2025屆上海市十中高二上數學期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.22．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.3．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.44．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.5．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.6．如圖，面積為的正方形中有一個不規則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機投擲個點，用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區間內的概率為附表：A. B.C. D.7．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.8．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.C. D.11．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.12．拋物線上有兩個點，焦點，已知，則線段的中點到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖象在處的切線方程為，則___________.14．已知數列滿足：，，，則______15．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號為______________.16．等差數列的前項和為，已知，則__.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.19．（12分）某班主任對全班名學生進行了作業量多少與手機網游的調查，數據如下表：認為作業多認為作業不多總數喜歡手機網游不喜歡手機網游總數（1）若隨機地抽問這個班的一名學生，分別求事件“認為作業不多”和事件“喜歡手機網游且認為作業多”的概率；（2）若在“認為作業多”的學生中已經用分層抽樣的方法選取了名學生．現要從這名學生中任取名學生了解情況，求其中恰有名“不喜歡手機網游”的學生的概率20．（12分）已知正項等差數列滿足：，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，且，求的前n項和21．（12分）已知數列滿足，，數列前項和為.（1）求數列，的通項公式；（2）表示不超過的最大整數，如，設的前項和為，令，求證：.22．（10分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計算可得；【詳解】解：因為，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因為，所以，所以；故選：C2、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.3、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.4、A【解析】根據兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A5、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.6、D【解析】每個點落入中的概率為，設落入中的點的數目為，題意所求概率為故選D7、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A8、A【解析】連接，先根據已知條件表示出，再根據求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.9、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標和，在中，利用余弦定理，求得的關系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設在漸近線上，且點在第一象限內，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.10、D【解析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】解：根據題意，雙曲線的方程為，其焦點坐標為，其漸近線方程為，即，則其焦點到漸近線的距離；故選D.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標.11、D【解析】求出函數的導數，再求出并借助導數的幾何意義求解作答.【詳解】由求導得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D12、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，即可求出線段中點的橫坐標，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為，設點的坐標分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點的橫坐標為，故線段的中點到軸的距離是.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據導數的幾何意義可得，根據切點在切線上可得.【詳解】因為切線的斜率為，所以，又切點在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.14、.【解析】運用累和法，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以當時，有，因此有：，即，當時，適合上式，所以，故答案為：.15、①②③【解析】設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數量積的坐標運算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設，由于、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、.對于①，，所以，，①正確；對于②，，，則，②正確；對于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：在立體幾何中計算空間向量的相關問題，可以選擇合適的點與直線建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可.16、【解析】根據等差數列的求和公式和等差數列的性質即可求出.【詳解】因為等差數列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.18、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數a的取值范圍是.19、（1）事件“認為作業不多”和事件“喜歡手機網游且認為作業多”的概率分別為、；（2）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）確定所選的名學生中，“不喜歡手機網游”和“喜歡手機網游”的學生人數，加以標記，列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由題意可知，全班名學生中，“認為作業不多”的學生人數為人，“喜歡手機網游且認為作業多”的學生人數為人，因此，隨機地抽問這個班的一名學生，事件“認為作業不多”的概率為，事件“喜歡手機網游且認為作業多”的概率為.【小問2詳解】解：在“認為作業多”的學生中已經用分層抽樣的方法選取了名學生，這名學生中“不喜歡手機網游”的學生人數為，記為，名學生中“喜歡手機網游”的學生人數為，分別記為、、、，從這名學生中任取名學生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“恰有名“不喜歡手機網游”的學生”包含的基本事件有：、、、，共種，故所求概率為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數列的通項公式結合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設等差數列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數列，則，即，將代入上式得，化簡得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當時，，當時，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡得綜上，的前n項和21、（1），（2）證明見解析【解析】(1)利用累加法求通項公式，利用通項公式與前n項和公式的關系可求的通項公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項相消法求的前n項和即可證明.【小問1詳解】由題可知，當n≥2時，＝當n＝1時，