立事件．(2)兩事件的交事件為“出現的點數為4或6”．(3)因為A與B互斥，且P(A∪B)＝1，故A與B不同時發生，且必然有一個發生，所以A和B為對立事件．|課堂互動|題型1事件的判斷指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的內角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現正面向上；(5)從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；(6)科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現．解：(1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件．(2)所有三角形的內角和均為180°，所以是必然事件．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件．(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機事件．(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4號標簽中的任一張，所以是隨機事件．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現，所以是不可能事件．事件類型的判斷方法判斷一個事件是哪類事件要看兩點：一看條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；二看結果是否發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．1．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②“當x為某一實數時，可使x2＜0”是不可能事件；③“明天蘭州要下雨”是必然事件；④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件．其中正確命題的序號是

(

)A．①②③ B．②③④C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”一定發生，是必然事件，①正確；②“當x為某一實數時，可使x2＜0”不可能發生，沒有哪個實數的平方小于0，是不可能事件，②正確；③“明天蘭州要下雨”是隨機事件，故③錯；④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”有可能發生，有可能不發生，是隨機事件，故④正確．題型2樣本點與樣本空間下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的樣本空間．(1)先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素．解：(1)一次試驗是指“先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次”，試驗的樣本空間為{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合”，試驗的樣本空間為{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．寫樣本空間的三種方法(1)列舉法：適用于樣本點個數不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏．(2)列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結果相對較多的樣本點個數的求解問題，通常把樣本歸納為“有序實數對”，也可用坐標法，列表法的優點是準確、全面、不易遺漏．(3)樹狀圖法：適用于較復雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結果可以用樹狀圖進行列舉．2．(2023年北京通州區期中)拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，該試驗的樣本空間中樣本點的個數為 (

)A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，有先后順序，則此試驗的樣本空間為{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．故選C．題型3事件關系的判斷從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．解：(1)是互斥事件，不是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得牌點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件．互斥事件、對立事件的判定方法(1)利用基本概念來判斷①互斥事件不可能同時發生；②對立事件首先是互斥事件，且必須有一個要發生．(2)利用集合的觀點來判斷設事件A與B所含的結果組成的集合分別是A，B．①事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA．3．從一批產品中取出3件產品，設A＝{3件產品全不是次品}，B＝{3件產品全是次品}，C＝{3件產品不全是次品}，則下列結論正確是__________．(填寫序號)①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立．【答案】①②⑤【解析】A＝{3件產品全不是次品}，指的是3件產品全是正品，B＝{3件產品全是次品}，C＝{3件產品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對立；A與C是包含關系，不是互斥事件，更不是對立事件；B與C是互斥事件，也是對立事件．所以正確結論的序號為①②⑤．題型4事件的運算在投擲骰子試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件，如：A＝{出現1點}，B＝{出現3點或4點}，C＝{出現的點數是奇數}，D＝{出現的點數是偶數}．(1)說明以上4個事件的關系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．解：在投擲骰子的試驗中，根據向上出現的點數有6種基本事件，記作Ai＝{出現的點數為i}(其中i＝1，2，…，6)，則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件．(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現的點數為1或3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現的點數為1或2或4或6}．B∩D＝A4＝{出現的點數為4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現的點數為1或3或4或5}．進行事件運算應注意的問題(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析．(2)在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據常識來判斷，但如果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理．4．對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關系不正確的是

(

)A．A?D

B．B∩D＝?C．A∪C＝D

D．A∪B＝B∪D【答案】D【解析】“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，∴A∪B≠B∪D．故選D．|素養達成|1．辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件，在給定的條件下判斷是一定發生(必然事件)，還是不一定發生(隨機事件)，還是一定不發生(不可能事件)．(體現數學抽象核心素養)2．寫試驗結果時，要按順序寫，特別要注意題目中的有關字眼，如“先后”“依次”“順序”“放回”“不放回”等．3．互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區別又有聯系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能兩個都發生；而兩個對立事件必有一個發生，但是不可能兩個事件同時發生，也不可能兩個事件都不發生．所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥．1．(題型1)下面的事件：①實數的絕對值大于等于0；②從標有1，2，3，4的4張號簽中取一張，得到4號簽；③在標準大氣壓下，水在1℃結冰．其中是必然事件的有

(

)A．①

B．②C．③

D．①②【答案】A【解析】①是必然事件；②是隨機事件；③是不可能事件．故選A．2．(題型3)某人在打靶中，連續射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶【答案】C【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它們互為互斥事件．故選C．3．(題型3)抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為

(

)A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品【答案】B【解析】至少有2