數據結構與算法實戰教程指南TOC\o"1-2"\h\u16844第1章算法概述與數學基礎 4142921.1算法與數據結構的關系 4257681.2時間復雜度與空間復雜度 421981.2.1時間復雜度 4225201.2.2空間復雜度 4186851.3數學基礎：遞歸與分治 4262061.3.1遞歸 4212751.3.2分治 515282第2章數組與字符串 5156672.1數組及其操作 5286232.1.1數組的定義 5142852.1.2數組的基本操作 5288782.1.3數組的應用實例 5167762.2字符串基礎 641192.2.1字符串的定義 616402.2.2字符串的基本操作 6207132.2.3字符串的應用實例 6119582.3字符串匹配算法 6195382.3.1樸素的字符串匹配算法 6168042.3.2KMP算法 6239782.3.3BM算法 687922.3.4Sunday算法 79220第3章鏈表與遞歸 787143.1單鏈表及其操作 721183.1.1單鏈表的定義 7144253.1.2單鏈表的操作 7134973.2雙鏈表與循環鏈表 7151093.2.1雙鏈表 746823.2.2循環鏈表 7308923.3遞歸實現鏈表操作 816616第4章棧與隊列 8302684.1棧及其應用 8275414.1.1棧的定義與基本操作 8197734.1.2棧的順序存儲實現 877094.1.3棧的鏈式存儲實現 8228154.1.4棧的應用實例 9127074.2隊列及其應用 951604.2.1隊列的定義與基本操作 9200554.2.2隊列的順序存儲實現 9186244.2.3隊列的鏈式存儲實現 9133304.2.4隊列的應用實例 987464.3優先隊列與堆 9186074.3.1優先隊列的定義與基本操作 9163574.3.2堆的定義與操作 1087984.3.3堆的實現 10187724.3.4優先隊列與堆的應用實例 1013627第5章樹與二叉樹 10110995.1樹的基本概念與性質 10181605.1.1樹的定義 10143435.1.2樹的基本術語 1082425.1.3樹的性質 11247175.2二叉樹及其遍歷 11295275.2.1二叉樹的定義 11174365.2.2二叉樹的性質 11267055.2.3二叉樹的遍歷 11251735.3線索二叉樹與二叉樹的應用 114695.3.1線索二叉樹 11303075.3.2二叉樹的應用 1127773第6章圖論基礎 12266416.1圖的基本概念與表示方法 1241256.1.1圖的定義與術語 12272156.1.2圖的表示方法 12155296.2圖的遍歷算法 12232906.2.1深度優先搜索（DFS） 12223636.2.2廣度優先搜索（BFS） 12219996.3最短路徑算法 12209866.3.1Dijkstra算法 12157936.3.2BellmanFord算法 13177816.3.3FloydWarshall算法 1320000第7章排序與查找 1346497.1排序算法概述 13128277.2常見排序算法實現 13152487.2.1冒泡排序 1369147.2.2選擇排序 1344637.2.3插入排序 1355917.2.4快速排序 13124567.2.5歸并排序 14194677.2.6堆排序 14190857.3查找算法概述 14246957.4哈希表與哈希查找 148212第8章動態規劃 14317748.1動態規劃基礎 14313788.1.1動態規劃原理 14240468.1.2動態規劃的應用場景 1552188.2背包問題 1564908.2.101背包問題 15296098.2.2完全背包問題 15170308.3最長公共子序列與最長公共子串 15123558.3.1最長公共子序列 15156158.3.2最長公共子串 1597648.4動態規劃與其他算法結合的應用 15187168.4.1動態規劃與貪心算法 15244938.4.2動態規劃與分治算法 1634498.4.3動態規劃與深度學習 168139第9章字符串算法進階 1613189.1KMP算法 16291379.1.1KMP算法基礎 16165199.1.2部分匹配表 1654919.1.3KMP搜索過程 1656219.2Trie樹與AC自動機 1639189.2.1Trie樹基礎 1622049.2.2Trie樹的性質 17109639.2.3AC自動機 1779919.3后綴數組與后綴樹 17247409.3.1后綴數組 17290629.3.2后綴數組的性質與應用 17277969.3.3后綴樹 17109439.3.4后綴樹的應用 1730955第10章算法實戰與優化 172874910.1算法實戰案例分析 171245510.1.1案例一：最長公共子序列問題 172240910.1.2案例二：01背包問題 172272510.1.3案例三：Dijkstra算法求解最短路徑問題 171084610.1.4案例四：KMP算法字符串匹配問題 172069910.2算法優化技巧 173122410.2.1時間復雜度優化 17756910.2.2空間復雜度優化 171431210.2.3動態規劃優化 182961510.2.4分治算法優化 18445110.2.5貪心算法優化 181251310.3算法競賽與面試技巧 182599110.3.1算法競賽解題策略 182237210.3.2面試中常見算法問題及解答技巧 181403210.3.3算法面試題分析：排序與查找 18311810.3.4算法面試題分析：動態規劃與貪心算法 181462410.4算法實戰項目練習與總結 182133510.4.1項目一：圖像壓縮與解壓縮 182687910.4.2項目二：搜索引擎關鍵詞提示功能 182580310.4.3項目三：社交網絡好友推薦系統 181588410.4.4項目四：大數據處理與分析 18第1章算法概述與數學基礎1.1算法與數據結構的關系算法與數據結構是計算機科學中的兩個核心概念，二者相輔相成，共同構成了程序設計的基礎。數據結構是指計算機存儲和組織數據的方式，而算法則是解決特定問題的步驟或方法。在實際應用中，選擇合適的數據結構可以顯著提高算法的效率，反之，高效的算法也需要依托于合理的數據結構來實現。在本章中，我們將探討算法與數據結構之間的關系，分析各種常見的數據結構及其適用場景，并討論如何根據實際問題選擇合適的算法和數據結構。1.2時間復雜度與空間復雜度時間復雜度和空間復雜度是衡量算法功能的兩個重要指標。時間復雜度描述了算法執行過程中所需要的時間資源，空間復雜度則描述了算法執行過程中所需的存儲資源。1.2.1時間復雜度時間復雜度通常用大O符號表示，它描述了算法執行時間與輸入規模之間的關系。例如，線性搜索算法的時間復雜度為O(n)，表示搜索時間與輸入數據規模呈線性關系；而二分搜索算法的時間復雜度為O(logn)，表示搜索時間與輸入數據規模呈對數關系。1.2.2空間復雜度空間復雜度同樣用大O符號表示，它描述了算法執行過程中所需的存儲空間與輸入規模之間的關系。例如，遞歸算法在執行過程中會占用額外的棧空間，其空間復雜度通常為O(n)。在本節中，我們將分析常見算法的時間復雜度和空間復雜度，并探討如何優化算法以提高功能。1.3數學基礎：遞歸與分治遞歸與分治是算法設計中兩種常用的數學思想，它們在解決復雜數學問題中具有重要作用。1.3.1遞歸遞歸是一種自我調用的算法結構，一個遞歸算法包含兩個基本部分：基線條件（遞歸終止條件）和遞歸步驟。遞歸算法在解決具有重復子問題的問題時具有簡潔、易于理解的優點。1.3.2分治分治（DivideandConquer）是一種將復雜問題分解成若干個規模較小的子問題，分別解決這些子問題，最后將子問題的解合并為原問題的解的算法設計方法。分治算法通常遵循以下三個步驟：（1）分解：將原問題分解成若干個規模較小的子問題。（2）解決：遞歸地解決這些子問題。（3）合并：將子問題的解合并為原問題的解。在本節中，我們將通過實例介紹遞歸與分治算法的設計方法，并分析它們在解決實際問題中的應用。第2章數組與字符串2.1數組及其操作數組是線性表的一種，其特點是元素類型相同，且按照一定順序排列。數組在程序設計中應用廣泛，本章將詳細介紹數組的定義、操作及其應用。2.1.1數組的定義數組是有限個相同類型數據的集合，其長度在定義時確定，不可更改。在大多數編程語言中，數組通過指定元素類型和數組長度來定義。2.1.2數組的基本操作（1）訪問元素：通過索引（下標）訪問數組中的元素。（2）遍歷數組：按順序訪問數組中的每個元素。（3）添加元素：在數組末尾添加新元素，若數組已滿，則需要擴容。（4）刪除元素：刪除數組中的某個元素，并將后續元素向前移動。（5）查找元素：在數組中查找特定元素，返回其索引。（6）排序：對數組中的元素進行排序。2.1.3數組的應用實例（1）求最大子數組和。（2）二維數組中的查找。（3）旋轉數組的最小數字。2.2字符串基礎字符串是由零個或多個字符組成的有限序列。在編程語言中，字符串通常被視為字符數組。本節將介紹字符串的基本概念及其相關操作。2.2.1字符串的定義字符串是由單個字符組成的序列，可以是字母、數字、符號等。在大多數編程語言中，字符串以'\0'（空字符）作為結束標志。2.2.2字符串的基本操作（1）字符串連接：將兩個字符串連接成一個新的字符串。（2）字符串截取：從字符串中提取一部分。（3）字符串查找：在字符串中查找子串或字符。（4）字符串替換：將字符串中的某個子串替換為另一個子串。（5）字符串反轉：將字符串中的字符順序顛倒。2.2.3字符串的應用實例（1）字符串的逆序輸出。（2）字符串的左旋。（3）判斷字符串是否為回文。2.3字符串匹配算法字符串匹配算法是在一個字符串中查找另一個字符串的過程。本節將介紹幾種常用的字符串匹配算法。2.3.1樸素的字符串匹配算法樸素的字符串匹配算法是一種簡單的逐個比較的方法。它將待匹配的字符串（模式串）與主串從左至右逐個字符進行比較。2.3.2KMP算法KMP（KnuthMorrisPratt）算法是一種改進的字符串匹配算法，通過預處理模式串，避免了樸素的字符串匹配算法中的重復比較。2.3.3BM算法BM（BoyerMoore）算法是一種高效的字符串匹配算法，它從模式串的末尾開始比較，采用壞字符規則和好后綴規則進行跳過。2.3.4Sunday算法Sunday算法是一種簡單而高效的字符串匹配算法，通過在模式串中查找與主串不匹配的字符，并跳過盡可能多的字符，提高了匹配效率。第3章鏈表與遞歸3.1單鏈表及其操作3.1.1單鏈表的定義單鏈表是一種線性數據結構，它由一系列節點組成，每個節點包含數據域和一個指向下一個節點的指針。單鏈表中的節點通常包含兩個部分：數據域和指針域。3.1.2單鏈表的操作以下為單鏈表的基本操作：（1）初始化鏈表：創建一個空鏈表，即頭節點為空。（2）創建鏈表：通過插入節點的方式，將數據元素依次加入鏈表中。（3）插入節點：在鏈表的指定位置插入一個新節點。（4）刪除節點：刪除鏈表中的指定節點。（5）查找節點：在鏈表中查找具有特定數據的節點。（6）遍歷鏈表：從鏈表的第一個節點開始，逐個訪問鏈表中的所有節點。（7）銷毀鏈表：釋放鏈表占用的內存空間。3.2雙鏈表與循環鏈表3.2.1雙鏈表雙鏈表是一種特殊的鏈表，它的每個節點包含兩個指針：一個指向前一個節點，另一個指向下一個節點。雙鏈表具有以下特點：（1）雙向性：雙鏈表的節點具有指向前一個節點和后一個節點的指針，可以實現雙向遍歷。（2）對稱性：雙鏈表的插入和刪除操作在時間和空間復雜度上相對較高，但具有對稱性。3.2.2循環鏈表循環鏈表是一種特殊的單鏈表，其尾節點的指針指向頭節點，形成一個環狀結構。循環鏈表的特點如下：（1）循環性：尾節點的指針指向頭節點，形成一個環狀結構。（2）遍歷方式：循環鏈表可以使用頭節點進行遍歷，也可以使用尾節點進行遍歷。3.3遞歸實現鏈表操作遞歸是一種強大的編程技術，可以用于實現鏈表的相關操作。以下為遞歸實現鏈表操作的部分示例：（1）遞歸插入節點：在鏈表的指定位置插入一個新節點。（2）遞歸刪除節點：刪除鏈表中的指定節點。（3）遞歸查找節點：在鏈表中查找具有特定數據的節點。（4）遞歸逆序鏈表：使用遞歸實現鏈表的逆序。通過遞歸實現鏈表操作，可以使代碼更加簡潔，提高程序的可讀性。但同時需要注意遞歸調用的深度，避免棧溢出等問題。第4章棧與隊列4.1棧及其應用4.1.1棧的定義與基本操作棧是一種特殊的線性表，其插入和刪除操作都只在表的一端進行。這一端被稱為棧頂，另一端為棧底。棧遵循“后進先出”（LastInFirstOut,LIFO）的原則。基本操作包括：初始化：創建一個空棧。入棧（Push）：將元素插入棧頂。出棧（Pop）：從棧頂移除元素。獲取棧頂元素：獲取棧頂元素但不移除。判空：判斷棧是否為空。4.1.2棧的順序存儲實現棧的順序存儲結構通常使用數組實現。設置一個top變量來指示棧頂位置。4.1.3棧的鏈式存儲實現棧的鏈式存儲結構使用鏈表實現，稱為鏈棧。鏈棧的每個節點包含數據和指向下一個節點的指針。4.1.4棧的應用實例數制轉換：利用棧實現十進制到其他進制的轉換。括號匹配：使用棧檢查括號是否正確配對。后綴表達式求值：利用棧計算后綴表達式的值。4.2隊列及其應用4.2.1隊列的定義與基本操作隊列是另一種特殊的線性表，其插入操作在一端進行，而刪除操作在另一端進行。遵循“先進先出”（FirstInFirstOut,FIFO）原則。基本操作包括：初始化：創建一個空隊列。入隊（Enqueue）：在隊列的尾部插入元素。出隊（Dequeue）：從隊列的頭部移除元素。獲取隊首元素：獲取隊列頭部元素但不移除。判空：判斷隊列是否為空。4.2.2隊列的順序存儲實現隊列的順序存儲結構通常使用數組實現，設置頭指針和尾指針來指示隊列的頭部和尾部。4.2.3隊列的鏈式存儲實現隊列的鏈式存儲結構使用鏈表實現，稱為鏈隊列。鏈隊列的每個節點包含數據和指向下一個節點的指針。4.2.4隊列的應用實例斐波那契數列：使用隊列實現斐波那契數列的計算。廣度優先搜索（BFS）：在圖論中，使用隊列進行廣度優先遍歷。4.3優先隊列與堆4.3.1優先隊列的定義與基本操作優先隊列是一種抽象數據類型，元素的插入操作和刪除操作都基于元素的優先級進行。基本操作包括：插入：將元素按照優先級插入優先隊列。刪除：刪除具有最高優先級的元素。獲取最高優先級元素：獲取最高優先級的元素但不移除。4.3.2堆的定義與操作堆是一種特殊的樹形數據結構，具有以下特性：堆的每個父節點的值都大于或等于（最大堆）或小于或等于（最小堆）其子節點的值。基本操作包括：初始化：創建一個空堆。插入：將元素插入堆中并調整堆結構。刪除：刪除堆頂元素并調整堆結構。獲取堆頂元素：獲取堆頂元素但不移除。4.3.3堆的實現堆通常使用數組來實現，通過調整堆中的元素位置來維護堆的特性。4.3.4優先隊列與堆的應用實例資源分配：利用優先隊列實現資源的優先級分配。數據排序：使用堆排序算法對數據進行排序。第5章樹與二叉樹5.1樹的基本概念與性質5.1.1樹的定義樹（Tree）是一種非常重要的數據結構，用于模擬具有層次關系的數據集合。樹是由n（n≥0）個有限節點組成的一個具有層次關系的集合。當n=0時，稱為空樹；當n>0時，樹由一個根節點和若干顆子樹組成。5.1.2樹的基本術語（1）根節點：樹的最頂層節點，沒有父節點。（2）子節點：某個節點的直接后繼節點。（3）父節點：某個節點的直接前驅節點。（4）兄弟節點：具有相同父節點的節點。（5）路徑：從根節點到某個節點所經過的節點序列。（6）節點的層次：從根節點開始，根節點為第1層，它的子節點為第2層，以此類推。（7）樹的深度（高度）：樹中最大層次數。（8）森林：由m（m≥0）棵互不相交的樹組成的集合。5.1.3樹的性質（1）樹中的節點數等于所有節點的度數加1。（2）樹的深度至少為log2(n1)。（3）樹的度數最大為n1（完全二叉樹）。5.2二叉樹及其遍歷5.2.1二叉樹的定義二叉樹（BinaryTree）是樹的一種特殊形式，每個節點最多有兩個子節點，通常稱為左子節點和右子節點。5.2.2二叉樹的性質（1）在二叉樹的第i層上，最多有2^(i1)個節點。（2）深度為k的二叉樹最多有2^k1個節點。（3）對任何非空二叉樹，若終端節點（葉子節點）數為n0，度為2的節點數為n2，則有n0=n21。5.2.3二叉樹的遍歷（1）前序遍歷：先訪問根節點，然后前序遍歷左子樹，最后前序遍歷右子樹。（2）中序遍歷：先中序遍歷左子樹，然后訪問根節點，最后中序遍歷右子樹。（3）后序遍歷：先后序遍歷左子樹，然后后序遍歷右子樹，最后訪問根節點。5.3線索二叉樹與二叉樹的應用5.3.1線索二叉樹線索二叉樹（ThreadedBinaryTree）是對二叉樹的一種改進，通過線索化的方法將二叉樹的空指針域利用起來，存儲某種遍歷方式下的前驅或后繼節點。5.3.2二叉樹的應用（1）二叉搜索樹（BinarySearchTree,BST）：左子樹的所有節點小于根節點，右子樹的所有節點大于根節點。可用于有序數據的插入、刪除和查找操作。（2）哈夫曼樹（HuffmanTree）：用于數據壓縮，通過構建哈夫曼樹和哈夫曼編碼，實現最優編碼。（3）平衡二叉樹（AVLTree）：在二叉搜索樹的基礎上，通過旋轉操作保持樹的平衡，避免查找功能下降。第6章圖論基礎6.1圖的基本概念與表示方法6.1.1圖的定義與術語圖是一種由點集合及連接這些點的邊集合組成的數學結構。在圖論中，點通常被稱為頂點，邊則是連接任意兩個頂點的線段。本章將介紹圖的幾種基本概念和術語，包括有向圖與無向圖、連通圖與強連通圖、簡單圖與多重圖等。6.1.2圖的表示方法圖的表示方法主要有鄰接矩陣、鄰接表和鄰接多重表。鄰接矩陣是一種二維數組，其中的元素表示頂點之間的連接關系。鄰接表由一個數組構成，數組的每個元素對應一個頂點，每個元素包含一個鏈表，鏈表中包含與該頂點直接相連的所有頂點的信息。鄰接多重表是鄰接表的擴展，可以表示帶權的圖和無向圖。6.2圖的遍歷算法6.2.1深度優先搜索（DFS）深度優先搜索算法是一種用于遍歷或搜索樹或圖的算法。從圖的某個頂點開始，深度優先搜索沿著路徑深入直到該路徑的最后一個頂點被訪問，然后回溯至之前的頂點，繼續尋找下一條路徑。該算法使用遞歸或棧實現。6.2.2廣度優先搜索（BFS）廣度優先搜索算法是一種先訪問最近的頂點，再逐漸向外擴展的遍歷方法。從圖的某個頂點開始，廣度優先搜索首先訪問該頂點的所有鄰接頂點，然后再對這些鄰接頂點進行同樣的操作。該算法通常使用隊列實現。6.3最短路徑算法6.3.1Dijkstra算法Dijkstra算法是求解單源最短路徑問題的一種貪心算法。它從源點開始，逐步找到與源點相連的最短路徑，更新源點到所有頂點的最短距離。該算法適用于帶有非負權重的圖。6.3.2BellmanFord算法BellmanFord算法是求解帶有負權邊的單源最短路徑問題的算法。該算法通過松弛操作逐步找到從源點到所有頂點的最短路徑。與Dijkstra算法相比，BellmanFord算法可以處理帶有負權邊的圖，但計算效率較低。6.3.3FloydWarshall算法FloydWarshall算法是求解所有頂點對之間的最短路徑的動態規劃算法。它通過迭代更新一個二維數組，逐步找到任意兩個頂點之間的最短路徑。該算法適用于求解帶有負權重的圖，但不能處理包含負權回路的情況。第7章排序與查找7.1排序算法概述排序算法是計算機科學中非常基礎且重要的內容，它的主要目的是將一組無序的數據按照某種規則進行排列，以便快速地查找和訪問。排序算法的好壞直接影響到程序的功能。本章將介紹幾種常見的排序算法，并分析它們的時間復雜度和空間復雜度。7.2常見排序算法實現7.2.1冒泡排序冒泡排序（BubbleSort）是一種簡單的排序算法，通過相鄰元素的比較和交換，使得每一趟循環后最大（或最小）的元素被交換到數組的末尾（或開頭），從而逐步得到有序數組。7.2.2選擇排序選擇排序（SelectionSort）也是一種簡單的排序算法，它每次循環找到未排序部分的最小（或最大）值，將其放到已排序部分的末尾（或開頭），直到整個數組有序。7.2.3插入排序插入排序（InsertionSort）通過構建有序序列，對于未排序數據，在已排序序列中從后向前掃描，找到相應位置并插入。插入排序在實現上，通常采用inplace排序（即只需用到O(1)的額外空間的排序）。7.2.4快速排序快速排序（QuickSort）是一種高效的排序算法，采用分治策略，通過一趟排序將待排記錄分割成獨立的兩部分，其中一部分記錄的關鍵字均比另一部分的關鍵字小，則可以分別對這兩部分記錄繼續進行排序，以達到整個序列有序。7.2.5歸并排序歸并排序（MergeSort）是采用分治法的一個非常典型的應用。它將已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每個子序列有序，再使子序列段間有序。7.2.6堆排序堆排序（HeapSort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序算法。堆積是一個近似完全二叉樹的結構，并同時滿足堆積的性質：即子節點的鍵值或索引總是小于（或者大于）它的父節點。7.3查找算法概述查找算法是計算機科學中的另一個重要領域，主要目的是從一個數據集合中找出某個特定的元素，或者驗證一個元素是否存在于該集合中。查找算法的效率同樣關系到程序的功能。7.4哈希表與哈希查找哈希表（HashTable）是一種數據結構，它通過哈希函數來計算數據的存儲位置，以支持快速的數據查找。哈希查找是通過關鍵字通過哈希函數計算出的哈希值來確定數據存儲的位置，從而直接訪問數據，提高了查找的效率。哈希表的關鍵技術包括：哈希函數的設計、沖突解決方法以及哈希表的動態調整。常見的沖突解決方法有開放定址法和鏈地址法。通過這些技術，哈希查找的平均時間復雜度可以達到O(1)。第8章動態規劃8.1動態規劃基礎動態規劃（DynamicProgramming，簡稱DP）是一種用于求解最優化問題的算法思想。它將復雜問題分解為多個子問題，通過求解子問題并將子問題的解存儲起來以供后續使用，從而避免了重復計算。本節將介紹動態規劃的基本概念、原理和應用。8.1.1動態規劃原理動態規劃的核心思想是將問題分解為相互重疊的子問題，并通過遞歸的方式來求解這些子問題。動態規劃主要包括以下幾個步驟：（1）定義狀態：將問題中的關鍵信息抽象成狀態，并定義狀態之間的關系。（2）確定狀態轉移方程：根據狀態之間的關系，推導出狀態轉移方程。（3）確定邊界條件：確定初始狀態和遞歸終止條件。（4）計算最優解：從邊界條件開始，按照狀態轉移方程遞推求解，最終得到最優解。8.1.2動態規劃的應用場景動態規劃適用于具有以下特點的問題：（1）最優化問題：要求解的問題具有最優解。（2）子問題重疊：問題的解可以通過組合子問題的解得到。（3）無后效性：子問題的解一旦確定，就不會受到后續計算的影響。8.2背包問題背包問題（KnapsackProblem）是一種典型的動態規劃問題。給定一組物品，每個物品都有一定的價值和重量，現要選擇若干個物品放入一個容量有限的背包中，使得背包中的物品價值最大。8.2.101背包問題01背包問題是背包問題的一種特殊情況，即每個物品只能選擇0個或1個。8.2.2完全背包問題完全背包問題是背包問題的另一種特殊情況，即每個物品可以選擇任意數量。8.3最長公共子序列與最長公共子串最長公共子序列（LongestCommonSubsequence，簡稱LCS）和最長公共子串（LongestCommonSubstring）是動態規劃在序列比對領域的應用。8.3.1最長公共子序列給定兩個序列，求它們的最長公共子序列。8.3.2最長公共子串給定兩個序列，求它們的最長公共子串。8.4動態規劃與其他算法結合的應用動態規劃可以與其他算法結合，解決更復雜的問題。8.4.1動態規劃與貪心算法貪心算法在每一步選擇中都采取當前最優策略，而動態規劃則考慮全局最優解。將動態規劃與貪心算法結合，可以解決一些特定問題。8.4.2動態規劃與分治算法分治算法將問題分解為相互獨立的子問題，而動態規劃則考慮子問題之間的重疊。將動態規劃與分治算法結合，可以提高算法效率。8.4.3動態規劃與深度學習深度學習中的優化問題可以采用動態規劃的思想進行求解。例如，神經網絡的反向傳播算法就是一種動態規劃方法。第9章字符串算法進階9.1KMP算法KMP（KnuthMorrisPratt）算法是一種高效的字符串匹配算法，它在1977年由DonaldKnuth,VaughanPratt和JamesH.Morris共同提出。KMP算法的核心思想是，當一次字符比較失敗時，算法能夠利用已經比較過的信息，避免從主串的下一個位置重新開始匹配，而是跳過已經匹配成功的部分。9.1.1KMP算法基礎本節將介紹KMP