2025屆內蒙古集寧第一中學高二數學第一學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1442．下列四個命題中為真命題的是（）A.設p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數的最小值是4D.與的圖象關于直線y＝x對稱3．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般的等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次成等差數列．如數列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數列2，3，4，新數列2，3，4為等差數列，這樣的數列稱為二階等差數列．現有二階等差數列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數列的第31項為（）A.336 B.467C.483 D.6014．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數量積最大的是（）A. B.C. D.5．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)6．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件7．直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為()A B.C. D.8．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（）A.3 B.6C.8 D.129．已知圓的方程為，則圓心的坐標為（）A. B.C. D.10．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.812．函數，則不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實數______14．直線被圓所截得的弦的長為_____15．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍是____________16．設函數，，對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角18．（12分）已知圓內有一點，過點作直線交圓于、兩點（1）當經過圓心時，求直線的方程；（2）當弦的長為時，求直線的方程19．（12分）已知橢圓C：的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點為D，上頂點為B，點A的坐標為（1，0），過點D的直線L與橢圓在第一象限交于點P，與直線AB交于點Q設L的斜率為k，若，求k的值.20．（12分）某快遞公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）在這60天中包裹件數在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應分別抽取多少件？21．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大小；（2）求的面積.條件①：；條件②：.22．（10分）請分別確定滿足下列條件的直線方程（1）過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2＝0垂直直線方程是（2）求與直線3x-4y+7=0平行，且在兩坐標軸上截距之和為1的直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析數列的特點，可知其是等差數列，寫出其通項公式，進而求得結果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，這樣的數構成首項為10，公差為12的等差數列，所以，故，故選:A.2、D【解析】根據推出關系和集合的包含關系判斷A，根據全稱命題的否定形式可判斷B，根據對鉤函數性質即三角函數的性質可判斷C，根據反函數的圖像性質可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數，當時，，函數單調遞減，當時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數，故圖象關于直線y＝x對稱，故D正確.3、B【解析】先由遞推關系利用累加法求出通項公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據題意，數列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數列的第31項為.故選：B4、B【解析】設，根據線面垂直的性質得，，，，根據向量數量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數量積最大的是，故選：B.5、C【解析】求導得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據題意得，解得故選：C6、C【解析】根據互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發生，但B與D不是事件的所有結果，故選項D不正確；A與D不可能同時發生，且A與D為事件的所有結果，故選項C正確故選：C.7、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.8、B【解析】根據橢圓中的關系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.9、A【解析】將圓的方程配成標準方程，可求得圓心坐標.【詳解】圓的標準方程為，圓心的坐標為.故選：A.10、B【解析】設，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設，則，，，因為，所以，即，故選：B11、C【解析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.12、A【解析】利用導數判斷函數單調遞增，然后進行求解.【詳解】對函數進行求導：，因為，，所以，因為，所以f(x)是奇函數,所以在R上單調遞增，又因為，所以的解集為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】先求出的坐標，進而根據空間向量平行的坐標運算求得答案.【詳解】由題意，，因為，所以存在實數使得.故答案為：2.14、【解析】圓轉化為標準式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長為考點：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長的求法；15、【解析】求出直線恒過的定點，結合曲線的圖象，數形結合，找出臨界狀態，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數形結合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.16、【解析】首先求得函數在區間上的最大值，然后分離參數，利用導函數求最值即可確定實數的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數，∵當時，，故當時，取最大值1，故，故答案為【點睛】本題考查的知識點是函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，難度中檔三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據中位線的性質，可證，根據線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面法向量，根據二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據線線角的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點，在中，因為O、D分別為、BC中點，所以，又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設，則，所以，則，，因為平面在平面ABC內，且平面ABC，所以即為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問3詳解】由（2）可得，設與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為18、（1）；（2）或【解析】（1）求得圓心坐標，由點斜式求得直線點的方程.（2）分成直線斜率存在和不存在兩種情況進行分類討論，由此求得直線的方程.【詳解】（1）圓心坐標為（1，0），，，整理得（2）圓的半徑為3，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，整理得，圓心到直線的距離為，解得，代入整理得當直線的斜率不存在時，直線的方程為，經檢驗符合題意∴直線的方程為或19、（1）（2）1【解析】（1）根據橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據點M（，）在橢圓C上，頂點，再由，求得橢圓方程，由，結合，得到，設直線方程為，與橢圓方程聯立，求得點P的坐標，再由，求得Q的坐標，代入求解.【小問1詳解】解：設橢圓C：的上頂點為，左頂點為，右頂點為，因為橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因為點M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因為，所以，又，所以，則，設，則，當時，則，不合題意；當時，設直線方程為，與題意方程聯立，消去y得：則，所以，則，因為，由，得，因為，所以，化簡得，因，則.20、（1）平均數和中位數都為260件；（2）在的件數為，在的件數為.【解析】（1）由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數，設中位數為，由落在區間內的頻率為0.5可得結果；（2）先得頻率分別為0.1，0.5，由分層抽樣的概念即可得結果.【詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；設中位數為，易知，則，解得.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）件數在，的頻率分別為0.1，0.5頻率之比為1：5，所抽取的30件中，在的件數為，在的件數為.21、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.22、（1）2x+y﹣2＝0（2）3x-4y-12=0【解析】（1）設與直線x﹣2y﹣2＝0垂直的直線方程為2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，解得m即得解（2）方法