高中數學奧林匹克競賽訓練題集大全

高中數學競賽試卷

一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號

填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）

4/izg一鬲上工由tcos4x+sin?4x+si?n~2xcos~2x/、

1.化簡二角有理式一7-------7-------------「的值為（A）

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

解答為Ao

分母二（sin之x+cos2x）（sin4x+cos4x-sin2xcos2x）+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2

也可以用特殊值法

2.若〃:（f+》+l）J、+320,q:x>-2,則，是夕的（B）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解答為Bop成立0式之_3，所以p成立，推不出q一定成立。

3.集合P={Xx￡R，k+3|+k+6|=3},則集合C/為（D）

A.{小<6,或r>3}B.{小<6,或。一3}

C.{x|x<-6,^U>3}D.{x|x<-6,s!cx>-3}

解答：Do畫數軸，由絕對值的幾何意義可得-6KXW-3,

P={x|-6<x<-3},QP={.^<-6,WU>-3）o

4.設2,萬為兩個相互垂直的單位向量。己知/=OQ=b,OR=ra+kb.

若△PQR為等邊三角形,則k,r的取值為（C）

—

Ai1i^3D.1±V31±V3

A.k=r=-------B.k=-----,r=------

222

「71土耳c.-1±V3_1土百

C.k=r=-----D.k=------,r=-------

222

解答.C.\P^=\QR\=\PR\f

即J-+（左—1）2=+左2=72,解得r二k二I士，。

5.在正三棱柱ABC—AiBiJ中，若AB=0BB「則CAi與JB所成的角的大

小是（C）

A.60°B.75°C.90°D.105°

解答：Co建立空間直角坐標系，以A片所在的直線為x軸,在平面AqG上垂直于

的直線為y軸，所在的直線為z軸。則4（夜,0,0）<（4，3,0）,。（*,乎,1）,

5（0,0,1）,CA=（與，-咚,-1）?聲=（一號，—咚,D,CA?GB=b。

6.設｛4｝，依｝分別為等差數列與等比數列，且4=伉=4嗎=4=1,則以

下結論正確的是（A）

A.a2>b2B.a3<h3C.a5>b5D.a6>"

解答：Ao

設等差數列的公差為d,等比數列公比為q,由4=4=4,4=仇=1，得d=T,q=苧

得牝=3也=2-^2;ay=2也=而;%=。，與=亭；。6=-1也=￥

7.若不￡?,則（1+2工尸的二項式展開式中系數最大的項為（D）

A.第8項B.第9項C.第8項和第9項D.第11項

9Q32

解答：D.小鏟,由（5,皿=彳w-第口項最大。

8.設/（x）=cos：,a=f（\oge—\b=/（logJ）,c=/（log?J）,則下述關系

57te-n

式正確的是（D）,

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

解答：Do函數/（X）=COS已為偶函數，在（0,y）上，/（?=COSX為減函數，

52

而

I111111cl

log,_=一log,凡log》-=-----Jog1-7=2log,兀,

萬eloge冗-7U~

lOge4工21Oge471

0<---<所以/?＞々＞Co

5log,乃554

9.下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為(C)

正視圖：半徑為1側視圖：半徑為1的，圓

俯視圖：

的半圓以及高為14

半徑為1的圓

的矩形以及高為1的矩形

2〃4〃3乃

A.B.----C.一D.

T33T

解答：C.根據題意，該立體圖為圓柱和一個皿的球的組合體。

10.設有算法如下:

如果輸入A=144,B=39,則輸出的結果是(B)

A.144B.3C.0D.12

解答B(1)A=144,B=39,C=27：(2)A=39,B=27,C=12：(3)A=27,B=12,C=3：(4)

A=12,B=3,C=0o所以A=3。

二、填空題(本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，

共49分)

11.滿足方程Jx—2009—2jx—2010+Jx—2009+27^^^=2所有實數解為

2010<x<2011o

解答變形得2010—If2010+=2=0W，％-2010W1,解得

2010<x<2011o

YX

12.xwR,函數/。)=25代+3以吟的最小正周期為臣.

解答2sin'的周期為4乃,3cos'的周期為6萬，所以函數/(%)的周期為124<,

23

13.設P是圓V+),2=36上一動點，A點坐標為(20,0)。當P在圓上運動時，線

段PA的中點M的軌跡方程為“-10)2+y2=9.

解答設M的坐標為*,y),設尸點坐標為(%,%),則有1=然2丁=&

=x°=2x—20,)，。=2>，因為P點在圓上，所以(2x—20『+(2〉)？=36所以P點軌跡

為(工一10)2+丁=9。

14.設銳角三角形ABC的邊BC上有一點D,使得AD把4ABC分成兩個等腰三角

形，試求4ABC的最小內角的取值范圍為30Vx<45或22.5<x<30.

解答如圖，(1)AD-AC-BD：(2)DC-AC,AD-BDo

(1)

在(1)中，設最小的角為X,則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30Vx<45；

在(2)中，設最小的角為x,則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30

15.設z是虛數，w=z+-f且一lvwv2,則z的實部取值范圍為.

Z2

解答i&z=a+bi=>-\<a+bi+-^—/<2=b——z--—r=0=b=0或a2+/=1

a~+b~a~+b~

當8=0,無解；當/+從=1=一，〈av1。

2

16.設/（幻=2（/-工+1）-/口一幻4。如果對任何X￡[OJ],都有/"）之0,貝ijk

的最小值為—.

192

解答人斗匕立因為+1按—x+1最小值為3

x-x+124424

分子]》（1一幻工」"=2時,f（1一幻4取最大值（!）8,所以k的最小值為」_。

丫222192

門設p,qsR,/（公=/+川]|+4。當函數/（%）的零點多于1個時，/（x）在

以其最小零點與最大零點為端點的閉區間上的最大值為0或4

解答因為函數/（乃二一+川幻+4為偶函數，由對稱性以及圖象知道，/（幻在

以其最小零點與最大零點為端點的閉區間上的最大值0或q0

三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）

4c八留小11212312k

18.設數歹U，…,一,,,?，

121321kk-\1

問：（1）這個數列第2010項的值是多少；

（2）在這個數列中，第2010個值為1的項的序號是多少.

解（1）將數列分組：（;）'（D）'（m）,…2，…，馬,…

121321kk-\1

因為1+2+3+―+62=1953；1+2+3+―+63=2016,

57

所以數列的第2010項屬于第63組倒數第7個數，即為衛。-----10分

（2）由以上分組可以知道，每個奇數組中出現一個1,所以第2010個1出現在

第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個值為1的

項的序號為（1+2+3+…+4018）+2010=809428o--------17分

19.設有紅、黑、白三種顏色的球各10個。現將它們全部放入甲、乙兩個袋子

中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數之積相等。

問共有多少種放法。

解：設甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數為x,y,z,則有l?x,y,z49,且

xy?z=(10-x)(10-y)(10-z)(*1)

-5分

即有

xyz=500-50(x4-y+z)+5(xy+yz+zx)o(*2)

于是有5|xyzo因此x,y,z中必有一個取5。不妨設％=5,代入（*1）式，得到

y+z=10o10分

此時，y可取1,2,8,9（相應地z取9,8,2,1）,共9種放法。同

理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有x=y=z時二種放法重復。因此

可得共有

9X3-2=25種放法。17分

20.已知橢圓；?+/=］（〃＞］）,RfAABC以A（0,1）為直角頂點，邊AB、BC

與橢圓交于兩點B、Co若AABC面積的最大值為2,求。的值。

解：不妨設AB的方程y=kx+1(%>0),則AC的方程為y=-1x+lo

y=kx+12

2222

由.一得：(\+ak)x+2akx=0=>xB=—,

2a2k

得：（/+42）/2-2〃2日=（）=%

從而有國二后備,二后若

于是5必8c=』AB|Mq=2/——叫+。，=2。

111(l+a2k2)(a2+k2)

a~(k~+—j-)+6f4+1

a2t2+(a2-\)2q2r1(/-I)?

因為/.+絲12122a，=凹二時等號成立。

a1-i/

因此“丁,匹此一部14分

273+V297

=-=>(?-3)(8/-3"9)=0na=3,"

a2-l816

3+V297

—.......>2=>a>1+0,/.a（不合題意，舍去）,「.a=317分

a16

四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）

BDCEAF

21.設D,E,F分別為AABC的三邊BC,CA,AB上的點。記。二，P=，/=

BCAB

證明：5&1謝之。的S.BC。

證明由

32.=}%-------------=a(l-z).5分

SMBC忸牛畫sinB

同理9蟠

=p(\-a\=火1一切。10分

所以SaEF_S“BCSGFD-S&DEC—S^EF

l-a(l-/)-/?(1-a)-/(l-/7)

^qAABC

=(1-a)(l-^)(l-/)+apy>a"等號成立oa=1或4=1或y=1。--20分

因此SWE尸之*S.8C，等號成立，當且僅當，D與C重合，或E與A重合，或F與B重

合。25分

22.（1）設。>0,平面上的點如其坐標都是整數，則稱之為格點。今有曲線y=a?過格

點（n,m）,記IWXW〃對應的曲線段上的格點數為N。證明:

N-mn0

（2）進而設。是一個正整數，證明:

—(〃一+1)?

4

（注［幻表示不超過x的最大整數）

證明（1）考慮區域0<xW〃,0vy工機,且該區域.匕的格點為nm個。又該區域由區域E：

0<x4〃,0vyWar：以及區域F：0<y<m,O<x<—組成。

在區域E上，直線段%=%（%￡N+14AW〃）上的格點為[。公]個,

所以區域E上的格點數為￡[aky]o---------5分

*=i

同理區域F上的格點數為魯[R]。----------10分

〃LIm\k

由容斥原理，'=2[.1+2國多一.。----------------15分

?=ibiLY。

（2）當。是一個正整數時，曲線y=a?上的點（k,al）（女wN*J<%<〃）都是格點,

所以（1）中的N=n。同時，m=an\將以上數據代入（1）得

Ik〃a

ZR-]=an4-a^k3+n=n-\■—（〃-1）/（3〃+1）。----------25分

hiVa?=i4

§16排列,組合

i.排列組合題的求解策略

（1）排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這

是解決排列組合題的常用策略.

（2）分類與分步

有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的

并集是全集；有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數相乘，即得總的方法數，

這是乘法原理.

（3）對稱思想：兩類情形出現的機會均等，可用總數取半得每種情形的方法數.

（4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒

有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.

（5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，然后與其它“普通元素”

全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列.

（6）隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數，常用隔板模型.如

將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個縫隙中任意插入3塊隔板，把球分

成4堆，分別裝入4個不同的盒子中的方法數應為G：,這也就是方程。+力+c+d=12的

正整數解的個數.

2.圓排列

（1）由4={6,。2，。3,…，。”}的〃個元素中，每次取出一個元素排在一個圓環上，叫

做一個圓排列(或叫環狀排列).

(2)圓排列有三個特點：(i)無頭無尾；(ii)按照同一方向轉換后仍是同一排列；(iii)

兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列.

(3)定理：在4=｛《,。2，。31,，/｝的〃個元素中，每次取出r個不同的元素進行圓

Pr

排列，圓排列數為一L.

r

3.可重排列

允許元素重復出現的排列，叫做有重復的排列.

在加個不同的元素中，每次取出〃個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序那么

第一、第二、…、第〃位是的選取元素的方法都是“種，所以從“個不同的元素中，每次

取出n個元素的可重復的排列數為mn.

4.不盡相異元素的全排列

如果〃個元素中，有P1個元素相同，又有個元素相同，…，又有P,個元素相同

(Pi+P?+…+R,<n)t這〃個元素全部取的排列叫做不盡相異的〃個元素的全排列，

它的排列數是------------

Pj%!……P」

5.可重組合

(1)從〃個元素，每次取出p個元素，允許所取的元素重復出現1,2,…,〃次的組合叫

從〃個元素取出p個有重復的組合.

(2)定理：從〃個元素每次取出p個元素有重復的組合數為：H：=/g.

例題講解

1.數1447,1005,1231有某些共同點，即每個數都是首位為1的四位數，且每個四位數中恰

有兩個數字相同，這樣的四位數共有多少個？

2.有多少個能被3整除而又含有數字6的五位數？

3.有2〃個人參加收發電報培訓，每兩人結為一對互發互收，有多少種不同的結對方式?

4.將"+1個不同的小球放入〃個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放法?

5.在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線

的三點組的個數是多少個？

6.用8個數字1,1,7,7,8,8,9,9可以組成不同的四位數有多少個？

7.用五種顏色給正方體的各個面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有

多少種不同的涂色方式？

8.某種產品有4只次品和6只正品（每只產品可區分），每次取一只測試，直到4只次品全

部測出為止.求最后一只次品在第五次測試時被發現的不同情形有多少種？

9.在平面上給出5個點，連結這些點的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過每點向

其余四點的連線作垂線，求這此垂線的交點最多能有多少個？

10.位政治家舉行圓桌會議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種?

11.某城市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道.如果有人從城南北角（圖4點）

走到東南角中5點最短的走法有多少種？

12.用4個1號球，3個2號球，2個3號球搖出一個9位的獎號，共有多少種可能的號碼？

13.將7?個相同的小球，放入〃個不同的盒子(〃之〃).

(1)有多少種不同的放法？

(2)如果不允許空盒應有多少種不同的放法？

14.8個女孩和25個男孩圍成一圈，任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩.(只要把圓旋轉

一下就重合的排列認為是相同的)

課后練習

1.8次射擊，命中3次，其中愉有2次連續命中的情形共有()種

(A)15(B)30(C)48(D)60

2.在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了

2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場

數是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

3.某人從樓下到樓上要走11級樓梯，每步可走1級或2級，不同的走法有()種

(A)144(B)121(C)64(D)81

4.從7名男乒乓球隊員，S名女乒乓球隊員中選出4名進行男女混合雙打，不同的分

組方法有()種

(A)2C；C；(B)4C；C；(C)P；P；(D)

5.有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張，可組成的不同幣值(非0)有()

種

(A)79(B)80(C)88(D)89

6.從0,1,234,5,6,7,8,9這1C個數中取出3個數，使其和為不小于10的偶數，不同的

取法有種

7.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3個不同的元素，

并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是.

8.設ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點4處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂

點之一.若在5次之內跳到。點，則停止跳動；若5次之內不能到達。點，則跳完5次也

停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現的不同跳法共種.

9.如果：(1)a,b,c,d都屬于｛1,2,3,4｝：(2)axb,b*c,"d#a；⑶。是。力,c,d中的最小值,

那么，可以組成的不同的四位數礪的個數是________.

10.在一個正六邊形的六個區域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩

塊種不同的植物。現有4種不同的植物可供選擇，則有種載種方案.

11.10人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4人，有種坐法.

12.從1,2,3,…,19中，按從小到大的順序選取％,%，。3，為四個數，使得的一《之2,

a3-a2>3,〃4一。324.問符合上要求的不同取法有多少種？

13.8人圍張一張圓桌，其中A、3兩人不得相鄰，而8、C兩人以必須相鄰的不同

圍坐方式有多少種？

14.4對夫婦去看電影，8人坐成一排.若每位女性的鄰座只能丈夫或另外的女性，共

有多少種坐法？

高中數學奧林匹克競賽訓練題(02)

第一試

一、選擇題(本題滿分30分，每小題5分)

L(訓練題07)十個元素組成的集合.的所有非空子集記為，每一非空子集中所有元素的乘

積記為.則(C).

(A)0(B)1(C)-1(D)以上都不對

2.(訓練題072ABC的三個內角依次成等差數列，三條邊上的高也依次成等差數列.則為

(B)

(A)等腰但不等邊三角形(B)等邊三角形(C)直角三角形(D)鈍角非等腰三角形

3.(訓練題07)對一切實數，不等式恒成立.則的取值范圍是(A)

(A)(B)(C)(D)

4.(訓練題07)若空間四點滿足，則這樣的三棱錐共有(A)個.

(A)0(B)1(C)2(D)多于2

5.(訓練題07)已知不等式時恒成立，則的取值范圍是(B)

(A)(B)(C)(D)

6.(訓練題。7)方程在復數集內根的個數為.則(C)

(A)最大是2(B)最大是4(C)最大是6(D)最大是8

二、填空題(本題滿分30分，每小題5分)

1.(訓練題07)函數的值域是

2.(訓練題07)已知橢圓，焦點為,，為橢圓上任意一點(但點不在x軸上)，的內心為，過

作平行于軸的直線交于.則.

3.(訓練題07)為的三個內角，

且.則.

4.（訓練題07）實數滿足.則的最小值是—.

5.（訓練題07）在一次足球冠軍賽中，要求每一隊都必須同其余的各個隊進行一場比賽，每

場比賽勝隊得2分，平局各得1分，敗隊得。分.己知有一隊得分最多，但它勝的場次比任

何一隊都少.若至少有隊參賽，則=_6—.

6.（訓練題07）若是一個完全平方數，則自然數14

三、（訓練題07）（本題滿分20分）若正三棱錐底面的一個頂點與其所對側面的重心距離為

4,求這個正三棱錐的體積的最大值.（18）

四、（訓練題07）（本題滿分20分）一個點在軸上運動的速度為2米/秒，在平面其它地方速

度為1米/秒.試求該點由原點出發在1秒鐘內所能達到的區域的邊界線.

五、（訓練題07）（本題滿分20分）已知為虛數，且是方程的實根.求實數的取值范圍.（）

第二試

一、（訓練題07）（本題滿分20分）在中，為邊上的任一點，于，于，交于.

求證：.

二、（訓練題07）（本題滿分35分）用個數（允許重復）組成一個長為的數列，且.證明：可

在這個數列中找出若干個連續的項，它們的乘積是一個完全平方數.

三、（訓練題。乃（本題滿分35分）空間中有100個點，其中每四點都不在同一平面上，每

三點都不在同一條直線上，每一點都與其它33點連紅線，與另33點連黃線，與最后的33

點連藍線.證明：一定會出現一個三邊均不同色的三角形.

§18直線和圓，圓錐曲線

課后練習

1.已知點A為雙曲線/—>2=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，AABC是等

邊三角形，則A4BC"的面積是

（A）——（B）（C）3-^3（D）6,\/3

32

54

2.平面上整點（縱、橫坐標都是整數的點）到直線y=+］的距離中的最小值是

（A）熹（B）嚕（C）5

（D）—

30

3.若實數x,y滿足(x+5尸+(y-12?=142,則x若y?的最小值為

(A)2(B)l(C)V3(D)V2

4.直線±+上=1橢圓二+匕=1相交于A,B兩點，該圓上點P,使得,PAB面積等于3,

43169

這樣的點P共有

（A）l個（B）2個（C）3個1D）4個

5.設a,b￡R,abWO,那么直線ax—y+b=O和曲線以2+叩2=。^的圖形是

6.過拋物線y2=8（x+2）的焦點F作傾斜角為60。的直線，若此直線與拋物線交于4、8兩點,

弦A8的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于

7.方程一產——尸+——尸---尸=1表示的曲線是

sinV2-sinV3cosV2-cosV3

A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在x軸上的雙曲線

C.焦點在y軸上的橢圓D.焦點在y軸上的雙曲線

8.在橢圓三十4=1（。）6）0）中，記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B。

a2b2

若該橢圓的離心率是叵1，則

2

9.設凡，&是橢圓工+匕=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PFi|：\PF2\=2：1,則

94

三角形APF1F2的面積等于.

10.在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M（-1,2）和N（1,4）,點P在X軸上移動，

當NMRV取最大值時，點P的橫坐標為。

11.若正方形ABCD的一條邊在直線y=2x—17上，另外兩個頂點在拋物線>=/上則該

正方形面積的最小值為.

22

12.已知G）:冗2+）?=1和C"J+4=］（4>b>（））。試問：當且僅當。力滿足什么

aLbL

條件時，對G任意一點P，均存在以P為頂點、與c（）外切、與G內接的平行四邊形？并證

明你的結論。

2

13.設曲線+>2=1（a為正常數）與C2：y2=2（x+m）在x軸上方公有一個公共點P。

a

（1）實數m的取值范圍（用a表示）:

⑵。為原點，若J與x軸的負半軸交于點A'當。卬;時，試求，。AP的面積的最大值

(用a表示)。

14.已知點A(0,2)和拋物線丁=x+4上兩點B,C使得A8_L8C,求點C的縱坐標的取

值范圍.

15.一張紙上畫有半徑為R的圓。和圓內一定點4且OA=a.拆疊紙片，使圓周上某一點

卬剛好與4點重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當卬取遍圓周上所有點時,

求所有折痕所在直線上點的集合.

4

16.(04,14)在平面直角坐標系xoy中,給定三點A(0,-),B(T,0),C(l,0),點P到直線

3

BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。

(I)求點P的軌跡方程；

(II)若直線L經過AA8C的內心(設為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的

斜率k的取值范圍。

17.過拋物線y=/上的一點A(1,1)作拋物線的切線，分別交x軸于D,交y軸于B.點C

ApRF

在拋物線上，點E在線段AC上，滿足生=4；點F在線段BC上，滿足包=入，且

EC1FC2

4+4=1,線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.

課后練習答案

026

l.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.9009.-------

3

10.設橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2。、2b、2c,則由其方程知a=3,b=2,c=卡,

故，|PFi|+|PF2|=2a=6,又已知［PFi|：|PF2|=2：1,故可得|PFi|=4,\PF2\=2.在△PRF?

中，三邊之長分別為2,4,2石，而22+42=(2后/，可見是直角三角形，且兩直

角邊的長為2和4,故△PFF2的面積=4.

11.解：經過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3—x上，設圓心為

S(a,3-a),則圓S的方程為：(x-?)2+(y-3+a)2=2(l+a2)

對于定長的弦在優弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當

NMPN取最大值時，經過M,N.P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a

值必須滿足2(1+/)=(。-3尸，解得3=1或a=-7o

即對應的切點分別為尸(1,0)和P'(—7,0),而過點M,N,p'的圓的半徑大于過點M,

N,P的圓的半徑，所以/MPN〉NMP'N,故點P(1,0)為所求，所以點P的橫坐標

為1。

12.解：設正方形的邊AB在直線y=2x77上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為

C（M，X）、。區,為），則CD所在直線/的方程y=2x+b,將直線/的方程與拋物線方程

聯立，得/=2x+b=xi2=1±Jb+1.

令正方形邊長為4,則/=（%一/了+（必一為尸=5區一X2）2=203+l）.①

在y=2x-17上任取一點（6,,5）,它到直線y=2x+6的距離為「.a=”慕如②.

①、②聯立解得仿=3也=63..?/=80,或〃2=]280.〃丸二地

13.利用極坐標解決：以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為

顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設A（Q,e）,則B（P2,900+6）

代入（1）式相加：工+工二[十]

Pl2P2/必

由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1,

/221tHi1.11

p\p\=1t,+p2?從而一yH---y=1?-yH—y=

P\Piab

____y_=]

222

14.解：⑴由、消去y得：x2^2ax+2am-a=0①

y2=2（x+m）

設/*）=，+2〃2工+2。2加-々2,問題⑴化為方程①在x￡（一m。）上有唯一解或等根.

只需討論以下三種情況：

1°△=（）得：加二幺:1,此時xp=—/,當且僅當一aV—Mva,即OVaVl時適

2

2°/(a)/(—a)<0,當且僅當一aVmVa；

3°/(—。)=0得m=a,此時Xp=a—2(j2,當且僅當一aV。-2a2<o,即OVaVl時適

/（。）=0得m=-。，此時Xp=一。一2。2,由于一。一2。2<一0,從而mW-a.

+1

綜上可知，當OVaVl時，m=-----或一aVmWa；

2

當。21時，一a<mVa.

⑵△OAP的面積S=:。力

V0<a<一，故一時，0V-a，+。J”？+1-2mVa,

2

由唯一性得Xp=-a2+a>Ja2+\-2m

顯然當m=a時，Xp取值最小.由于xp>0,從而以=J1-飛■取值最大，此時

22

yp=2va-a,S=a>Ja-a.

22

當tn=0；1時,xp=—a>yp=yl\—a,此時S=-a).

下面比較ay/a-a2與—a^\-a2的大小：

2

令a^]a-a2=—a^]-a2,得a=工

23

222

故當OVaW，時，a>la-aW—ayl\-a,此時S,nia=—ay1\-a.

322

221

當Lvav■!■時，ay/a-a>—ayli-a，此時Smat=a^a-a.

322

15.解：設B點坐標為(城一4,必)，。點坐標為(/一4,)，).

顯然y；-4w0，故kAB=-4~--――

Ji-4必+2

由于AB_L8C,所以怎C=TM+2)

11不1'=必=一(M+2)次-()/-4)]

從而〈，消去“注意到丁。必得:

y=x+4

(2+yXy+y)+l=0=y；+2(2+丁)必+(2y+l)=0

由ANO解得：y?0或y24.

當y=0時，點B的坐標為(一3,-1)；當)，=4時，點5的坐標為(5,-3),均滿足是題

意.故點C的縱坐標的取值范圍是y40或yN4.

16.解：如圖，以。為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，則有4。，0).設折疊時,

。0上點卬(Reosa,Rsina)與點A重合,而折痕為直線MN,則MN為線段AV的中垂線.設

P(x,y)為MN上任一點，則IWI=I%I5分

(x-Rcosa)2+(y-Rsin)2=(x-a)2+y2

即27?(.rcosa+ysina)=R?_+2aleIQ分

.xcosa+ysina_R2-a2+2ax

yjx2+y22R&2+J

可得：sin(or+^)=—~"+2""(sin6=-yX,co3=/))

2Ryjx2+y2yjx2+y2yl^+y2

:W1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分

2岫2+y2

平方后可化為

\X---)2

即所求點的集合為橢圓圓一丁一+F^------=1外(含邊界)的部分.20

哆)2

分

44

17.解：(I)直線AB.AC.BC的方程依次為y=-(x+l),y=--(x-l),y=0。點尸(x,y)

到AB、AC、BC的距離依次為4二2|4x-3y+4|,&=2|4x+3y-4|，4=|y|。依設，

4d2=4，得116/-(3丁—4)2|=25/，即

16x2-(3y-4)2+25/=0,或16父-(3y-4)2-25/=0,化簡得點P的軌跡方程為

圓S：2爐+29+3^—2=0與雙曲線T:8x2-17_/+i2y-8=0

(II)由前知，點P的軌跡包含兩部分

圓S：2x2+2/+3y-2=0①

與雙曲線T：8x2-17y2+12y-8=0②

因為B(—l,0)和C(L0)是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且

點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。

△A5C的內心D也是適合題設條，’牛的點，由&=4=4,解得。(0—)，且知它在圓S上。

直線L經過D,且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方